考點17相似三角形

在命題趨勢

相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個考點，也是難度最大的一個考點。它不僅可以作為簡單考點單

獨考察，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等問題一起考察。而且，在

很多壓軸題中，雖然題面上沒有明確考察相似三角形的判定或性質(zhì)，但是經(jīng)常通過相似三角形的判定以及

性質(zhì)來得到角相等或者邊長間的關(guān)系，也是動點問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段。需要考生在復(fù)習(xí)的時

候給予加倍的重視！

在知識導(dǎo)圖

?

比例線8

L-比例的基本性質(zhì)基本性質(zhì)a:b=c:d。ad=be

比例黃金分割線：黃金分割比=V5-1

------?0.618

2

平行線分線段成比例的基本性質(zhì)：ABuCDliEF江=空

CFDE

例歸角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

相似三角形

相，以三角形的性質(zhì)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方

相似三角形對應(yīng)邊上的“三線”之比等于相似比

平行于三角形一遍的直線和其它兩邊相交，所得的三角形與原三角形相似

有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相但

相似三角形的判定

兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似

三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似

中重卻考向

一、比例線段

二、相似三角形的性質(zhì)

三、相似三角形的判定

考向一：比例線段

一.比例的性質(zhì)

1.基本性質(zhì)：a:b=c:doad=be；

2

2.比例中項；a.c=c.b^c=abf此時，c為a、b的比例中項；

二.比例線段

［比例線段:在四條線段。為,c,d中，如果〃和b的比等于。和d的比,那么這四條線段冬A叫做成比

例線段簡稱比例線段；

2.黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC,3c（AC>5。，且使AC是A圻口3c的比例中項，叫做把線

段口黃金分割，點。叫做線段"的黃金分割點，其中與1。。.6―。.618AB.

3.平行線分線段成比例的基本性質(zhì):

如圖：AB〃CD〃EFO四二型

CFDE

典例引■

1.若2a=3力（aWO,bKO）,則空也的值為（）

a

A.苴B.-iC.1D.2

333

【分析】根據(jù)2a=3b（aXO,-0）,設(shè)〃=3怎則b=2億然后代入史也計算即可.

a

【解答】解：?：2a=3b（#0,斤0）,

??.設(shè)a=3&,則。=2&,

?.?a+b二3k+2k二5?.

a3k3

故選:A.

2.已知線段a=3,6=12,則小b的比例中項線段等于（）

A.2B.4C.6D.9

【分析】利用比例中項的平方等于兩外項的乘積，進行計算即可.

【解答】解：設(shè)〃，力的比例中項線段為。，

則：J="=3X12=36,

Vc>0,

，c=6.

故選：C.

3.若點C是線段AB的黃金分割點，AC>BC,A8=8,則AC的長度為（）

A.12-4V5B.4V5-4C.5D.275

【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知力C為較長線段；則4。=返工A從代入數(shù)據(jù)即可得出AC的值.

2

【解答】解：???C為線段AB=5的黃金分割點，且4OBC,AC為較長線段，

r.AC=8X1=4^^-4.

2

故選：B.

4.如圖，已知/i〃/2〃/3,AG=2,06=1,CH=3,OH=4,則G0=苴.

一3一

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出里望，求出8G,即可求解.

DHBG

【解答】解：???/i〃/2〃/3,

.CH_AG即3

??瓦荻、這年

??.8G=@,

3

'：G0=BG-05=應(yīng)-1=6,

33

故答案為：1.

3

5.如圖，已知直線人〃/2〃/3,直線A8分別交三條平行線于點A、E、B,直線CO分別交三條平行線于點

C、尸、D,直線AB、8相交于點0,若AE：E0：08=4：2：7,則下列式子①竺，：②"二生

0C3FD9

③1巴上；④旦巴△中，正確的個數(shù)有（）

DB7AC2

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)逐項判斷便可.

【解答】解：

??CF：OF=AE：￡0=4：2,

.OF」，故①正確;

*DC3

：AE：EO：0B=4：2：7,

\AE：BE=4：9,

?"〃/2〃/3,

?.史故②正確;

河BE9

△OEFsAOBD,

故③正確;

△0EFS20AC,

翁愕屏《卷故④錯麻

正確的說法有3個.

故選：B.

