2024-2025學年江蘇省無錫市新吳區九年級（上）期中數學試卷及解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x+＝12．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，配方正確的是（）A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣6）2＝14 C．（x﹣3）2＝14 D．（x+3）2＝43．（3分）⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為2，若點P在⊙O外，則（）A．0＜r＜2 B．r＝2 C．r＞2 D．r≥24．（3分）關于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．不能判斷5．（3分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．△ABC的三條中線的交點 B．△ABC三條高所在直線的交點 C．△ABC三條角平分線的交點 D．以上都不對6．（3分）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應為多少米？設道路的寬為x米，則可列方程為（）A．100×80﹣100x﹣80x＝7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644 C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644 D．100x+80x＝100×80﹣76447．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠C＝130°，則∠BOD的度數為（）A．50° B．100° C．130° D．150°8．（3分）有下列結論：（1）三點確定一個圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各頂點的距離相等；（4）弧長相等的弧是等弧．其中正確結論的個數有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個9．（3分）“圓材埋壁”是我國古代著名數學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”此問題即：“如圖所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，求圓的直徑”（1尺＝10寸）根據題意直徑長為（）A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸10．（3分）如圖，點A的坐標是（﹣3，0），點C是以OA為直徑的⊙B上的一動點，點A關于點C的對稱點為點P（x，y），則x+y的最大值為（）A．3 B． C．6 D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置）11．（3分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一個根，則實數c的值是．12．（3分）寫出一個根為﹣1的一元二次方程：．13．（3分）一個圓錐的母線長為13，底面圓的半徑為5，則此圓錐的側面積是．14．（3分）已知三角形的邊長分別是3，4，5，則它的外接圓的半徑是．15．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠D＝34°，則∠A的度數為．16．（3分）如圖，用一個半徑為4cm的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了100°，假設繩索粗細不計，且與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了cm．（結果保留π）17．（3分）已知m，n，3分別是等腰三角形三邊的長，且m，n是關于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的兩個實數根，則k的值為．18．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝4，點C在半徑OA上，將△BOC沿著BC翻折，點O的對稱點D恰好落在弧AB上，再將弧AD沿著CD翻折至弧A1D（點A1是點A的對稱點），那么OA1的長為．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（8分）解方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）2x2﹣5x+2＝0．20．（8分）已知關于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有實數根．（1）求m的取值范圍；（2）若方程有一個根為x＝1，求m的值及另一個根．21．（10分）如圖，點P是⊙O內一定點．（1）過點P作弦AB，使點P是AB的中點（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若⊙O的半徑為13，OP＝5，①求過點P的弦的長度m范圍；②過點P的弦中，長度為整數的弦有條．22．（10分）如圖，已知A、B、C均在⊙O上，請用無刻度直尺作圖．（1）若∠A＝34°，求作一個56°的角；（2）M、N分別是BC、AC邊中點，求作△ABC的內心．23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若，則陰影部分的面積？24．（10分）如圖，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，點E與點A在直徑BC的兩側，且，BE、AC的延長線交于點G，BE與AD的延長線交于點F．（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由．（2）若⊙O的半徑為5，OD＝2，求AF的長．25．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？26．