2025高考數學必刷題

第10講對數與對數函數

知識梳理

1、對數式的運算

(1)對數的定義：一般地，如果a，=N(a>0且awl),那么數x叫做以。為底N的對數,

記作x=log,N,讀作以。為底N的對數，其中。叫做對數的底數，N叫做真數.

(2)常見對數：

①一般對數：以a(a>0且。歸)為底，記為log：,讀作以。為底N的對數；

②常用對數：以10為底，記為IgN；

③自然對數：以e為底，記為InN；

(3)對數的性質和運算法則：

①log：=0；log：=l；其中。>0且”1；

②a陶=N(其中a>0且"1，N>0)；

③對數換底公式：log06=警2；

logj

④log”(MN)=log“M+log“N；

M

⑤log。—=log。M-loga2V；

?logb"^—logab(m,neR)；

m

⑦4嗨8=6和logaa"=b；

2、對數函數的定義及圖像

(1)對數函數的定義：函數y=log“x(a>0且awl)叫做對數函數.

對數函數的圖象

a>\0<(2<1

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rAJT-1>1I

]

圖象l\；(1X?

<4Z!(1j0|ia4哨/

定義域：（0,+00）

值域：R

過定點（1，0）,即X=1時，>=0

性質

在（0,+00）上增函數在（0,+8）上是減函數

當0<%<1時，歹<0,當xNl時，當o<x<i時，y>0,當xzi時，y?0

玲0

【解題方法總結】

1、對數函數常用技巧

在同一坐標系內，當。>1時，隨Q的增大，對數函數的圖象愈靠近X軸；當0<0<1時,

對數函數的圖象隨Q的增大而遠離X軸.（見下圖）

't|

AMA

—**■*；**■'

必考題型全歸納

題型一：對數運算及對數方程、對數不等式

ta31

【例1】（2024?四川成都?成都七中校考模擬預測）e-8P+log7i+1^=.

【答案】-1

1py141

ln3z

【解析】e-81+log^+|^^=3-3^+lo^+1^3+l）'=3-3-1=-.

故答案為：-1

【對點訓練1】（2024?遼寧沈陽?沈陽二中校考模擬預測）已知Iga+6=-2,/=10,則

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【答案】-/0.1

10

【解析】由題設6=logql0=則lga+J=—2且Q〉o,

所以lg2a+21ga+l=（lga+l）2=0,即坨。=-1,故”

故答案為：-

10

【對點訓練2】（2024?上海徐匯?位育中學校考模擬預測）方程坨（-2幻=坨（3-/）的解集

為.

【答案】{x|x=-l}

【解析】因為lg（-2x）=lg（3-/）,

—2x=3—x2

則，-2x>0,解得x=-l,

3-x2>0

所以方程lg（-2x）=lg（3-x2）的解集為{x|x=-l}.

故答案為：{x|x=-l}

【對點訓練3】（2024?山東淄博統考點模）設P>0,?>0，滿足log4P=log64=bg9（2p+q）,

則"=

q

【答案】y/0.5

【解析】令log4P=log64=bg9（2p+4）=MJU!Jp=4k,q=6k,2p+q=9k,

所以2夕+q=2-4"+6*=少，整理得21|^|+]]=1，

i。4"2"1

解得1r三（負值舍去），所以卜

故答案為：y.

a

【對點訓練4]（2024?天津南開?統考二模）計算log332.log49-log21+log26的值為.

【答案】8

33

【解析】原式=log32540g2232-log2-+log26=51og32-log23-log2-+log26

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36

=5-log—+log6=5+log7=5+log8=8

242232

4

故答案為：8.

【對點訓練5】（2024?全國?高三專題練習）若log142=a,14，=5,用a,6表示

log3528=______________

［答案］

【解析】因為14"=5,所以b=log145,

lo28=log-28=k>g［414+log|42=1+a

35

log1435log1414+log145-log142l+b-a'

故答案為：丁口.

l+b-a

【對點訓練6】(2024?上海?高三校聯考階段練習)若12。=3"="，且!-2=2,則

ab

【答案】2

【解析】vl2a=3*=m9且----=2,

ab

...加>0且加w1,

/.a=log12m,b=log3m,

?」=log,”12,，=log,"3,

ab

-?---1=logm12-logm3=log,,,4=2,

ab

m=2.