考向二：相似三角形的性質(zhì)

相似三角形的性質(zhì)

相似相似三角形的對應(yīng)角桂等，對應(yīng)邊成比例

三角相似三角形的周長之比等于相似比

形的相似三角形的面積之比等于相似比的平方

性質(zhì)相似三角形的對應(yīng)“三線”（高線、中線、角平分線）之比等于相似比

相似三角形性質(zhì)的主要應(yīng)用方向：

>求角的度數(shù)

>求或證明比值關(guān)系

>證線段等積式

>求面積或面積比

相似三角形的對應(yīng)邊成比例是求線段長度的重要方法，也是動點問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段

1.如圖，/XABC中，點。在線段3c上，且△A8CS/XO84,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A

A.AB?=BC?BDB.AB2=AC^CDC.AB?AD=BD?BCD.AB^AD=AD*CD

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算即可得.

【解答】解：???△ABCS/XOBA,

?.--3-D-=-A-B-=-A-D-,

ABBCAC

AB2=BCBD-ABAD=BDAC,

故選:4.

2.已知△ABCS/\DEF,SAABC：SAD￡F=1：4.則它們的周長比為（）

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1

【分析】由△ABCSADE凡SMBC：SdDEF=l：4,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可

求得答案.

【解答】解：:△ABCs△。所，SMBC：S&DEF=1：4,

.??△ABC與△￡>￡：〃的相似比為：1：2,

??.△ABC與△￡>￡：〃的周長比為：I：2.

故選：A.

3.若兩個相似三角形的面積之比為4：9,則它們對應(yīng)角的平分線之比為（）

A.2B.3C.返D.迎

3232

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出相似比，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角的平分線的比

等于相似比計算即可.

【解答】解：???兩個相似三角形的面積之比為4：9,

???兩個相似三角形的相似比為2：3,

???它們對應(yīng)角的平分線之比為2：3,

故選：A.

4.已知△ABCsZXOE尸，且AC：DF=2：3,與所邊上的高分別記為加和也，則加：也等于2：3.

【分析】利用相似三角形的對應(yīng)邊上的高的比等于相似比即可求得答案.

【解答】解：°：△ABCsXDEF,且AC：。尸=2：3,

???相似比為2：3,

:.hi：比等于2：3,

故答案為：2：3.

5.如圖，ZVIBC中，A8=8,AC=6,點E在AB上且AE=3,點尸在AC上，連接所，若尸與△ABC

相似，則AF=9或4.

-4

「步析】根據(jù)題意，要使AAQ?與8c相似，山于本題沒有說明對應(yīng)關(guān)系，故采用分類訶論法.有兩

種可能：

當(dāng)AAE產(chǎn)5c時；當(dāng)時.

【解答】解：當(dāng)△AEFS/XABC時，則士H_,萼，A尸=2

AFACAF64

當(dāng)AAE尸S/\AC8時，則，坐工^,且一般，A尸=4.

AFABAF8

6.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和），軸上，點8的坐標(biāo)為（2,3）,雙曲線y=-K（x>0）

x

的圖象經(jīng)過的中點￡>,且與A8交于點E,連接OE

（1）求的面積

（2）若點尸是OC邊上一點，且AFBCSADEB,求點F坐標(biāo).

【分析】（1）先利用。點為BC的中點得到。（1,3）,再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為〉，=

旦，接著利用E點的橫坐標(biāo)為2得到E（2,弓），然后根據(jù)三角形面積公式求解；

x2

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比可求出然后計算出0尸的長，從而得到點尸坐標(biāo).

【解答】解：（1）點為8C的中點,B（2,3）,

???0(1,3),

把。（1,3）代入y=-三得k=-1X3=-3,

x

???反比例函數(shù)解析式為），=旦，

???E點的橫坐標(biāo)為2,

當(dāng)x=2時，y=3=2,即E(2,3)，

x22

.?.△8OE的面積=1X(2-1)X(3-3)=3；

224

(2)???△尸8cs△OE8,

即座=、_,解得

ACF=BC

BDBE13_3

2

：.OF=OC-CF=3->1=6,

33

，點尸坐標(biāo)為(0,5).