（10分）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根，其中一個實數根是另一個實數根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是x1＝2，x2＝4，則方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）根據上述定義，一元二次方程x2﹣3x+2＝0（填“是”或“不是”）“倍根方程”；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求m與n的關系；（3）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之間的關系．27．（10分）【給出問題】如圖1，正方形ABCD內接于⊙O，P是的中點，連接AP，DP．求證：AP＝DP；【深入思考】如圖2，正方形ABCD內接于⊙O，點P為BC上任意一點，連接PA、PB、PC，請探究PA、PB、PC三者之間有何數量關系，并給予證明．【拓展應用】如圖3，若四邊形ABCD是矩形，點P為邊AD上一點，∠BPC＝45°，PA＝1，PD＝2，試求矩形ABCD的面積．28．（10分）已知線段AM＝5，射線AS垂直于AM，點N在射線AS上，設AN＝n，點P在經過點N且平行于AM的直線上運動，∠PAM的平分線交直線NP于點Q，過點Q作QB∥AP，交線段AM于點B，連接PB交AQ于點C，以Q為圓心，QC為半徑作圓．（1）判斷PB與⊙Q的位置關系：；（2）已知⊙Q的半徑為3，當AM所在直線與⊙Q相切時，求PA的長；（3）當n＝2時，若⊙Q與線段AM只有一個公共點，則⊙Q的半徑的取值范圍是多少？

2024-2025學年江蘇省無錫市新吳區九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x+＝1【答案】A【分析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．該方程是一元二次方程，故本選項符合題意；B．該方程是二元二次方程，故本選項不符合題意；C．該方程是一元一次方程，故本選項不符合題意；D．該方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：A．2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，配方正確的是（）A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣6）2＝14 C．（x﹣3）2＝14 D．（x+3）2＝4【答案】C【分析】方程移項變形后，利用完全平方公式化簡得到結果，即可做出判斷．【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，移項，得x2﹣6x＝5，配方，得x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，故選：C．3．（3分）⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為2，若點P在⊙O外，則（）A．0＜r＜2 B．r＝2 C．r＞2 D．r≥2【答案】A【分析】根據點P在圓外?d＞r作出判斷即可．【解答】解：∵點P在⊙O外，∴r＜d，∵⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為2，∴0＜r＜2．故選：A．4．（3分）關于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．不能判斷【答案】A【分析】判斷出判別式的值，可得結論．【解答】解：由題意得，Δ＝m2﹣4×（﹣8）＝m2+32＞0，∴原方程有兩個不相等的實數根，故選：A．5．（3分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．△ABC的三條中線的交點 B．△ABC三條高所在直線的交點 C．△ABC三條角平分線的交點 D．以上都不對【答案】C【分析】由三角形內心的性質，即可判斷．【解答】解：∵三角形三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，∴要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在△ABC三條角平分線的交點．故選：C．6．（3分）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應為多少米？設道路的寬為x米，則可列方程為（）A．100×80﹣100x﹣80x＝7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644 C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644 D．100x+80x＝100×80﹣7644【答案】C【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的矩形場地還是一個長方形，根據長方形的面積公式列方程．【解答】解：由題意有（100﹣x）（80﹣x）＝7644，故選：C．7．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠C＝130°，則∠BOD的度數為（）A．50° B．100° C．130° D．150°【答案】B【分析】由于四邊形ABCD內接于⊙O，根據圓內接四邊形的對角互補即可求得∠BAD的度數，而∠BAD、∠BOD是同弧所對的圓周角和圓心角，根據圓周角定理即可得到∠BOD的度數．【解答】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°．故選：B．8．（3分）有下列結論：（1）三點確定一個圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各頂點的距離相等；（4）弧長相等的弧是等弧．其中正確結論的個數有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關系定理、垂徑定理、三角形的外心等弧定義進行判斷即可得到正確結論．