故答案為：2.

【對點訓練7]（2024?全國?高三專題練習）

121g3-lg2

(log3)2+(log2)2

66(Ig3+lg2)2=-------------------

【答案】1

【解析】原式=(log63)2+(log62)2+：)3：g：

1g6?1g6

=(log63『+(10g62)2+2log63-log62

2

=(log63+log62)

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2

=(log66)=1.

故答案為：1.

【對點訓練8X2024嗤國?高三專題練習)解關于x的不等式log2*-4")<x解集為.

【答案】(0,'

【解析】不等式log2(2-4')<xobg2(2-4')<1。芻Zo0<2-4<2Y,

解2-4*>0,即2級<2，有2x<l,解得x<g,

解2-平<2"，即22*+2*-2>0,化為(2工+2)(2*-1)>0,有2*>1，解得x>0,

因止匕0<x<—,

2

所以不等式1嗎(2-4')<x解集為(0,1).

故答案為：(0,5)

【對點訓練9】(2024?上海楊浦?高三上海市楊浦高級中學校考開學考試)己知函數/(x)

是定義在R上的奇函數，當x>0時，/(x)=log2x,則/(x)2-2的解集是.

【答案】-4,0]3；，+"

【解析】當X<0時，T>0,所以/(f)=log2(-x),

因為函數/(x)是定義在R上的奇函數，所以/(尤)=-/(-》)=-1。82(-尤)，

所以當x<0時，/(x)=-log2(-x),

-log2(-x),x<0

所以/(x)=，0,x=0,

log2>0

[x>0[x<0[x=0

要解不等式/(xR-2,只需、o或?或八

[log2x>-2[-log2(-x)>-2[0>-2

解得x：或-44x<0或x=0,

4

綜上，不等式的解集為-4,0]。t,叱].

故答案為：

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【對點訓練10](2024?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習)方程2*+log4X=17

的解為.

【答案】x=4

【解析】設函數/(x)=2*+log4X,xe(0,+oo),由于函數了=2x,y=log4x在xe(0,+oo)上

均為增函數，

4

X/(4)=2+log44=16+l=17,故方程2*+108/=17的解為x=4.

故答案為：x=4.

【解題方法總結】

對數的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數方程或對數不等式問題

是要將其化為同底，利用對數單調性去掉對數符號，轉化為不含對數的問題，但這里必須注

意對數的真數為正.

題型二：對數函數的圖像

【例2】(2024?全國?高三專題練習)已知函數＞=log.(x+6)(a,6為常數，其中。＞0且

的圖象如圖所示，則下列結論正確的是()

C.a-0.5,b=0.5D.。=2,b=0.5

【答案】D

【解析】由圖象可得函數在定義域上單調遞增，

所以。＞1,排除A,C；

又因為函數過點(050),

所以6+0.5=1,解得6=0.5.

故選：D

【對點訓練111(2024?全國?高三專題練習)函數/■(無)=bg〃(x-l)+2的圖象恒過定點()

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A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

【答案】A

【解析】當x=2時/⑵=log“l+2=2,即函數圖象恒過(2,2).

故選：A

【對點訓練12](2024?北京?統考模擬預測)已知函數/(x)=log2x-(x-l)2,則不等式

〃x)<0的解集為()

A.(-8,l)U(2,+8)B.(0,l)u(2,+co)

C.(1,2)D.。,+⑹

【答案】B

【解析】由題意，不等式〃x)<0,即log/-(x-l)2<0,

2

等價于log2x<(x-l)在(0,+司上的解，

令g(無)=唾/,/?(x)=(x-l)2,則不等式為g(x)<”(x),

在同一坐標系下作出兩個函數的圖象，如圖所示，

可得不等式/(X)<0的解集為(0,1)u(2,+8),

故選：B

【對點訓練13](2024?北京?高三統考學業考試)將函數V=log2X的圖象向上平移1個

單位長度，得到函數y=的圖象，則/(》)=()

A.log2(x+1)B.l+log2x

C.log2(x-l)D.-l+log2x

【答案】B

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【解析】將函數>=10g2X的圖象向上平移1個單位長度，得到函數V=l+log2X.

