教學設計

課程基本信息課例編號學科數學年級高一學期第一學期課題冪函數教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.通過具體實例，了解冪函數的定義，會畫五個冪函數的圖象，能歸納出它們的性質；2.通過對冪函數的研究，體會研究一類函數的基本內容和方法;3.通過冪函數性質的證明，提升代數推理的能力，培養數學運算和數學推理的素養.教學重點：冪函數的概念及五個冪函數的圖象與性質.教學難點：概括五個冪函數的共性，以及冪函數性質的證明.教學過程時間教學環節主要師生活動引入前面我們學習了函數的概念，利用函數概念和對圖象的觀察，研究了函數的一些性質.本節我們利用這些知識研究一類新的函數.5分鐘（一）冪函數概念的抽象問題1：我們知道函數可以來刻畫現實世界中的實際問題，請看下面幾個例子：(1)如果張紅以1元/kg的價格購買了某種蔬菜wkg，那么她需要支付p=w元，這里p是w的函數；（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積，這里S是a的函數；（3）如果立方體的棱長為b，那么立方體的體積，這里V是b的函數；（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長，這里c是S的函數；注意：可以表示為，這個轉化會在后面學習.（5）如果某人ts內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度，這里v是t的函數.觀察這五個函數的解析式，從解析式的結構特征看，它們有什么共性？師生活動：教師提出問題，學生觀察思考后回答問題.根據學生的回答，教師進行必要的補充.最后指明：(1)這幾個函數解析式都具有冪的形式；(2)冪的底數是自變量，指數是常數.教師給出冪函數概念.冪函數概念：一般地，函數叫做冪函數，其中x是自變量，是常數.追問：能否根據冪函數的概念舉出一些冪函數的例子呢？如：，，等.注意：冪的指數除了可以取整數之外，還可以取其他實數，當它們取其他實數時冪也有各自的含義，這些會在后面學習.對于冪函數，我們只研究1，2，3，，1時的圖象與性質.師生活動：教師提出問題，學生思考后回答.教師根據學生的回答，對學生舉出的具體冪函數的解析式進行評價糾錯.設計意圖：通過學生熟悉的實際問題引出冪函數；通過追問引導學生抓住冪函數的形式特點.15分鐘（二）冪函數的圖象與性質問題2：結合初中學習一次函數、二次函數及反比例函數的經驗及前面學習的函數知識，思考研究一類函數的一般路徑是什么？師生活動：學生回答.教師在學生回答基礎上進行補充，最后指出我們首先通過對實例的抽象得到某類函數概念，然后根據函數的解析式求出函數的定義域，畫出函數圖象，畫圖的時候，可以借助初中學習的描點法畫圖，同時可以借助函數性質來幫助我們簡化畫圖的過程.然后利用圖象和解析式，討論函數的值域、單調性、奇偶性等性質,并解決相關的應用問題.設計意圖：引導學生回顧已有經驗，給出研究函數的路徑.問題3：關于這五個冪函數，，，是我們熟悉的，在同一個坐標系中畫出它們的圖象并總結它們的性質.定義域：R，值域：R，奇偶性：奇函數，單調性：在R上單調遞增.定義域：R，值域：，奇偶性：偶函數，單調性：在上單調遞減,在上單調遞增.定義域：，值域：，奇偶性：奇函數，單調性：在上單調遞減,在上單調遞減.問題4：如何畫出和的圖象？追問：觀察這兩個函數的解析式，你能先說出它們的一些性質嗎？分析：的定義域是，的定義域分別是，是奇函數.定義域不關于原點對稱，因此，既不是奇函數又不是偶函數.師生活動：學生回答.最后使學生認識到：通過解析式，可以得到和的定義域，并可以知道是奇函數，既不是奇函數又不是偶函數；而且通過解析式得到函數的性質后，可以簡化作圖的過程.學生進行作圖，在一個坐標系中畫出五個冪函數的圖象，教師利用信息技術進行畫圖并演示.設計意圖：引導學生體會研究一類函數的方法.其中，讓學生先觀察函數和解析式的特點，對函數的定義域、單調性、奇偶性進行初步判斷，這樣可以使學生提高取點的目的性，使圖象更好的反映函數的特征，而且可以使學生體會高中階段研究函數性質的新特點.問題5：觀察函數和的圖象結合函數解析式，將你發現的結論寫在下表內.定義域值域奇偶性單調性師生活動：學生回答，通過交流補充歸納得到五個冪函數的性質，并將這些性質填入表格中.問題6：觀察函數圖象結合表格，總結它們具有哪些共同性質？有哪些不同的性質？同學們可以從以下角度觀察（1）圖象分布的區域，公共點；（2）函數的對稱性；（3）函數的變化趨勢.（1）函數，，，和的圖象都通過點（1，-1）；（2）函數，，是奇函數，函數是偶函數；（3）在區間上，函數，，，單調遞增，函數單調遞減；（4）在第一象限內，函數的圖象向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近.設計意圖：引導學生觀察函數的圖象，得出五個函數各自性質的基礎上，歸納共性和差異性，得出冪函數的一些基本性質.問題7：前面我們從形的角度觀察得到了冪函數的單調性，你能從代數的角度證明冪函數是增函數嗎？證明：函數的定義域是.，且，有（注：由于沒有理論支撐判斷與的大小，所以我們采用分子有理化的方法對式子進行變形，分子分母同時乘以.）.因為，,所以，即冪函數是增函數.師生活動：教師提出問題，學生獨立完成.教師對學生的證明過程進行評價糾錯.設計意圖：引導學生對觀察得到的性質進行理性思考，利用解析式對結論進行嚴格證明，提高學生思維的嚴謹性.同時引導學生認識到用抽象語言表述的單調性定義在證明中的重要作用.2分鐘