03相互作用——力[考點08]靜態平衡問題靜態平衡問題常用方法1．合成法：物體受三個共點力的作用而平衡，則任意兩個力的合力一定與第三個力大小相等、方向相反，據此畫出這兩個力合成的平行四邊形，利用幾何知識求解．2．正交分解法：物體受到三個或三個以上力的作用而平衡，將物體所受的力分解到相互垂直的x、y軸上，則x軸與y軸上各分力的合力均為零．3．相似三角形法：在三力平衡問題中，矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似比進行計算.4．矢量三角形法：把表示三個力的有向線段構成一個閉合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形．5．整體法與隔離法：將加速度相同的幾個物體作為一個整體來分析的方法稱為整體法;將研究對象與周圍物體分隔開來分析的方法稱為隔離法.分析平衡問題的基本思路1．明確平衡狀態(合力為零)．2．巧選研究對象．3．受力分析(畫出規范的受力分析圖)．4．列平衡方程(靈活運用力的合成法、效果分解法、正交分解法)．5．求解或討論(解的結果及物理意義)．典例1(合成法)(2020·全國卷Ⅲ·17)如圖，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處；繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連．甲、乙兩物體質量相等．系統平衡時，O點兩側繩與豎直方向的夾角分別為α和β.若α＝70°，則β等于()A．45°B．55°C．60°D．70°答案B解析取O點為研究對象，O點在三力的作用下處于平衡狀態，對其受力分析如圖所示，FT1＝FT2，兩力的合力與F等大反向，根據幾何關系可得2β＋α＝180°，所以β＝55°，故選B.典例2(正交分解法)(2022·江西八所重點中學聯考)如圖甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面體上，斜面體靜止在豎直墻面上，若將斜面體改成如圖乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面體上，則下列說法正確的是()A．墻面受到的壓力一定變小B．斜面體受到的摩擦力一定變小C．斜面體受到的摩擦力可能變大D．斜面體可能沿墻面向上滑動答案B解析受力分析如圖所示甲圖中，FN1＝Fcosθ，Ff1＝mg＋Fsinθ≤Ffm；乙圖中，FN2＝Fcosθ，所以墻面受到的壓力不變，A項錯誤；若Fsinθ＝mg，則Ff2＝0，若Fsinθ＞mg，則Ff2方向向下，Ff2＝Fsinθ－mg，若Fsinθ＜mg，則Ff2方向向上，Ff2＝mg－Fsinθ，所以斜面體受到的摩擦力一定變小，B項正確，C項錯誤；因為墻面受到的壓力沒有變，所以Ffm不變，甲圖中，Ff1＝mg＋Fsinθ≤Ffm，推不動斜面體，乙圖中，Ff2＝Fsinθ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面體肯定不沿墻面向上滑動，D項錯誤．典例3(相似三角形法)(2022·重慶市三峽聯盟模擬)如圖所示，一輕桿兩端固定兩個小球A、B，A球的質量是B球質量的3倍，輕繩跨過滑輪連接A和B，一切摩擦不計，平衡時OA和OB的長度之比為()A．1∶2 B．2∶1C．1∶3 D．1∶4答案C解析設繩上拉力為FT，OA長L1，OB長L2，過O點做豎直向下的輔助線交與AB為C點，如圖所示，利用力的三角形和長度三角形相似有eq\f(FT,mAg)＝eq\f(L1,OC)；eq\f(FT,mBg)＝eq\f(L2,OC)得eq\f(L1,L2)＝eq\f(1,3)，故A、B、D錯誤，C正確．