故選：B.

【對點訓練14](2024?北京海淀?清華附中校考模擬預測)不等式2log3x-(x-l)(x-2)>0

的解集為.

【答案】｛x|l<x<3｝

【解析】由210g3苫一(無一1)(尤一2)>0nlog3尤?(尤-1)(尤-2),

在同一直角坐標系內畫出函數/(x)=log3x,g(x)=g(x-l)(x-2)的圖象如下圖所示:

所以由函數的圖象可知：當xe(l,3)時，有/(x)>g(x),

故答案為：｛x|l<x<3)

x

【對點訓練15】(多選題)(2024?全國?高三專題練習)當時，4<logax,貝匹

的值可以為()

A.—B.@C.—D.V2

223

【答案】ABC

【解析】分別記函數/(x)=4"g(x)=log“x

由圖1知，當。>1時，不滿足題意；

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當0<”1時，如圖2,要使0<xV；時，不等式4,Wlog。x恒成立，只需滿足〃}Wg（g）,

【解題方法總結】

研究和討論題中所涉及的函數圖像是解決有關函數問題最重要的思路和方法.圖像問題

是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.

題型三：對數函數的性質（單調性、最值（值域））

【例3】（2024?全國?高三專題練習）已知函數/（x>=log3（l-?）,若“功在（-8,1］上為減

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函數，則。的取值范圍為()

A.(0,+co)B.(0,1)C.(1,2)D.(-oo,l)

【答案】B

【解析】設函數y=i-辦，

因為/(X)在(-℃,1］上為減函數，

所以y=l-ax在(-00,1］上為減函數，則-a<0解得a>0,

又因為了=1-辦>0在(-8,1］恒成立，

所以Vmin解得a<1，

所以a的取值范圍為0<”1,

故選:B.

【對點訓練16］(2024?新疆阿勒泰?統考三模)正數。,6滿足2"-4〃=log26-log?。，則a

與筋大小關系為.

【答案】a〈2bl2b>a

【解析】因為2"-Jlog—log?。，

bh

所以2"+log2a=4"+log2b=i+log2b+log22-1-i+log22b-.,

X

設f(x)=2+log2x,則/(a)=f(2b)-l,

所以/(a)<”26),

又因為y=2"與y=log2》在(0,+8)上單調遞增，

所以/(x)=2,+log,x在(0,+⑹上單調遞增，

所以a<2b.

故答案為：a<26.

【對點訓練17］(2024?全國?高三專題練習)已知函數〃x)=log,x(a>0,"l)在［1,4］上

的最大值是2,則。等于

【答案】2

【解析】當。>1時,函數〃x)=log.x在［1,4］上單調遞增，

則/(4)=log.4=2,解得a=2,

當0<a<l時，函數〃x)=log“x在［1,4］上單調遞減，

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則/(l)=bgj=2,無解，

綜上，a等于2.

故答案為：2.

【對點訓練18】(2024?全國?高三專題練習)若函數/(x)=log“x(°>0且"1)在1,4

上的最大值為2,最小值為相，函數g(x)=(3+2〃2R*在電+8)上是增函數，則。-加的值

是.

【答案】3

【解析】當。>1時，函數〃x)=log.X是正實數集上的增函數，而函數〃x)=log"X在1,4

上的最大值為2,因此有"4)=log.4=2,解得。=2,所以加=log2；=-1,此時g(x)=?

在［0,+e)上是增函數，符合題意，因此"機=2-(-1)=3；

當0<a<l時，函數/(x)=log”x是正實數集上的減函數，而函數〃x)=log“x在1,4上的

最大值為2,因此有了出=log*=2,a/,所以片年岑4=7,此時g")=_5?

在［。,+8)上是減函數，不符合題意.

綜上所述，a=2,m=-\,a—m=3.

故答案為：3.

【對點訓練19］(2024?全國?高三專題練習)若函數/(x)=log,，-。尤+1)有最小值，貝

的取值范圍是.