【解答】解：（1）不共線的三點確定一個圓，故不符合題意；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故不符合題意；（3）三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等，故符合題意；（4）在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧是等弧，故不符合題意．故選：B．9．（3分）“圓材埋壁”是我國古代著名數學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”此問題即：“如圖所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，求圓的直徑”（1尺＝10寸）根據題意直徑長為（）A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸【答案】D【分析】連接OD，OA，根據垂徑定理求出AD的長，再根據勾股定理求出OA的值即可．【解答】解：連接OD，OA，∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，∴AD＝5寸，在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13，故圓的直徑為26寸，故選：D．10．（3分）如圖，點A的坐標是（﹣3，0），點C是以OA為直徑的⊙B上的一動點，點A關于點C的對稱點為點P（x，y），則x+y的最大值為（）A．3 B． C．6 D．【答案】B【分析】由題易知OP＝OA＝3，所以點P的運動軌跡為以O為圓心，3為半徑的圓，令x+y＝m，則y＝﹣x+m，要求m值最大，因為m越往上越大，所以當直線于⊙O相切時，m最大，進而求解即可．【解答】解：連接OC，OP，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∵點A關于點C的對稱點為點P（x，y），∴OP＝OA＝3，∴點P在以O為圓心，3為半徑的圓上運動，令x+y＝m，則y＝﹣x+m，∵要求m值最大，∴m越往上越大，∴當直線于⊙O相切時，m最大，設直線于y軸交于點Q，切點為P'，連接OP'，則OP'＝3，由直線比例系數k＝1可知，直線與坐標軸所夾銳角為45°，∴△OP'Q為等腰直角三角形，∴OQ＝OP'＝3，即x+y＝m＝3，∴x+y最大值為3，故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置）11．（3分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一個根，則實數c的值是2．【答案】見試題解答內容【分析】根據一元二次方程的解的定義，將x＝1，代入原方程，得到關于c的一元一次方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一個根，∴1﹣3+c＝0，解得：c＝2，故答案為：2．12．（3分）寫出一個根為﹣1的一元二次方程：x2＝1（答案不唯一）．【答案】x2＝1（答案不唯一）．【分析】根據一元二次方程解的定義及一元二次方程的定義即可解決問題．【解答】解：因為一元二次方程的一個根為﹣1，所以這個方程可以為：x2＝1（答案不唯一）．故答案為：x2＝1（答案不唯一）．13．（3分）一個圓錐的母線長為13，底面圓的半徑為5，則此圓錐的側面積是65π．【答案】見試題解答內容【分析】根據圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解．【解答】解：此圓錐的側面積＝×13×2π×5＝65π．故答案為65π．14．（3分）已知三角形的邊長分別是3，4，5，則它的外接圓的半徑是2.5．【答案】2.5．【分析】先利用勾股定理的逆定理，判定該三角形為直角三角形，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可以判定該三角形的外接圓的圓心在斜邊的中點上，故斜邊長的一半即為外接圓半徑，即可解決．【解答】解：設△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，如圖1，∵32+42＝52，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，取AC邊的中點O，∴OB＝OA＝OC，∴A，B，C三點在以O為圓心，OB為半徑的圓上，即⊙O是△ABC的外接圓，∵OB＝，∴△ABC的外接圓的半徑為2.5，故答案為：2.5．15．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠D＝34°，則∠A的度數為28°．【答案】28°．【分析】連接OC，根據切線的性質得∠OCD＝90°，求出∠DOC的度數，再根據圓周角定理計算∠A的度數．【解答】解：如圖，連接OC，∵DC切⊙O于點C，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝34°，∴∠DOC＝90°﹣34°＝56°，∴，故答案為：28°．16．（3分）如圖，用一個半徑為4cm的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了100°，假設繩索粗細不計，且與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了cm．（結果保留π）【答案】．【分析】根據弧長的計算方法計算半徑為4cm，圓心角為100°的弧長即可．【解答】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為6cm，圓心角為100°所對應的弧長，即，故答案為：．17．（3分）已知m，n，3分別是等腰三角形三邊的長，且m，n是關于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的兩個實數根，則k的值為5或6．【答案】5或6．【分析】分為兩種情況：①m、n是腰，②m、n其中一個是腰，另一個是底邊，分別求出答案即可．【解答】解：①當m、n為腰時，m＝n，∵m、n是關于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的兩個根，∴方程有兩個相等的實數根，∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（21﹣k）＝0，解得：k＝5；②當m和3（或n和3）是腰時，m＝3，把m＝3代入方程得9﹣24+21﹣k＝0，解得：k＝6；所以k＝5或6．