典例4(矢量三角形法)(2023·全國·專題練習)如圖所示，長度為L1的木棒一端支在光滑豎直墻上的A點，另一端B點被輕質細線斜拉著掛在墻上的C點而處于靜止狀態，細線與木棒之間的夾角為，A、C兩點之間的距離為L2，墻對木棒的支持力為F，重力加速度為g，下列說法正確的是()A．細線與豎直墻之間的夾角的正弦值為 B．木棒受到三個力（或延長線）可能不交同一點C．細線對木棒的拉力大小為 D．木棒的質量為答案C解析A．設細線與豎直墻之間的夾角為，在△ABC中由正弦定理可得.解得.故A錯誤；B．根據共點力平衡的原理，木棒受到的三個力（或延長線）一定交于同一點，故B錯誤；CD．設細線的拉力為T，木棒的質量為m，對木棒受力分析如圖，由力的平衡條件有，.結合綜合解得，.故C正確，D錯誤.故選C.典例5(整體法與隔離法)(2022·黑龍江鶴崗市第一中學高三月考)如圖甲所示，A、B兩小球通過兩根輕繩連接并懸掛于O點，已知兩輕繩OA和AB的長度之比為eq\r(3)∶1，A、B兩小球質量分別為2m和m，現對A、B兩小球分別施加水平向右的力F1和水平向左的力F2，兩球恰好處于如圖乙的位置靜止，此時B球恰好在懸點O的正下方，輕繩OA與豎直方向成30°，則()A．F1＝F2 B．F1＝eq\r(3)F2C．F1＝2F2 D．F1＝3F2答案C解析由題意知兩輕繩OA和AB的長度之比為eq\r(3)∶1，B球恰好在懸點O的正下方，由幾何關系可知，OA與AB垂直；以B球為研究對象，受力示意圖如圖甲所示，由平衡條件得F2＝mgtan(90°－30°)＝eq\r(3)mg，以A、B兩球整體為研究對象，受力示意圖如圖乙所示，由平衡條件得F1－F2＝3mgtan30°＝eq\r(3)mg，可得F1＝2eq\r(3)mg，即F1＝2F2，故C正確．1.(2021·江蘇省1月適應性考試·3)如圖所示，對稱晾掛在光滑等腰三角形衣架上的衣服質量為M，衣架頂角為120°，重力加速度為g，則衣架右側對衣服的作用力大小為()A.eq\f(1,2)Mg B.eq\f(\r(3),3)MgC.eq\f(\r(3),2)Mg D．Mg答案B解析對衣服進行受力分析，如圖所示：由幾何關系知，衣架左、右側對衣服的作用力FN與豎直方向的夾角為30°，則有2FNcos30°＝Mg，得FN＝eq\f(\r(3),3)Mg，故選B.2.如圖所示，小圓環A吊著一個質量為m2的物塊并套在另一個豎直放置的大圓環上，有一細繩一端拴在小圓環A上，另一端跨過固定在大圓環最高點B的一個小滑輪后吊著一個質量為m1的物塊．如果小圓環A、滑輪、繩子的大小和質量以及相互之間的摩擦都可以忽略不計，繩子不可伸長，平衡時弦AB所對的圓心角為α，則兩物塊的質量之比m1∶m2應為()A．cos

eq\f(α,2) B．sin

eq\f(α,2)C．2sin

eq\f(α,2) D．2cos

eq\f(α,2)答案C解析對小圓環A受力分析，如圖所示，FT2與FN的合力F與FT1大小相等，由矢量三角形與幾何三角形相似，可知eq\f(FT2,R)＝eq\f(F,2Rsin\f(α,2))，其中FT2＝m2g，F＝FT1＝m1g，聯立解得eq\f(m1,m2)＝2sineq\f(α,2)，C正確．3.(多選)如圖所示，輕質光滑滑輪兩側用輕繩連著兩個物體A與B，物體B放在水平地面上，A、B均靜止．已知A和B的質量分別為mA、mB，繩與水平方向的夾角為θ(θ<90°)，重力加速度為g，則()A．物體B受到的摩擦力可能為零B．物體B受到的摩擦力大小為mAgcosθC．物體B對地面的壓力可能為零D．