【答案】(1,2)

【解析】當o<a<l時，外層函數y=log。〃為減函數，對于內層函數“=/-OX+1,

△=1-4<0,則u>0對任意的實數x恒成立，

由于二次函數〃=x2—ax+1有最小值，此時函數/(x)=1嗝(―-ax+1)沒有最小值；

當。>1時，外層函數y=log"〃為增函數，對于內層函數w=/-辦+1,

函數-ax+1有最小值，若使得函數〃力=1080(/-辦+1)有最小值，

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綜上所述，實數。的取值范圍是。,2）.

故答案為：（1,2）.

【對點訓練201（2024?河南?校聯考模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的函

數：/（x）=.

①/（匹馬）=/（%）+/（%）;②當xe（0,+s）時，/（x）單調遞減；③/（X）為偶函數.

【答案】logJM（不唯一）

2

【解析】性質①顯然是和對數有關，性質②只需令對數的底0＜。＜1即可，性質③只需將自

變量X加絕對值即變成偶函數.

故答案為：bg/H（不唯一）

2

【對點訓練21】（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學校考階段練習）函數kbg4/一》一2）

4

的單調遞區間為（）

A.I叫JB.C.[g+s]D.（2,+oo）

【答案】B

10

【解析】函數尸§1-2）的定義域為1）u（2,+TO）,

4

令七/一工一2,又在定義域內為減函數，

4

故只需求函數/=/-x-2在定義域（-甩-1）。（2，+8）上的單調遞減區間，

又因為函數1=/一》一2在（-。,-1）上單調遞減，

.?.〉=皿1（/-》-2）的單調遞區間為（_8,_1）.

4

故選：B

【對點訓練22]（2024?陜西寶雞?統考二模）已知函數/（x）=lgx+lg（2-x）,則（）

A./（x）在（0,1）單調遞減，在（1,2）單調遞增B./（x）在（0,2）單調遞減

C./（x）的圖像關于直線x=l對稱D./（x）有最小值，但無最大值

【答案】C

【解析】由題意可得函數/（x）=lgx+lg（2-x）的定義域為（0,2）,

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貝I/(x)=lgx+1g(2-x)=Igf-x?+2x),

因為>=——+2]在(0,1)上單調遞增,在(1,2)上單調遞減，

且y=lgx在(0,+◎上單調遞增，

故/(無)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，A,B錯誤；

由于/(2-x)=lg(2-x)+lgx=/(x),故于卜)的圖像關于直線x=l對稱,C正確；

因為y=——+2%在％=1時取得最大值，且y=1gx在(0,+s)上單調遞增，

故/(無)有最大值，但無最小值，D錯誤，

故選：C

【對點訓練23】(2024?全國?高三專題練習)若函數/(x)=：+，在R上單調，

2a+logflx,x>l

則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.[2,+s)C.(0,g)u(2,+s)D.(O,l)u[2,+s)

【答案】D

[a>1

【解析】若/⑴在R上單調遞增，貝人…J解得。￡[2,+8),

[2+a<2a+log”1

<1

若/(X)在R上單調遞減，則G-1J解得。￡(0，1).

[2+a>2a+\oga1

綜上得ae(0,1)U[2,+功.

故選：D

【解題方法總結】

研究和討論題中所涉及的函數性質是解決有關函數問題最重要的思路和方法.性質問題

是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.

題型四：對數函數中的恒成立問題

qq丫2

【例4】(2024?全國?高三專題練習)已知函數〃x)=-----,g(x)=log2x+a,若存在

占43,4],任意馬e[4,8],使得/(xj±g(x2),則實數。的取值范圍是.

【答案】

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【解析】若"X)在［3,4］上的最大值〃x)1mx,g(x)在［4,8］上的最大值8*)皿

由題設，只需fGOmax'g(x)1mx即可.

在［3,4］上，/(x)=—+x＞2j—-X=6當且僅當x=3時等號成立,

XYX

25

由對勾函數的性質：/(X)在［3,4］上遞增，故〃尤)1mx=彳.

在［4,8］上，g(x)單調遞增，則g(x)a=3+a,

所以予23+。，可得aV下.

44

故答案為：［肛,.

【對點訓練24】(2024?全國?高三專題練習)若Vxe12,不等式2x?-xlog1x+依＜°

_2J2

恒成立，則實數。的取值范圍為.

【答案】(-%-5)

【解析】因為依€1,2,不等式2》—108產+辦＜0恒成立,

2

所以a<logj-2x對vxe1,2恒成立.

