2025高考數學專項復習圓錐曲線基礎總結、二級結論、方法與技巧

圓錐曲線

一、橢圓及其性質

第一定義平面內一動點P與兩定點入、月距離之和為常數（大于向EJ）的點軌跡

第二定義平面內一動點到定點與到準線的距離比是常數的點軌跡季=孥=e

dia2

隹占

，■?、，、、、焦點在力軸上焦點在沙軸上

yiI

B

2——忙1"-

X—

?c

C1小.1

)

圖形OF^A2X

p1^2X

BI

■為+g=l(a>6>。)H/丁2

標準方程募+9=l(a>b>0)

范圍—a464a且一bWyWb一bW力W6且一a4y《a

—Q)

頂點A(—a,0),A2(a,0),Bi(0,—fe),B2(0,b)4(0,,A2(0,a),Bx(-6,0),5(6,0)

軸長長軸長=2a,短軸長=2b,焦距=曲列=2c,。2=Q2_〃

焦點月(—c,0)、用(c,0)月(0,—c)、月(0,c)

焦半徑\PFX\=a+eg,\PF2\=a-eg爐月|=a-ey0,\PF2\=a+ey0

焦點弦左焦點弦|48|=2。+6（劣1+劣2），右焦點弦|48|=2。—631+62）.

e十產］(0Ve<l)

離心率

片土星

準線方程X=+—

c“C

力力

o2

切線方程212—16?a2T

azb7z

通徑過橢圓焦點且垂直于對稱軸的弦長\AB\=等（最短焦點弦）

⑴由定義可知：|PFJ+|P居|=2a,周長為：2a+2c

2

⑵焦點三角形面積：S^F1PF2=bxtang

⑶當P在橢圓短軸上時，張角。最大cos。>1—2e2

焦點⑷焦長公式：爐尸J=——-——、包

a—ccosaa+ccosa

三角形

I八=___2ab2________2ab2yi

a?—c2cos2ab2+c2sin2（2

⑸離心率:（

e=sin:+Q5Ox

sma+snip

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二、雙曲線及其性質

第一定義平面內一動點P與兩定點生、尺距離之差為常數（大于］￡月1）的點軌跡

平面內一動點到定點與到準線的距離比是常數的點軌跡季=呼=e

第二定義

dia2

隹占

，■?、，、、、焦點在X軸上焦點在沙軸上

\1AI

(/虛軸/

虛軸

圖形芭)/

/I、\cFzx/z、np1

\1

5三軸\

t/2zp2

標準方程2〃一1(。>0,6>0)-2----=l(a>0,b>0)

范圍xW—a或為>a,geRy4—a或g>a,/￡R

頂點A(-?)0),A2(a,0)4(0,-a)、人2(0?)

222

軸長虛軸長=2b,實軸長=2a,焦距=\FrF2\-2c,c=a+b

焦點用（一c,0）、姆（c,0）尸i(0,—c)、月(0,c)

焦半徑\PFr\=a+ex0,\PF2\=—a+eg左支添”

e=￡=J

離心率

a2一

準線方程

-c?c

,b?a

漸近線y=±——xg=土石工

/a

四)/y()y_1xQxyQy_

切線方程2

a2b2~6Q2T

過雙曲線焦點且垂直于對稱軸的弦長以H=等（最短焦點弦）

通徑

（1）由定義可知：區同一|「四=2<1

（2）焦點直角三角形的個數為八個,頂角為直角與底角為直角各四個；

2

⑶焦點三角形面積：SAF1PF2=b4-tan-1--c-\y\

⑷離心率.e—田同-sin。_sin（a+￡）

1

“、J?」WPF^—\PF2\\|sina—sin^l|sina—sin^l

隹占■j■

，，?、，、、、

三角形

第2頁共29頁

三、拋物線及其性質

定義平面內與一個定點F和一條定直線1的距離相等的點的軌跡稱為拋物線.