3

考向三：相似三角形的判定

一.相似三角形的判定方法:

A

判定方法A.DE//BC

1?平行/.△ABCcoAADE

判定方法,/ZA=ZA',ZC=ZC'

2?“AA”AADC^AA,B-C-

判定方法.?絲=匹,ZB=ZB

ABBC

3?“SAS”：.AABC^AA'B'C'

..ABBCAC

判定方法—

ABBCAC

4.“SSS”AABC^AA'B*C

二.判定三角形相似的思路:

(1)有平行截線一一用平行線的性質(zhì)，找等角

(2)有一對等角，找!另一對等角

該角的兩邊對應(yīng)成比例

(3)有兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等

找!一對銳角相等

(4)直角三角形,［直角邊、斜邊對應(yīng)成比列

(5)等腰三角形，找一對底角相等

底邊和腰反對應(yīng)成比例

典例引微

??A------------LJ

1.如國，在△ABC中，NA=78°,AB=6,AC=9.將△A3。沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與

原三角形不相似的是()

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.

【解答】解：A、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意.

8、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意;

C、陰影部分的二角形與原二角形有兩個角相等，故兩二角形相似，不符合題意:

。、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意.

故選：A.

【分析】先計算出各三角形的三邊，然后根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似進行判斷.

【解答】解：已知三角形的三邊長為我，242,而,

4選項中的三角形的三邊長為2,V10，3加，

因為雪/需?盧塞■,不符合題意；

8選項中的三角形的三邊長為2,4,K巧，

因為運整_邛，

24275

所以5選項中的三角形與己知三角形相似；

C選項中的三角形的三邊長為2,3,V13,

因為睜聲罵2聲遛＞，不符合題意;

。選項中的三角形的三邊長為泥，V13'嗡嚅呼不符合題意.

故選：B.

3.如圖，點。在AABC的邊AC上，添加下列條件后不能判定△408與aABC相似的是（）

A.ZABD=ZCB.ZADB=ZABCC.D.娼W

ABACBDCD

【分析】由NA是公共角，利用有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可得A與3正確；又由兩組對應(yīng)邊的

比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可得C正確，繼而求得答案.

【解答】解：???/A是公共角，

，當(dāng)N4BO=NC或NA￡>8=NA8C時，（有兩角對應(yīng)相等的三角形相似），故A與B正

確，不符合題意；

當(dāng)他殳出時，△4O8S/X4BC（兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似），故C正確，

ACAB

不符合題意；

當(dāng)空0時，不是夾角，故不能判定△AOB與△45C相似，故。錯誤，符合題意.

3DCD

故選：D.

4.如圖，點。是等腰RlZXABC斜邊8c上的一個動點，以為邊作等腰RlZXADE,斜邊4E交BC于F,

則圖中相似三角形共有（）對.

【分析】根據(jù)“兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形性質(zhì)”判定求解即可.

【解答】解：??.△ABC和△AOE是等腰直角三角形，

???/B=NC=45°,NE=NOAE=45°,

:"B=4E,ZC=ZDAE,

:.2ABCsADEA：

VZB=ZE,NAFB=NDFE,

:.△ABF^ADEF；

VZ.ADF=ZC+ZDAC=45°+/OAC,ZCAF=Z.DAE+ZDAC=45°+ZDAC,

；?^ADF=ZCAF,

又：ZAFD=ZCFA,

:.XAFDs4CFA,

同理，AAEDsXBAD,

：?、BADSACFA;

綜上，圖中相似三角形共有5對,

故選：D.

5.如圖所示，在銳角二角形中，AR=6rm,AC=]9.rm,點力從點A出發(fā)以1”，，的速度運動到點“

停止，點七從點C出發(fā)以2cmJs的速度運動到點A停止，如果兩點同時開始運動，那么以點4、D、E

為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間為3或4.8$.

【分析】根據(jù)題意得到△4￡>￡SA4BC或△AO￡SA4C8,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出比例式,

即可求得答案.

【解答】解：設(shè)運動時間為x秒時，XAOEs4ABC,

根據(jù)題意：AD=xcm,CE=2xcm,則4E=（12-2x）cm,

,:、ADEsXABC、

?ADAE

?手記

.x=12-2x

?話12

解得：K=3；

設(shè)運動時間為x秒時，△AOEsZ\ACB,

根據(jù)題意：AD=xcrn,CE=2xcm,貝！JAE=（12-2x）cm,

■:XADEs叢ACB,

?ADAE

*'AC-AB'

?x12-2x

??'?I'?

126

解得：x=4.8,

故答案是：3或4.8.