物體B對地面的壓力大小為mBg－mAgsinθ答案BD解析輕繩拉力FT＝mAg，對B，在水平方向有Ff＝FTcosθ＝mAgcosθ，在豎直方向地面對B的支持力FN＝mBg－FTsinθ＝mBg－mAgsinθ，由牛頓第三定律可知，選項B、D正確；當mBg＝mAgsinθ時，FN＝0，此時物體B不可能靜止，選項A、C錯誤．4.如圖所示，兩個質量均為m的小球通過兩根輕彈簧A、B連接，在水平外力F作用下，系統處于靜止狀態，彈簧實際長度相等．彈簧A、B的勁度系數分別為kA、kB，且原長相等．彈簧A、B與豎直方向的夾角分別為θ與45°.設A、B中的拉力分別為FA、FB，小球直徑相比彈簧長度可忽略，重力加速度為g，則()A．tanθ＝eq\f(1,2) B．kA＝kBC．FA＝eq\r(3)mg D．FB＝2mg答案A解析對下面的小球進行受力分析，如圖甲所示．根據平衡條件得：F＝mgtan45°＝mg，FB＝eq\f(mg,cos45°)＝eq\r(2)mg；對兩個小球整體受力分析，如圖乙所示，根據平衡條件得：tanθ＝eq\f(F,2mg)，又F＝mg，解得tanθ＝eq\f(1,2)，FA＝eq\r(2mg2＋F2)＝eq\r(5)mg，由題圖可知兩彈簧的形變量相等，則有：x＝eq\f(FA,kA)＝eq\f(FB,kB)，解得：eq\f(kA,kB)＝eq\f(FA,FB)＝eq\f(\r(5),\r(2))，故A正確，B、C、D錯誤．5.(多選)如圖所示，質量為M、半徑為R的半球形物體A放在水平地面上，通過最高點處大小不計的釘子用水平細線拉住一質量為m、半徑為r的光滑球B.重力加速度為g，則()A．A對地面的壓力等于(M＋m)gB．A對地面的摩擦力方向向左C．A對B的支持力大小為eq\f(R＋r,R)mgD．細線對B的拉力大小為eq\f(r,R)mg答案AC解析對A、B整體受力分析，受重力和支持力，相對地面無相對滑動趨勢，故不受摩擦力，根據平衡條件知，支持力等于整體的重力，根據牛頓第三定律知，整體對地面的壓力與地面對整體的支持力大小相等，故A對地面的壓力等于(M＋m)g，故A正確，B錯誤；對B受力分析，如圖所示，根據平衡條件得：F＝eq\f(mg,cosθ)，FT＝mgtanθ，其中cosθ＝eq\f(R,R＋r)，tanθ＝eq\f(\r(R＋r2－R2),R)，故F＝eq\f(R＋r,R)mg，FT＝mgeq\f(\r(R＋r2－R2),R)，故C正確，D錯誤．6.三個相同的建筑管材(可看作圓柱體)靜止疊放于水平地面上，其截面示意圖如圖所示，每個管材的質量均為m.各管材間接觸，設管材間光滑、管材與地面間粗糙．重力加速度為g，對此下列說法中正確的是()A．管材與地面接觸處的壓力大小為eq\f(\r(3),3)mgB．上下管材接觸處的壓力大小為eq\f(\r(3),3)mgC．管材與地面接觸處沒有摩擦力D．下方兩管材之間一定有彈力答案B解析由對稱性知，上面管材的受力情況左右對稱，下面兩個管材的受力情況相同，整體分析三個管材豎直方向受力平衡，有2F地＝3mg，則F地＝eq\f(3,2)mg，即管材與地面接觸處的壓力大小為eq\f(3,2)mg，故A錯誤；隔離上面管材，其受力如圖所示，則2Fcos30°＝mg，解得：F＝eq\f(\r(3),3)mg，故B正確；隔離下面管材，左右兩管材不擠壓，則下方兩管材之間沒有彈力，左右兩管材相對于地面有向外的運動趨勢，所以地面對兩管材有摩擦力，故C、D錯誤．7．如圖所示，三個重均為100N的物塊，疊放在水平桌面上，各接觸面水平，水平拉力F＝20N，作用在物塊2上，三條輕質繩結于O點，與物塊3連接的繩水平，與天花板連接的繩與水平方向成45°角，豎直繩懸掛重為20N的小球P.整個裝置處于靜止狀態．則()A．物塊1和2之間的摩擦力大小為20NB．