2

記〃x)=logjX-2x,xe5,2,只需a</(x)min.

2

上單調遞減，卜=-2》在》€1,2上單調遞減,

因為了=10g廠在X2

2er

所以/(力=1%*-2工在xe1,2上單調遞減,

2

所以/(無L=八2)=一5,所以。＜一5.

故答案為：(-8,-5)

2

【對點訓練25］(2024?全國?高三專題練習)已知函數f(x)-x-2x+3,g(x)=log2x+m,

對任意的A，x2e［l,4］有/(X］)＞g(z)恒成立，則實數機的取值范圍是.

【答案】(-*0)

【解析】函數/(x)=/-2x+3=(x-l)2+2在［1,用上單調遞增，g(x)=log2X+機在［1,4］

上單調遞增，

”(X)1nto=/⑴=2，g⑺皿*=g(4)=2+根,

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對任意的司，x2e\lf4]有/（』）>g（%）恒成立，

>g（x）max,即2>2+加，解得掰<0,

實數加的取值范圍是（-巴0）.

故答案為：（-鞏0）.

【對點訓練26】（2024?全國?高三專題練習）已知函數/（x）=x2-2x+3,g（無）=log2X+〃z,

若對內?2,4],電?16,32],使得/（xjg（x2）,則實數加的取值范圍為.

【答案】（-吟-1]

【解析】因為對％e[2,4],切€[16,32],使得/（須）Wg（xj,

所以“xA/gGL，

因為/（x）=f-2x+3的對稱軸為尤=1,所以“X）在[2,4]上單調遞增，所以

/（「/⑵=3，

又因為8卜）=1。8/+用在[16,32]上單調遞增，所以=g（16）=4+機,

所以324+機，所以加V-1,即機e（-oo,-l],

故答案為：

【對點訓練271（2024?全國?高三專題練習）已知函數

/（X）=（log0x）-+21og.x+3（a>0,a豐1）.

（1）若/（3）=2,求°的值；

⑵若對任意的xe[8,12],/（x）>6恒成立，求。的取值范圍.

【解析】（1）因為/（3）=2,所以（log,3『+21og.3+3=2,

所以（log*+l）、。，所以log“3=-1,解得a=；.

（2）由〃x）>6,得（108"幻2+2108戶-3>0,即（log。尤+3）（log.x-1）>0,

即log“x<-3或log“x>1.

當0<。<1時，log°12Wlog“x41og08,則log。8<-3或log”12>1,

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因為log.12<loga1=0,則log“12>1不成立，

由10gti8<-3可得<8,得g<a<l；

loga8<logax<loga12,則log012<-3或log08>1,

因為log,12>log.1=0,則logJ2<-3不成立,所以log08>l,解得l<a<8.

綜上，0的取值范圍是

【對點訓練28](2024?全國?高三專題練習)已知點x)=3-21og4,g(x)=log2x.

(1)當xe[l,4]時,求函數y="(x)+l]-g(x)的值域；

(2)對任意xe[2",2"+[,其中常數〃eN,不等式/(x?).〃￡)>奴(x)恒成立，求實數左

的取值范圍.

【解析】(1)因為/(x)=3-21og2X,g(x)=log2x,J=[/(x)+l]-g(x)

2

令y=〃(x)=(4-2log2x)-log2x=-2(log2x-1)+2,

VXG[1,4],Alog2xe[0,2],所以當咋2X=1,即x=2時取最大值“%熊*=2,當log2X=0

或2,即X=1或x=4時取最小值〃(％)min=0，

???函數“X)的值域為[0,2].

(2)由/12)./(五)〉左遭(力得(3-41082%)(3-1082')>左/082%,

令/=log2X,X￡[2〃，2*1],/.t=log2XG[w,A?+l],

:.(3-4。(3-。>左K對一切的，+司恒成立，

①當〃=0時，若"0時，左ER；

當fe(O,l]時，:<(3-4?(3一、恒成立,即左<射+：一15,

a

函數4f+：-15在fe(O,l]單調遞減，于是1=1時取最小值-2,此時x=2,

于是左€(-嗎一2)；

②當”=1時，此時時，左<0—")(3-)恒成立,即發〈書+2-15,

2025高考數學必刷題

QQoQ

V4t+-＞n,當且僅當今=：,即公;時取等號，即由+：-15的最小值為-3,左e(-8,-3)；

③當〃“時，此時fe[%〃+1]時，(＜(3一47(3恒成立,即左＜務+:—15,

函數4/+；-15在+1]單調遞增，于是/=〃時取最小值4〃-15+2,

此時x=2",于是左?[-00,4"-15+3.