6.如圖，在矩形A3CO中，AB=3cmtBC=6cm,動點M以lcm/s的速度從A點出發(fā)，沿48向點8運動,

同時動點N以25心的速度從點O出發(fā)，沿OA向點4運動，設(shè)運動的時間為/秒（0V/V3）.

（1）當(dāng)/為何值時，的面積等于矩形ABC。面積的工？

9

（2）是否存在某一時刻/,使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACO相似？若存在，求出，的值；若

不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)求出/加0=90°,求出AA/、AN,根據(jù)三角形的面積公式，利用S=2X

9

18建立方程，解之即可；

(2)先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的，值即可說明存在，反之則不

存在.

【解答】解：(1)???四邊形ABC。是矩形，

:?AD=BC=6cm,ZBAD=90°,

AM=tcmfAN=6-2tCem),

：.SMMN=1AN*AM=^-X(6-2r)Xr=-(r-J.)2+_i(0<r^3),

2224

依題意得：-(r-1)2+1=1X3X6,

249

t2-3z+2=0,

11=2,12=1.

答：經(jīng)過1秒或2秒時，△4MN的面積等于矩形ABC0面積的工；

9

(2)設(shè)運動時間為1秒，

由題意得ON=2f(cm),AN=(6-2r)(c〃?)，AM=t(cm),

若ANMASAACD,

則有AO：AN=CD：AM,即6：(6-2/)=3：r,

解得/=1.5,

若XMNAsRNCD

則有AD：AM=CDtAN,即6：r=3：(6-20,

解得f=2.4,

答：當(dāng)運動時間為1.5秒或2.4秒時，以A、M、N為頂點的三角形與△4CD相似.

考向四：相似三角形性質(zhì)與判定的綜合

0

DE//BC,/ADE=NEFC,AD：BD=5：3,CF=6,則。E的長為（）

B.10C.12D.14

【分析】由。E〃BC可得出/AOE=NB,結(jié)合NADE=NEFC可得出NB=NER7,進而可得出8。〃

EF,結(jié)合DE//BC可證出四邊形BDEF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出DE—BF,由DE

〃BC可得出△AOEsAABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出8c=反。區(qū)再根據(jù)。尸=808尸=2。E=

55

6,即可求出?！甑拈L度.

【解答】解：:。七〃8。,

:.4ADE=NB,

?:^ADE=NEFC,

:?/B=NEFC,

：.BD//EFt

,:DE〃BF,

???四邊形BDEF為平行四邊形,

：.DE=BF,

?：DE//BC,

:.、ADEsXABC,

.DE「AD-AD=5

**3CABAD+BDW，

：.BC=^-DE,

5

:.CF=BC-8F=^-DE=6,

5

???￡>￡=10.

故選:B.

2.如圖，將△ABC沿射線AC方向平移一定的距離，平移后的三角形記為B'C,邊4'B'剛好經(jīng)

過邊AC的中點。，已知八人〃。的面秩為16,則陰影部分OC的面積為()

【分析】根據(jù)線段的中點定義可得CD=lBCt再根據(jù)平移的性質(zhì)可得：A8〃4'B',從而可得N8=

2

NA'DC,NA=NOA'C,進而可得△ABCs^"DC,然后利用相似三角形的性質(zhì)，進行計算即可解

答.

【解答】解：???點。是的中點，

:.CD=LBC,

2

由平移得：AB//A'B',

：.^B=ZA'DC,ZA=ZDArC,

???△ABCsAVDC,

SZ

.AADC(CD)2=(_1)2=￡

,△ABCBC24

???△ABC的面積為16,

??.△A'OC的面積=2ZXA8C的面積=4,

4

故選：D.

3.如圖，在△ABC中，AB=AC=6,8c=8,點。是BC邊上的一個動點，點E在AC上，點。在運動過

程中始終保持N1=N8.當(dāng)E4=E。時，則8。的長為()

A.2B.工C.3D.工

32

【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得NE4O=N1,再利用等量代換可得NE4￡>=N8,然后利用兩角

相等的兩個三角形的相似證明△CAOS/XCBA,從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出CD的長，進而求出

8。的長.

【解答】解:

AZE4D=Z1,

VZ1=ZB,

：?4EAD=4B,

VZC=ZC,

:.XCADsACBA,

.CA=CD

e，CBCA,

?.?161_CD,?

86

??.co=9,

2

：.BD=BC-CD=L

2

故選：D.

