2024-2025學年上海市奉賢區九年級（上）期中數學試卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列兩個圖形一定相似的是（）

A.兩個等腰三角形B.兩個等邊三角形C.兩個矩形D.兩個梯形

2.若升與中。，則惡|的值是（）

A4B.TC.|D.-|

3.已知D、E分別在△力BC的BA、C4的延長線上，下列給出的條件中能判定ED〃BC的是（）

AAAE，-AB卜HAB-AC（、DE-ADI一jDE-BD

AD~ACBD~CEBC~ABBC~CE

4.把拋物線y=/-4%+2向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的頂點坐標是（）

A.(5-4)B.(5,0)C.(-1-4)D.(-1,0)

5.如圖所示：拋物線y=ax2+bx+c(aW0)的對稱軸是直線％=1,

則下列說法正確的是()

A.abc<0B,a+Z)+c>0

C.b>a+cD,b=-2a

6.如圖，在△ZBC中，點。、E分別在邊43、ZC上，四邊形DEGF是平行四邊形，點F、G在邊BC上,

2N〃。產交BC于點N.甲、乙兩位同學在研究這個圖形時，分別產生了以下兩個結論：①器+券=1；②

Dl\L/V

株+株=1?那么下列說法中，正確的是（）

DC.AN

A.①正確②錯誤

B.①錯誤②正確

C.①、②皆正確

D.①、②皆錯誤

二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。

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7.如果在比例尺為L1000000的地圖上，4、B兩地的圖上距離是4.2厘米，那么4、B兩地的實際距離是

______千米.

8.已知線段b是線段a,c的比例中項，a-4cm,b-6cm,那么c=cm.

9.已知拋物線y=x2+bx+4經過(-2,ri)和(4,ri)兩點，則6的值為.

10.在小提琴的設計中，經常會引入黃金分割的概念.如圖，一架小提琴中AC、BC、

AB各部分長度的比滿足彩=%，則我=_____.

DC71JD/iD

n.已知點4(1,%)、B(-2,y2)>c(一",為)在函數y=］必的圖象

上，則月、丫2、乃的大小關系是-

12.如圖，已知如B//CD//EF,BD-.DF=1：2,AC=5,那么

CE=_

13.已知△ABCs相似比為1：4,若△力8c的面積為2,則△DEF的面積為

14.圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數據如圖)，用去一部分液體后如圖2所示，此時液面48=

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18.定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高

底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”.

如圖，已知A與，2之間的距離為2.“等高底”△48C的“等底”BC在直線h

上，點力在直線6上，△ABC有一邊的長是BC的也倍.將△ABC繞點C按順時針方向

旋轉45。得到△4'B'C,A'C所在直線交勿于點。，貝北。=.

三、解答題：本題共7小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題10分)

已知a：b：c=2：3：4,且a+2b-3c=20,試求a-2b+3c的值.

20.（本小題10分）

如圖，已知直線0、如b分別截直線〃于點4B、C,截直線卜于點。、E、F,S.I1//I2//I3.

(1)如果4B=3,BC=6,DE=4,求EF的長;

(2)如果OE：EF=2：3,AC=25,求2B的長.

21.（本小題10分）

如圖，力。是△ABC的中線，E是力。上一點，5.AD=4AE,聯結BE并延長交力C于點F,過點力作4G〃BC交

BF的延長線于點G.

（1）求力G：BC的值;

（2）求GF：BE的值.

22.（本小題10分）

小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7根，水柱在

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距噴水頭P水平距離5nl處達到最高，最高點距地面3.2小；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的

表達式為y=a(x-h)2+k,其中x(zn)是水柱距噴水頭的水平距離，y(m)是水柱距地面的高度.

(1)求拋物線的表達式.

(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3nl.身高1.6爪的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接

觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離.

23.(本小題12分)

如圖，在Rt△ABC中，ABAC=90。，CD平分NBC4作4E1CD交BC于點、E,垂足為尸.作BG1AE,垂

足為G.

(1)求證：AC2^CF-CD.

(2)求證：AE-AG=2BG-CF.

24.(本小題12分)

如圖，在直角坐標平面xOy中，點4在y軸的負半軸上，點C在%軸的正半軸上，AB//OC,拋物線y=a久2

-2a久一4(a力0)經過4、B、C三點.

(1)求點4、B的坐標；

(2)聯結AC、OB、BC,當4c1OB時，

①求拋物線表達式；

②在拋物線上是否存在點P,使得S4p4c=4S44BC?如果存在，求出所有符合條件的點P坐標；如果不存

在，請說明理由.

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25.(本小題14分)

如圖，RtAABC^,ZC=90°,CD是斜邊力B上的高，BD=1,CD=2,點E為邊AC上點(點E不與點4、

。重合)，聯結DE,作CF1DE,CF與邊4B、線段DE分別交于點尸、G.

(1)求證：AECDsACBF；

(2)當CD=￡。時，求S^ECD的值；

(3)聯結EF,當aFFG與△CDG相似時，求線段CE的長.