綜上可得：當〃=0時左-2),當〃=1時左e(-oo,-3),當〃22時，后e]-oo,4"-15+g)

【解題方法總結】

(1)利用數形結合思想，結合對數函數的圖像求解；

(2)分離自變量與參變量，利用等價轉化思想，轉化為函數的最值問題.

(3)涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，借助同構思想構造函數，利用

導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.

題型五：對數函數的綜合問題

【例5】(多選題)(2024?湖北?黃岡中學校聯考模擬預測)已知。＞1,b〉l,\=2",

a-1

工=log",則以下結論正確的是()

b-\

A.a+T=b+log2bB,=1

C.a—b＜—2D.Q+〉4

【答案】ABD

Y1

【解析】對于A,由題意知，a,b是函數/z(x)=-7=l+一；分別與函數/(x)=2",

x-1x-1

g(x)=log2X圖象交點的橫坐標,

由＞=」的圖象關于〉=》對稱，

X

則其向上，向右都平移一個單位后的解析式為力(X)=1+一二，

x-1

所以以X)的圖象也關于＞=X對稱，

又/(x),g(x)兩個函數的圖象關于直線了=尤對稱，

故兩交點(a,2"),(i,10g2b)關于直線V=X對稱，

所以a=log2、，6=2",故A正確;

2025高考數學必刷題

d1111

對于B,結合選項A得---二=2。=b,貝即一+：=1,BPT7+-^=1成U,

a-\ab2log2b

故B正確；

對于C,結合選項A得。一b=log2b—儀2<Z?<4）,令胃為二卜且2^—6,則——1<0,

pin2

所以奴5）=1（^26—6在（2,4）上單調遞減，則a：b）>k）g24—4=-2,故C錯誤；

對于D,結合選項B得。+6=（。+份（工+：］=2+2+￡>4（8b,即不等式取不到等號），

\ab）ab

故D正確.

故選：ABD.

m

【對點訓練29］（2024?海南海口?統考模擬預測）已知正實數加，〃滿足：nkin=e-nlnm,

則”的最小值為.

m

2

【答案】-e

4

e"

【解析】由〃In〃=屋一〃In加可得：——=Inm+Inz?,

n

所以〃一m〃=in冽,+m-ln^=m+lnm=eto/w+lnm,

設/(x)=e"+x,/z(x)=ex+1>0,

所以在R上單調遞增，所以/（加-ln〃）=/（l皿）,

e

則加一In〃=In加，所以In〃=In——，

m

e*(x-2)

所以〃=J,所以巴=1令g(x)q,g()=eF].2x

mmm

令短（無）>0,解得：x>2；令g'（x）<0,解得：0Vx<2；

所以g（無）在（0,2）上單調遞減，在（2,+⑹上單調遞增,

2

所以g（x）mM=g（2）=1e.

2025高考數學必刷題

故上的最小值為貴.

m4

2

故答案為：e

4

【對點訓練30】（多選題）（2024?廣東惠州?統考一模）若6"=2,6。=3,則（）

A.—>1B.cib<一

a4

11

C.a7+b9<—D.b—a>一

25

【答案】ABD

【解析】因為6"=3,6"=2,所以b=log63,a=log62,則a+6=l,

b103

選項A,—==1°§23>log22=1,故A正確；

alog62

選項B,因為a+b=log63+log62=log66=l,且。>0/>0,0#6,所以,故

B正確；

選項C,+/?2=（a+b）2-2ab=1-2ab>l-2x—=—,故C錯誤；

42

3243

選項D,因為5（b-a）=51og6]=log6q>log66=l,故D正確，

故選：ABD.

【對點訓練30（2024河南高三信陽高中校聯考階段練習）已知為，巧分別是方程x+e，=3

和x+lnx=