方程y2=2px(p>0)y2=—2px(p>0)"=2pg(p>0)x2=—2p7/(p>0)

yky卜

寸L1

VPl

圖形Ljv"yh?1

/JX

一

X

2]X/\~2/尸廠\

頂點(0,0)

對稱軸為軸"軸

噌，。）—尸（。，號）尸D

焦點

X=J

準線方程*=-號2"=-晉

離心率e=l

范圍力)0/W0">0

切線方程yoy=p(x+xo)wy=—pQ+*0)xox=p(y+yo)xox=-p(y+yo)

通徑過拋物線焦點且垂直于對稱軸的弦\AB\^2M最短焦點弦）

48為過婚=2p/(p>0)焦點的弦，4(力1，%)、B(62,例)，傾斜角為則：

⑴|北閉=%1+普\BF\=x+

2\AB\=Ti+x2+p,

(2)電電=丁yiV2=-p2

(3)|AF|=—\BF\=—1,1_2

1—cosa1+COSQ\FA\\FB\P

⑷AB|=2與S^AOB—

sina2smdf

AB為過/=2Pg(p>>o)焦點的弦，461,%)、氏狽仇),傾斜)語為a.則:

(1)|AF|=——\BF\=——￡——

1—sma1+sin(7

⑵黑

S^AOB—

29cosa

焦點弦

(3)囂|二九則:sint

'4+1

<|\

oX

x=~^

xc(p>0)y2=2j)x(p>0)

第3頁共29頁

四、圓錐曲線的通法

橢圓雙曲線拋物線

@點差法與通法

1、圓錐曲線綜述：

聯立方程設交點，韋達定理求弦長;變量范圍判別式，曲線定義不能忘；

弦斜中點點差法,設而不求計算暢；向量參數恰當用，數形結合記心間.

★2、直線與圓錐曲線的位置關系

（1）直線的設法：

①若題目明確涉及斜率,則設直線：沙=岫+6,需考慮直線斜率是否存在,分類討論；

②若題目沒有涉及斜率或直線過（a,0）則設直線：④=+a,可避免對斜率進行討論

⑵研究通法:聯立I",得：&/+紅+c=0

W，7/）=0

判別式：△=〃—4ac,韋達定理：g+a；2=—5，X］X2-

（3）微長公式：\AB\=J（±i—工2尸+（%—仇y=VT+A?|XI-x2\

=/（+/）.［（口+電）2-4力122］=J1+表［（%+例）2—4%統］

3、硬解定理

設直線y=ka+p與曲線a+/=1相交于421,%）、B（x2,y，2）

由：，可得：（九+巾%2）,2+2的巾2；+機（卬2—71）=0

\nx+my—rrm

弟J另lj式：△—4mn（n+mfc2—（p2）韋達定理：g+/2=-2ktm?血電="&—￡

n+mkn+mk,

由：山一/2I=NQi+/2）2—46162,代入韋達定理：E一冗21=一

n+mk

★4、點差法：

若直線，與曲線相交于河、N兩點，點P（g,仇）是弦MN中點，MN的斜率為出小，

2212

則:在橢圓-^2-+T2-=l（Q>b>。）中，有kMN?~~~---

ab力。a

22j2

在雙曲線m--%=1（Q>b>0）中，有AMN'~~~=~2"；

ab力oa

在拋物線y2=2px{p>0）中，有kMN-yQ=p.

（楠國）

設7W、N兩兩點的坐標分別為（如%）、（/2,仇），

第4頁共29頁

2

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⑵，得

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程

數方

的參

曲線

圄像

U

的概念

數方程

1、參

數1

的函

變數t

是某個

①沙都

的坐標

意一點

線上任

中，曲

標系

角坐

面直

在平

(t)

ly=g

程

,該方

曲線上

在這條

。)都

MQ,

的點

確定

程所

這個方

值，由

允許

一個

t的每

對于

并且

數.

稱參

數，簡

參變

t叫做

變數

。，9的

變數

，聯系

方程

參數

線的

條曲

做這

就叫

程.

普通方

程叫做

系的方

標間關

點的坐

接給出

言，直

程而

數方

于參

相對

程

參數方

直線的

派2、

sa

+tco

x—x

Q

數方程

線的參

)的直

a豐