4.如圖，矩形E/G”內(nèi)接于△ABC,邊尸G落在BC上.若4O_LBC于點DBC=3,AD=2,EF=EH,

【分析】設(shè)E”=3x,表示出EF,由A￡)-E尸表示出三角形AEH的邊EH上的高，根據(jù)三角形與

三角形4BC相似，利用相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出x的值，即為石〃的長.

【解答】解:如圖：???四邊形七尸G〃是矩形,

：.EH//BC,

:.XAEHs4ABC,

'CAMVEH.ADLBC.

.AMEH

設(shè)E”=E/=x,

^?AM=AD"EF=2"x,

???I2-x?-_x,

23

解得:x=A,

5

則EH=旦,

5

故答案為：

5

5.如圖，矩形月BCO中，AB=6,BC=9,E為CO的中點，F(xiàn)為BC上一點、,BFVFC,且AF_LFE.對角

線AC與EF交于點G,則GC的長為_@/亙_.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NB=N〃CE=90°,由N4F8+NE尸C=NAFB+N8A尸可得NEFC=N

BAF,以此證明△然/公△”■￡根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得姻_理，設(shè)BF=x,則CF=9-x,以此列

CFCE

出方程解得8尸=3,CF=6,過點G作G4_LBC于點從再證明△CHGs/\C8A,AFHG^AFCE,得

到見0,更二紅，聯(lián)立兩式子，算出CH、GH,最后根據(jù)勾股定理即可求解.

ABBCCECF

【解答】解：???四邊形ABC。為矩形，

；?/B=NFCE=90°,

VAFXFE,

尸B+NE尸C=90°,

V^AFB+ZBAF=90°,

：?4EFC=NBAF,

:.XABFs/\FCE,

?ABBF

**CF=CE'

設(shè)BF=x,則CF=9?x,

???四邊形ABC。為矩形，AB=6,E為CO的中點,

，CE=3,

?6x

9-x3

整理得：f-9x+18=0,

解得：xi=3,X2=6,

■:BFVFC,

；?Br=3,CF=6,

過點G作G”_L8C于點”，如圖,

:.GH//AB,GH//CD,

:.XCHGsACBA,4FHGSMFCE,

.GH_CHGH二

??短年CE=CF

?GHCHcGH6-CH，

6936

GH_CH

W

聯(lián)立.①②得:

GH一6-CH

~=6

CH=y-

解得：

GH=y-

在RtZ\CHG中，由勾股定理得GC=JGH2yH2二空平■

故答案為：國逗.

7

6.如圖，在△ABC中，D、E、產(chǎn)分別為AB、AC、8C上的點，DE//BC,BF=CF,A”分別交?！?、CD于

點G、H,且CG_LOE,CD=6,AE=3,有下面四個結(jié)論:

①DG=EG：

②△AGDsAACF；

③點〃是Ab的中點；

④S"5/；=9sMGE，

其中所有一正確結(jié)論的序號是①③④

【分析】利用平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)對每個選項

進行逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：YDE//BC,

：,zMQGs4ABF,△AEGs△ACF,

Q

AGDGEG

研BFCF

DGEG

3FCF

?:BF=CF,

：.DG=EG.

???①的結(jié)論正確；

,:DE〃BC,

:./AG￡>=ZAFB.

V4AFB>NACF,

：./AGO>NACF,

，AAGO與△ACF不可能相似.

???②的結(jié)論不正確；

VCGXDE,DG=EG,

???CG垂直平分OE,

：.CE=CD=6,

：.AC=AE+CE=9.

?:DE〃BC,

:.XAEGSRACF,

,AG-EGAE-A-1

,,AFCF"AC

：.EG=1.CF,

3

,:DG=EG,

：,DG=^-CF.

3

,:DE〃BC,

：?》DHGs4CHF,

?.*'GH'=DG二1-,

HFCF3

設(shè)GH=2,則"尸=3比

..AGJ.

,m3，

?AG二1

?氐+4k3'

：.AG=2k.

：.AH=AG+GH=3k,

:.AH=HF,

，點〃是4F的中點.

.??③的結(jié)論正確；

?:BF=CF,

S/\ABF=Sj\ACF.

,:DE〃BC,

：.XAGES/XACF,

工沁二嚙)2=4)24

'△ACFA。39

.*.5MCF=95A4G￡.

