1PAGE第12頁高三12月考試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足4且，則的值為A.﹣1 B.﹣22019 C.1 D.220193.在中，，D為AB的中點(diǎn)，，P為CD上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.4.已知甲植物生長了一天，長度為，乙植物生長了一天，長度為.從第二天起，甲每天的生長速度是前一天的倍，乙每天的生長速度是前一天的，則甲的長度第一次超過乙的長度的時(shí)期是（）（參考數(shù)據(jù)：取）A.第6天 B.第7天 C.第8天 D.第9天5.已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線距離的最小值為（）A B. C. D.6.已知是定義在上單調(diào)遞增且圖像連續(xù)不斷的函數(shù)，且有，設(shè)，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.7.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，過作不與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)的外心和重心的縱坐標(biāo)分別為（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的值為（）A.1 B. C. D.8.已知函數(shù)，，若成立，則最小值為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.記函數(shù)的最小正周期為，若，且在上的最大值與最小值的差為3，則（）A. B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.直線是曲線的切線10.已知數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，則（）A.數(shù)列的第項(xiàng)小于 B.數(shù)列不可能是等比數(shù)列C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列中存在大于的項(xiàng)11.球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球的半徑為，，，為球面上三點(diǎn)，劣弧的弧長記為，設(shè)表示以為圓心，且過，的圓，同理，圓，的劣弧，的弧長分別記為，，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，若，則稱其為曲面等邊三角形，線段，，與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面.設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面是面積為的等邊三角形，則B.若，則C.若，則球面的體積D.若平面直角三角形，且，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.甲乙兩個(gè)盒子中裝有大小、形狀相同的紅球和白球，甲盒中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙盒中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球.先從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，則從乙盒中取出的是紅球的概率為______.13.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是120，則實(shí)數(shù)______．14.若，則的最小值為___________.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.若銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，其外接圓的半徑為，且．（1）求角大小；（2）求的取值范圍16.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．17.2023年12月25日，由科技日?qǐng)?bào)社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評(píng)選出的2023年國內(nèi)十大科技新聞揭曉.某高校一學(xué)生社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了本校100名學(xué)生對(duì)這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表：不太了解比較了解合計(jì)男生204060女生202040合計(jì)4060100（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異；（2）若把這100名學(xué)生按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，記抽取的2人中女生數(shù)為，求的分布列及.附：①，其中；②當(dāng)時(shí)有95%把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián).18.拋物線具有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且其縱坐標(biāo)為，滿足.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過拋物線上另一點(diǎn)，最后沿方向射出，若射線平分，求實(shí)數(shù)的值.19.已知函數(shù).（1）證明：；（2）設(shè)，求證：對(duì)任意的，都有成立.高三12月考試卷數(shù)學(xué)一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.【答案】BD10.【答案】BCD11.【答案】BC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.【答案】13.【答案】214.【答案】9四、解答題（本題共5小題，共77分）15.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可將化簡(jiǎn)為，再次化簡(jiǎn)得，從而求得，從而可求解.（2）由的外接圓半徑為3，從而得，從而可得，由為銳角三角形可得，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)從而可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋裕矗烧叶ɡ淼茫@然，，所以，所以，因?yàn)椋裕拘?詳解】因?yàn)橥饨訄A的半徑為，所以，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，即．令，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，所以，即，所以，即的取值范圍為.16.【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合勾股定理逆定理可得，后結(jié)合平面平面，可得，后結(jié)合可得結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，即可得答案.【小問1詳解】不妨設(shè)，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四邊形是菱形，，又，且平面平面平面．【小問2詳解】在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，平面平面，平面平面，平面，又四邊形是菱形，，均為等邊三角形，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，及過點(diǎn)A平行于的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，由（1）平面，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則即．令，可得，，平面與平面的夾角的余弦值為．17.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意和公式求出，然后根據(jù)附②即可得出結(jié)論；（2）由題得出的取值依次為0，1，2，依次求出各種取值的概率，然后寫出分布列求出期望.【小問1詳解】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，所以沒有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異.【小問2詳解】這100名學(xué)生中男生60人，女生40人，按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，則抽取的男生有3人，女生在2人，所以的取值依次為0，1，2，，，，所以的分布列為012.18.【解析】【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值，由此可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的傾斜角為，分析可得出，，由結(jié)合二倍角的正切公式求出的值，結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】解：由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，將代入拋物線方程可得，即點(diǎn)，由可得，解得，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：由題意可知，直線的方程為，由可得，即點(diǎn)，則，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可知，，且為銳角，，可得，所以，，因?yàn)椋傻茫獾?19.【解析】【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)