水平繩的拉力大小為20NC．桌面對物塊3的支持力大小為320ND．物塊3受4個力的作用答案B解析對物塊1受力分析，受重力和支持力，假如受水平方向的摩擦力，則不能保持平衡，故物塊1和物塊2間的摩擦力為零，A錯誤；對O點受力分析，受到三根繩子的拉力，如圖，根據平衡條件有，x方向：FT2cos45°＝FT1，y方向：FT2sin45°＝GP，解得FT1＝GP＝20N，所以水平繩中的拉力大小為20N，B正確；對物塊1、2、3整體受力分析，受重力、支持力、向左的拉力、水平繩的拉力，豎直方向：FN＝3G＝300N，C錯誤；對物塊1和物塊2整體研究，受重力、支持力、向左的拉力F和向右的靜摩擦力Ff23，根據平衡條件得：Ff23＝F＝20N；對物塊3受力分析，2、3間向左的摩擦力為20N，水平繩向右的拉力也為20N，則3與桌面間摩擦力為零，故3受重力、支持力、壓力、2對3的摩擦力、繩子拉力，共5個力作用，D錯誤．8.用三根輕繩將質量為m的物塊懸掛在空中，如圖所示．已知ac和bc與豎直方向的夾角分別為30°和60°，重力加速度為g，則ac繩和bc繩中的拉力大小分別為()A.eq\f(\r(3),2)mg，eq\f(1,2)mg B.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),2)mgC.eq\f(\r(3),4)mg，eq\f(1,2)mg D.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),4)mg答案A解析對結點c受力分析如圖所示，設ac繩上的拉力為F1、bc繩上的拉力為F2，根據平衡條件知F1、F2的合力F與重力mg等大、反向，由幾何知識得F1＝Fcos30°＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝Fsin30°＝eq\f(1,2)mg.選項A正確．9.如圖所示，兩根完全相同的輕彈簧a、b上端固定在豎直墻壁上，下端連接在小球上．小球靜止時，彈簧a、b與豎直方向的夾角分別為53°和37°(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，則a、b兩彈簧的伸長量之比為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)答案A解析對小球受力分析，受到重力和兩個彈簧的彈力，如圖所示，則有：eq\f(Fa,Fb)＝eq\f(mgsin37°,mgcos37°)＝eq\f(3,4)，而Fa＝kxa，Fb＝kxb，解得eq\f(xa,xb)＝eq\f(3,4).故A正確，B、C、D錯誤．10．(2019·全國卷Ⅲ)用卡車運輸質量為m的勻質圓筒狀工件，為使工件保持固定，將其置于兩光滑斜面之間，如圖所示．兩斜面Ⅰ、Ⅱ固定在車上，傾角分別為30°和60°.重力加速度為g.當卡車沿平直公路勻速行駛時，圓筒對斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則()A．F1＝eq\f(\r(3),3)mg，F2＝eq\f(\r(3),2)mgB．F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝eq\f(\r(3),3)mgC．F1＝eq\f(1,2)mg，F2＝eq\f(\r(3),2)mgD．F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝eq\f(1,2)mg答案D解析分析可知工件受力平衡，對工件受到的重力按照壓緊斜面Ⅰ和Ⅱ的效果進行分解，如圖所示，結合幾何關系可知工件對斜面Ⅰ的壓力大小為F1＝mgcos30°＝eq\f(\r(3),2)mg，對斜面Ⅱ的壓力大小為F2＝mgsin30°＝eq\f(1,2)mg，選項D正確，A、B、C錯誤．