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參考答案

1.5

2.D

3.5

4.C

5.D

6.C

7.42

8.9

9.-2

10.^^

ll.yi<y3<72

12.10

13.32

14.3cm

15.4：5

16.3或3#

17.3<x<4

19.解：???a：b：c=2：3：4,

設a=2k,b—3k,c—4k(kW0),

??,a+2b-3c=20,

???2/c+2x3fc—3x4/c=20,

解得k=-5,

a=-10,b=-15,c=-20,

a—2b+3c=-10—2x(-15)+3x(-20)=-10+30-60=—40.

20.解:⑴

.AB_DE

''~BC~~EF9

???AB=3,BC=6,DE=4,

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34

J6=EF,

解得EF=8；

(2)vh//l2//^

.ABDE

??麗一斤

???DE：EF=2：3,AC=25,

.AB-2

25—43=H，

解得48=10.

21.解：⑴???AG/IBC,AD=4AE,

.AG_AE_GE_1

't~BD~~ED~~BE~^

???D為BC的中點,

...BD=DC=^BC,

???AG"BC,

.AG_GF_1

??麗―麗—％'

(2)根據(1?E=3(GF+FE),BF=6GF,

???6GF-EF=3GF+3EF,

??.EF=4GF,

4

???GF：BE=4：21,

故答案為:(1)1;(2)4：21.

22.解：(1)由題意知，拋物線頂點為(5,3.2),

設拋物線的表達式為y=a(%-5)2+3.2,將(0,0,7)代入得:

0.7=25a+3.2,

1

解得：a=)

-117

???y=一而(久-5)2+3.2=x2+x+—,

所以拋物線的表達式為y=-42+x+R

17

(2)當y=1.6時，一行久2+%+而=1.6,

解得：x=1或x=9,

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???她與爸爸的水平距離為3-1=27n或9一3=6m,

答：當她的頭頂恰好接觸到水柱時，與爸爸的水平距離是2血或6M.

23.證明：(1)丁乙BAC=90°,AE1CD,

??.ABAC=^AFC=90°,

又???A.ACF=^LACD,

ACF^ADCA,

.號喑，即=

(2)-■?CD平分N8C4,

AAACF=乙ECF.

AE1CD,

???/,AFC=/.EFC=90°,

在△ZFC和△ETC中，

(A.ACF=乙ECF

CF=CF,

^AFC=乙EFC

???△”3△EFCQ4SZ),

...FA=FE='E,

???^BAC=90°,

??.A.DAF+Z.CAF=90°.

又AE1CD,

???^CAF+Z.ACF=90°,

???Z-DAF=Z-ACF.

BG_LAGf

???(G=^BAC=90。，

AGB^△CFA,

rpApi

蕓=黑，即以E?AG=CF?BG,

/iUDUZ

???AE-AG=2BG-CF.

24.解：(1)拋物線的對稱軸為：%=-A=i,

對于y=a%2—2。%—4,令％=0,則y=-4,即點A(0,—4),

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根據拋物線的對稱性，則點B(2,-4),

即點2、B的坐標分別為：(0,-4)>(2-4)；

AC1OB,

則tanzO/C=2,

???OA=4,貝UOC=8,即點C(8,0),

將點C的坐標代入拋物線表達式得：64a-16a-4=0,

解得：a=表,

則拋物線的表達式為：y=各2_宗_4①；

②存在，理由：

過點B作直線n〃4C交y軸于點N,在點4的上方取點M,使AM=4AN,

貝4c=4S44BC，過點M作直線

則直線的表達式為：y=，(久-2)-4,

當x=0時，y=—5,即點N(0,—5),

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貝IjAN=1,貝IjAM=4,

即點M(0,0),

則直線nt的表達式為：y②，

聯立①②得：擊-4=1x,

解得：%=4±4々，

即點P的坐標為：(4±4々,2±2")

25.解:(1)ZC=90°,

Z-A+Z-B=90°,

???CD是斜邊AB上的高，

???2LADC=4JDB=90。，

.??+Z.ACD=90°,(FCD+乙CFD=90°,

Z..ACD=乙B,

???CF1DE,

???乙FGD=90°,

???乙GFD+Z.GDF=90°,

???Z.GDF=Z.FCD,

,?*Z.CED=Z-A+乙GDF,乙FCB=Z.GCD+乙DCB,

???Z.ECD=乙CBF,Z.CED=Z-BCF,

ECDs△CBF.

(2)作O”1ZC交/。于U,

???/.ADC=CCDB=90°,BD=1,CD=2,

1

tanZ.DCB=-,

DH1AC,

???乙DHC=90°,

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???乙ACB=90°,

??.DH//BC,

???乙HDC=ABCD,

1

???tanZ.H￡)C=-,

設C”=x,則。”=2x,

在中，有C”2+D“2=CO2,

.??x2+(2x)2=22,

...CH=年，DH=喂

???CD=ED,DH1AC,

??.EC=2CH=/

?--SAECD=^EC,DH=*警x喈=|.

(3)①當△EFGS