:?SMBF=9S拄GE.

???④的結(jié)論正確.

綜上，正確的結(jié)論有：①③④，

故答案為：(D@④.

7.如圖，在△A8C中，點。在BC上，坦望，ZBAD=ZCAE.

ABAC

(1)求證：ZACB=ZAED；

(2)AF*FC=FD*EF.

A

【分析】(I)先證明NB4C=ND4E,再根據(jù)知=杷,證明△ABCs即可得出答案；

ABAC

(2)根據(jù)△45CSZ^4￡)E得出NA￡￡)=N4C。，證明△ABCS2XAQE,得出生即可得出答案.

FDCF

【解答】(1)證明：ZBAD=ZCAEf

：.^BAC=ZDAE,

..AD_AE

?短記

:.XABCsMADE,

:.^ACB=ZAED.

(2)證明：,:XABCSXADE,

???乙AED=NACO,

V乙AFE=NDFC,

:.XABCsMDE,

?AFEF

?DCF

：.AF*FC=FD*EF.

8.如圖，在矩形ABC。中，A8=2,BC=5,尸是邊AO上的一個動點，連接8P,CP,過點B作射線，交

線段CP的延長線于點E,交邊4D于點M,且使得NA8E=NCBP.

(1)若AP=4,求證△ABPsZ^opc；

(2)若AP=3,求PM的長.

【分析】(1)先求出。夕的長，推出或江」，即可證明

A?AB2

(2)先證明△A8WS/VU>3,再根據(jù)姻■望，得出加二，從而求出PM的長.

APAB胡3

【解答】(1)證明：???四邊形A4c。為矩形,

.\BC=AD=5,AB=DC=2,

*：AP=4f

：,DP=AD-AP=5-4=\f

?Kjp」

一而需H，

VZA=ZD=90°，

：,XABPsADPC：

(2)解：???四邊形ABC。為矩形，

.\AD//BC,ZA=ZD=90°,BC=AD=5,AB=DC=2,

:.4APB=NCBP,

■:/ABE=/CBP,

NABE=ZAPB,

AmMsAAPB,

.研二紳

一而而

?"5=2,AP=3,

?,?止4.

45

?*-PM=AP-AM=3^f=^-

oo

9.如圖，何為線段AB中點，AE與8。交于點C,NDME=NA=NB=45°,且OM交AC于點F,ME

交BC于點、G.

(1)求證：△AM/SABGM；

(2)連接FG,若AB=4瓜4產(chǎn)=3,求FG的長.

【分析】(1)由NOME=NA=45°,得N48M=NBMG=135°-NAMR而N4=N8,即可由“兩

角分別相等的兩個三角形相似"證明△AM/SABGM：

(2)由M為線段AB的中點，AB=4^2,得AM=BM=2?,由△AMFsABGM,得細=期，則

BGBM

8G,AM?BM=區(qū),由N4=N8=45°,得NAC8=90°,AC=BC,則AC=8C=^48=4,所以CF

AF32

=1,CG=1,即可根據(jù)勾股定理求得尸6=詬藥不=亙.

33

【解答】（1）證明：???NOME=NA=45°,

???/ABM=180°?NA-N4M/=135°-AAMF,ZB;WG=180°-NOME-AM尸=135°-NAMF,

:./ABM=NBMG,

VZA=ZB=45°,

、AMFS4BGM.

（2）解：???M為線段48的中點，A8=4及，A/=3,

\AM=BM=—AB=—X4^J2=，2.yf2,

22

:2AMFSWGM,

.AM=AF

EBG前，

._2V2X2V28

AF33

??乙4=NB=45°,

??/4CB=180°-NA-NB=90°,AC=BC,

K=sinA=sin45°=亞,

AB2

AC=BC=返X4&=4,

2

?.CF=AC-AF=4-3=1,CG=BC-8G=4-區(qū)=±

33

??陽的長是6.

3

在跟蹤ijll練

1.（2022?婁底）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀,

通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點可是的黃金分割點.即力用t06XA力.延長方尸與A。相交于

點、G,則反沁0.618DE.（精確到0.001）

【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得典=娼心0.618,再根據(jù)題意可得EG=A￡即可解答.

ADDE

【解答】解：???點E是A。的黃金分割點，且。￡20.6184。，

由題意得:

EG=AE,

.?.史-0.618,

DE

AEG^0.6I8DE,

故答案為:0.618.