故答案為：5或6．18．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝4，點C在半徑OA上，將△BOC沿著BC翻折，點O的對稱點D恰好落在弧AB上，再將弧AD沿著CD翻折至弧A1D（點A1是點A的對稱點），那么OA1的長為4﹣4．【答案】4﹣4．【分析】根據翻折的性質，等邊三角形的判定和性質以及直角三角形的邊角關系進行計算即可．【解答】解：如圖，連接OD，由翻折的性質可知，OB＝BD，OC＝DC，AC＝A1C，∠BOC＝∠BDC＝105°，∵OB＝OD，∴OB＝OD＝BD，∴△BOD是正三角形，∠OBD＝60°，∴∠OCD＝360°﹣105°﹣105°﹣60°＝90°，設AC＝a，則OC＝4﹣a＝CD，A1O＝4﹣2a，在Rt△COD中，OC＝CD＝4﹣a，OD＝4，由勾股定理得，OC2+CD2＝OD2，即（4﹣a）2+（4﹣a）2＝16，解得a＝4﹣2或a＝4+2＞4（舍去），∴OA1＝OA﹣2AC＝4﹣2（4﹣2）＝4﹣8+4＝4﹣4．故答案為：4﹣4．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（8分）解方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）2x2﹣5x+2＝0．【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝，x2＝2．【分析】（1）利用直接開平方法解方程（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2；（2）2x2﹣5x+2＝0，（2x﹣1）（x﹣2）＝0，∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝，x2＝2．20．（8分）已知關于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有實數根．（1）求m的取值范圍；（2）若方程有一個根為x＝1，求m的值及另一個根．【答案】見試題解答內容【分析】（1）由方程有實數根結合根的判別式即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）將x＝1代入原方程求出m值，再將m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次不等式即可得出方程的另一個根．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有實數根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝4m﹣4≥0，解得：m≥1．（2）將x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，解得：m＝5，∴原方程為x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3．∴m的值為5，方程的另一個根為x＝﹣3．21．（10分）如圖，點P是⊙O內一定點．（1）過點P作弦AB，使點P是AB的中點（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若⊙O的半徑為13，OP＝5，①求過點P的弦的長度m范圍；②過點P的弦中，長度為整數的弦有4條．【答案】見試題解答內容【分析】（1）連接OP并延長，過點P作AB⊥OP即可；（2）①過點P的所有弦中，直徑最長為26，與OP垂直的弦最短，由垂徑定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案；②過P點最長的弦為直徑26，最短的弦24，長度為25的弦有2條，即可得出結論．【解答】解：（1）如圖1，連接OP并延長，過點P作AB⊥OP，則弦AB即為所求；（2）①過點P的所有弦中，直徑最長為26，與OP垂直的弦最短，連接OA，如圖2所示：∵OP⊥AB，∴AP＝BP＝＝＝12，∴AB＝2AP＝24，∴過點P的弦的長度m范圍為24≤m≤26；②∵過P點最長的弦為直徑26，最短的弦24，∴長度為25的弦有兩條，∴過點P的弦中，長度為整數的弦共有4條，故答案為：4．22．（10分）如圖，已知A、B、C均在⊙O上，請用無刻度直尺作圖．（1）若∠A＝34°，求作一個56°的角；（2）M、N分別是BC、AC邊中點，求作△ABC的內心．【答案】見試題解答內容【分析】（1）作直徑CD，連接BD，根據圓周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝∠A＝34°，則∠BCD＝56°；（2）延長OM、ON，分別交⊙O于D、E，則根據垂徑定理得到＝，＝，連接AD、BE相交于P點，根據圓周角定理得到∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，則點P為△ABC的內角平分線的交點，所以點P為△ABC的內心．【解答】解：（1）如圖1，∠BCD為所作；（2）如圖2，點P為所作．23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若，則陰影部分的面積？【答案】（1）見解析；（2）﹣．【分析】（1）連接OD，AD，根據圓周角定理得到AD⊥BC，根據等腰三角形的性質得到BD＝CD，根據三角形中位線定理得到OD∥AC，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C＝30°，∠B＝∠BDO＝30°，得到∠DOA＝60°，根據直角三角形的性質得到CD＝2，DE＝CD＝，AE＝DE＝1，根據三角形的面積公式和扇形的面積公式即可得到結論．【解答】（1）證明：連接OD，AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OB＝OA，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO＝30°，∴∠DOA＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠DEC＝∠AED＝90°，∴∠DAC＝60°，∴∠ADE＝30°，∵CD＝2，∴DE＝CD＝，∴AE＝DE＝1，∴AD＝2AE＝2，∵OA＝OD，∴△ODA是等邊三角形，∴OA＝AD＝2，∴陰影部分的面積＝△AOD的面積+△ADE的面積﹣扇形AOD的面積＝+﹣＝﹣．