11.如圖所示是某幼兒園的一部直道滑梯，其滑道傾角為θ.一名質量為m的幼兒在此滑道上勻速下滑．若不計空氣阻力，重力加速度為g，則該幼兒()A．所受摩擦力為mgsinθB．所受摩擦力為mgcosθC．對滑道壓力為mgsinθD．對滑道壓力為mgtanθ答案A解析對幼兒進行受力分析，由平衡條件得沿傾斜滑道方向：Ff＝mgsinθ，A正確，B錯誤；垂直傾斜滑道方向：FN＝mgcosθ，C、D錯誤．12.(多選)如圖所示，兩根等長的輕繩將日光燈懸掛在天花板上，兩繩與豎直方向的夾角都為45°，日光燈保持水平，所受重力為G.則()A．兩繩對日光燈拉力的合力大小等于GB．兩繩的拉力和重力不是共點力C．兩繩的拉力大小均為eq\f(\r(2),2)GD．兩繩的拉力大小均為eq\f(G,2)答案AC解析對日光燈受力分析如圖，兩繩拉力的作用線與重力作用線的延長線交于一點，這三個力是共點力，B選項錯誤；由于日光燈在兩繩拉力和重力作用下處于靜止狀態，所以兩繩的拉力的合力與重力G等大反向，A選項正確；由于兩個拉力的夾角為直角，且都與豎直方向成45°角，則由力的平行四邊形定則可知G＝eq\r(F12＋F22)，且F1＝F2，故F1＝F2＝eq\f(\r(2),2)G，C選項正確，D選項錯誤．13.(2021·大慶市東風中學階段練習)如圖所示，質量為m的小球套在豎直固定的光滑圓環上，輕繩一端固定在圓環的最高點A，另一端與小球相連，小球靜止時位于環上的B點，此時輕繩與豎直方向的夾角為60°，則輕繩對小球的拉力大小為(重力加速度為g)()A．mg B.eq\r(3)mgC．2mg D.eq\f(\r(3),2)mg答案A解析對B點處的小球受力分析，如圖所示，則有FTsin60°＝FNsin60°;FTcos60°＋FNcos60°＝mg.解得FT＝FN＝mg，A正確．14．(多選)(2021·西安市周至中學高一期末)將兩個相同的光滑斜面固定在水平地面上，并將兩塊光滑的擋板AB和CD分別固定在斜面上，其中一塊與斜面垂直，另一塊沿豎直面，然后將兩個重力為G、表面粗糙的相同小球分別置于兩斜面的擋板上，分別如圖甲、乙所示，斜面傾角為θ，下列說法正確的是()A．擋板對小球的支持力之比為1∶1B．擋板對小球的支持力之比為cosθ∶1C．斜面對小球的支持力之比為1∶1D．斜面對小球的支持力之比為cos2θ∶1答案BD解析由于斜面和擋板均光滑，小球不受摩擦力，分別以小球為研究對象，受力分析如圖甲、乙所示正交分解得FN1＝Gsinθ，FN2＝Gcosθ;FN3＝Gtanθ，FN4＝eq\f(G,cosθ);所以eq\f(FN1,FN3)＝cosθ，eq\f(FN2,FN4)＝cos2θ，B、D正確．15.如圖所示，一質量為M的楔形木塊放在水平桌面上，它的頂角為90°，兩底角為α和β；a、b為兩個位于斜面上質量均為m的小木塊，已知所有接觸面都是光滑的，重力加速度為g.現發現a、b沿斜面下滑，而楔形木塊靜止不動，這時楔形木塊對水平桌面的壓力等于()A．Mg＋mgB．Mg＋2mgC．Mg＋mg(sinα＋sinβ)D．Mg＋mg(cosα＋cosβ)答案A解析對木塊a受力分析，如圖，受重力和支持力，由幾何關系，得到：FN1＝mgcosα，由牛頓第三定律得木塊a對楔形木塊的壓力為：FN1′＝mgcosα①同理，木塊b對楔形木塊的壓力為：FN2′＝mgcosβ②對楔形木塊受力分析，如圖，根據共點力平衡條件，得到：FN2′cosα－FN1′cosβ＝0③F支－Mg－