2.（2022?廣安）下列說法正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.相似三角形的面積的比等于相似比

C.方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小

D.過一點有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】直接利用矩形的判定方法、相似三角形的性質(zhì)、方差的意義、平行公理及推論分別分析得出答

案.

【解答】解：A.對角線相等的平行四邊形是矩形，故此選項不合題意；

B.相似三角形的面積的比等于相似比的平方，故此選項不合題意；

C.方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，故此選項符合題意；

D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故此選項不合題意.

故選：C.

3.⑵22?甘肅）若皿即,BC=6,Ei貝喘=（

)

【分析】根據(jù)△ABCs△DEE可以得到區(qū)4,然后根據(jù)BC=6,EF=4,即可得到反■的值.

EFDFDF

【解答】解：

?3CAC

??布TT

???BC=6,痔=4,

.AC6_3

DF42

故選:D.

4.（2022?貴陽）如圖，在△ABC中，。是AB邊上的點，N8=NAC。，AC：AB=1：2,則△ADC與△ACS

【分析】根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比可以解答本題.

【解答】解：*：4B=NACD,ZCAD=ZBAC,

，XACDsMABC,

?CAACD_AC_1

??一''--,

,△ABC研2

故選：B.

5.（2022?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，4,B,C,。四個點均在格點上，4。與8。

【分析】利用網(wǎng)格圖，勾股定理求得AB,CO的長，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得出NBA/=N”CQ,

進而得到NR4C=NOCA,則AB〃CO,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】解：如圖所示，

由網(wǎng)格圖可知：BF=2,A尸=4,CH=2,DH=\,

???^=7AF2+BF2=2V5，

CD=7CH2+DH2=^-

,CFA//CG,

：.AFAC=NACG.

在RtAAfiF中，

tanN84F=典

AF42

在RtZ\C。"中，

tanZ//CD=-^=A,

CH2

，tanZBAF=tanZHCD,

：?/BAF=NHCD,

V^BAC=ZBAF+ZCAF,ZACD=ZDCH+ZGCA,

???/BAC=NOCA,

：.AB//CD,

:.XABEs/xCDE,

???△?川?與人「力月的周長比=例＞=型5=2：1.

CD《5

故選：D.

6.（2022?湘潭）在△ABC中（如圖），點。、E分別為A8、AC的中點，貝ljS^ABC=（）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理解答即可.

【解答】解：在△ABC中，點。、E分別為48、AC的中點,

???0E為△ABC的中位線,

:.DE〃BC,DE-工BC,

2

:.XADEs叢ABC,

，SAAOE:SA4BC=

故選：D.

7.（2022?徐州）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1,則陰影部分的面積為（)

A.5B.6C.兇D.工

33

【分析】證明△AAEs/xcoy求得CE,再根據(jù)二角形的面積關(guān)系求得結(jié)果.

【解答】解：:CD〃48,

:.XABEs4CDE,

??A?E=AB=4=%c

CECD2

?r2_21,16

,*邛月影=yS△物=yXvyXv4X4=丁，

故選：C.

8.（2022?阜新）如圖，在矩形A8CO中，E是AO邊上一點，且AE=2DE,B。與CE相交于點凡相X

OE尸的面積是3,則aBC尸的面積是27.

【分析】根據(jù)矩形4BC。的性質(zhì)，很容易證明△OE/S/XBC凡相似三角形之比等于對應(yīng)邊比的平方,

即可求出△BC尸的面積.

【解答】解：???四邊形A8CO是矩形，

:.ADJLBC,

：?"DF=NCBF,

,:4EFD=/CFB,

：.LDEFsABCF,

,:AE=2DE,AD=BC,

：,DE：BC=1：3,

S^DEF：SABCF=DE1ZBd,即3：S^BCF=1：9,

；?Sa8C尸=27.

故答案為：27.

9.（2022?淮安）如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點。是AC邊上的一點，過點。作

DF//AB,交BC于點尸，作NB4C的平分線交￡）產(chǎn)于點E,連接BE.若△ABE的面積是2,則述的值

EF

是1.

【分析】首先由勾股定理求出A8的長，由面積法得點。到。尸的距離為反，點七到A8的距離為從

55

而得出8=2,再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得4。=。七=1,從而解決問題.

【解答】解：在RtZXABC中，由勾股定理得，AB