24．（10分）如圖，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，點E與點A在直徑BC的兩側，且，BE、AC的延長線交于點G，BE與AD的延長線交于點F．（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由．（2）若⊙O的半徑為5，OD＝2，求AF的長．【答案】（1）△FAG是等腰三角形，理由見解答；（2）AF的長是．【分析】（1）由＝，得∠ACB＝∠ABE，則∠G+∠CBE＝∠ABC+∠CBE，所以∠G＝∠ABC，由BC是⊙O的直徑，得∠BAC＝90°，則∠FAG＝∠ABC＝90°﹣∠BAF，所以∠G＝∠FAG，則AF＝GF，所以△FAG是等腰三角形；（2）由OB＝OC＝5，OD＝2，求得BD＝7，BC＝10，可證明△DBA∽△ABC，得＝，求得BA2＝BD?BC＝70，則AD＝＝，再證明∠FBA＝∠FAB，則BF＝AF，由BD2+FD2＝BF2，得72+（AF﹣）2＝AF2，求得AF＝．【解答】解：（1）△FAG是等腰三角形，理由：∵＝，∴∠ACB＝∠ABE，∵∠ACB＝∠G+∠CBE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE，∴∠G+∠CBE＝∠ABC+∠CBE，∴∠G＝∠ABC，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AD⊥BC于點D，∴∠BDA＝90°，∴∠FAG＝∠ABC＝90°﹣∠BAF，∵∠G＝∠FAG，∴AF＝GF，∴△FAG是等腰三角形．（2）∵⊙O的半徑為5，OD＝2，∴OB＝OC＝5，∴BD＝OB+OD＝5+2＝7，BC＝OB+OC＝5+5＝10，∵∠BDA＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠ABC，∴△DBA∽△ABC，∴＝，∴BA2＝BD?BC＝7×10＝70，∴AD＝＝＝，∵∠FBA+∠G＝90°，∠FAB+∠FAG＝90°，且∠G＝∠FAG，∴∠FBA＝∠FAB，∴BF＝AF，∵∠BDF＝90°，FD＝AF﹣，∴BD2+FD2＝BF2，∴72+（AF﹣）2＝AF2，解得AF＝，∴AF的長是．25．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？【答案】見試題解答內容【分析】（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據月銷售利潤＝每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結論．【解答】解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）設該品牌頭盔的實際售價為y元，依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元．26．（10分）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根，其中一個實數根是另一個實數根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是x1＝2，x2＝4，則方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）根據上述定義，一元二次方程x2﹣3x+2＝0是（填“是”或“不是”）“倍根方程”；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求m與n的關系；（3）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之間的關系．【答案】（1）是；（2）n＝4m或n＝m；（3）2b2＝9ac．【分析】（1）將題干中的一元二次方程求解，然后看是否符合題意即可；（2）解方程，求得x1＝2，x2＝，根據題意得出＝4或＝1，進一步求得n＝4m或n＝m；（3）設方程的兩根分別為t，2t，根據根與系數的關系得出t+2t＝﹣，t?2t＝，即可得出結果．【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，解得x1＝2，x2＝1，故該方程是倍根方程；故答案為：是；（2）（x﹣2）（mx﹣n）＝0，∴x﹣2＝0或mx﹣n＝0，解得x1＝2，x2＝，∵（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，∴＝4或＝1，∴n＝4m或n＝m；（3）2b2＝9ac；理由如下：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，∴設方程的兩根分別為t，2t，根據根與系數的關系得t+2t＝﹣，t?2t＝，∴t＝﹣，∴2（﹣）2＝，∴2b2＝9ac．27．（10分）【給出問題】如圖1，正方形ABCD內接于⊙O，P是的中點，連接AP，DP．求證：AP＝DP；【深入思考】如圖2，正方形ABCD內接于⊙O，點P為BC上任意一點，連接PA、PB、PC，請探究PA、PB、PC三者之間有何數量關系，并給予證明．【拓展應用】如圖3，若四邊形ABCD是矩形，點P為邊AD上一點，∠BPC＝45°，PA＝1，PD＝2，試求矩形ABCD的面積．【答案】（1）見解析；（2）PA＝CP+，理由見解析；（3）．【分析】（1）證明即可得到AP＝DP；（2）過點B作BQ⊥BP交AP于點Q，取圓心O，連接OA，OB，證明△ABQ≌△CBP（AAS），得出PA＝AQ+PQ＝CP+；（3）以BC為邊，作正方形BCFE，連接PE，PF，BF，OC，作正方形BCFE的外接圓⊙O，則圓心O在BF上，通過勾股定理求出AE的長度，從而得出矩形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴，∵P是的中點，∴，∴，∴，∴AP＝DP；（2）解：PA＝CP+，理由如下：過點B作BQ⊥BP交AP于點Q，取圓心O，連接OA，OB，∵∠ABC＝∠PBQ＝90°，∴∠ABC﹣∠CBQ＝∠PBQ﹣∠CBQ，∴∠ABQ＝∠CBP，∵∠