2022版高考物理一輪復習第4章曲線運動萬有引力與航天第4節萬有引力與航天學案2022版高考物理一輪復習第4章曲線運動萬有引力與航天第4節萬有引力與航天學案PAGE13-2022版高考物理一輪復習第4章曲線運動萬有引力與航天第4節萬有引力與航天學案2022版高考物理一輪復習第4章曲線運動萬有引力與航天第4節萬有引力與航天學案年級：姓名：第4節萬有引力與航天一、開普勒行星運動定律1．開普勒第一定律所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。2．開普勒第二定律對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。3．開普勒第三定律所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，表達式：eq\f(a3,T2)＝k。二、萬有引力定律1．內容(1)自然界中任何兩個物體都相互吸引。(2)引力的方向在它們的連線上。(3)引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G為引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由卡文迪許扭秤實驗測定。3．適用條件(1)兩個質點之間的相互作用。(2)對質量分布均勻的球體，r為兩球心間的距離。三、宇宙速度1．三種宇宙速度比較宇宙速度數值(km/s)意義第一宇宙速度7.9地球衛星最小發射速度(環繞速度)第二宇宙速度11.2物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度(脫離速度)第三宇宙速度16.7物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度(逃逸速度)2．第一宇宙速度的計算方法(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))。(2)由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)。1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。 (√)(2)兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。 (×)(3)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中k值與中心天體質量無關。 (×)(4)第一宇宙速度與地球的質量有關。 (√)(5)地球同步衛星的運行速度大于第一宇宙速度。 (×)2．(教科版必修2P44T2改編)火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據開普勒行星運動定律可知()A．太陽位于木星運行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積C[太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，A錯誤；不同的行星對應不同的運行軌道，運行速度大小也不相同，B錯誤；同一行星與太陽連線在相等時間內掃過的面積才能相同，D錯誤；由開普勒第三定律得eq\f(r\o\al(3,火),T\o\al(2,火))＝eq\f(r\o\al(3,木),T\o\al(2,木))，故eq\f(T\o\al(2,火),T\o\al(2,木))＝eq\f(r\o\al(3,火),r\o\al(3,木))，C正確。]3．(人教版必修2P43T2改編)若地球表面處的重力加速度為g，而物體在距地面3R(R為地球半徑)處，由于地球作用而產生的加速度為g′，則eq\f(g′,g)為()A．1B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,16)[答案]D4．(人教版必修2P48T3改編)若取地球的第一宇宙速度為8km/s，某行星的質量是地球質量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，這顆行星的“第一宇宙速度”約為()A．2km/sB．4km/sC．16km/sD．32km/s[答案]C開普勒定律的應用eq\o([依題組訓練])1．關于行星運動的規律，下列說法符合史實的是()A．開普勒在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規律B．開普勒在天文觀測數據的基礎上，總結出了行星運動的規律C．開普勒總結出了行星運動的規律，找出了行星按照這些規律運動的原因D．開普勒總結出了行星運動的規律，發現了萬有引力定律B[開普勒在前人觀測數據的基礎上，總結出了行星運動的規律，與牛頓定律無聯系，選項A錯誤，選項B正確；開普勒總結出了行星運動的規律，但沒有找出行星按照這些規律運動的原因，選項C錯誤；牛頓發現了萬有引力定律，選項D錯誤。]2．(2019·撫州七校聯考)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星東大距”“火星沖日”“月全食”等天象先后扮靚夜空，可謂精彩紛呈。發生于北京時間7月28日凌晨的“月全食”，相對于2018年1月31日發生的“月全食”來說，7月的全食階段持續時間更長。已知月球繞地球的運動軌道可看成橢圓，地球始終在該橢圓軌道的一個焦點上，則相對于1月的月球而言，7月的月球()A．繞地球運動的線速度更大B．距離地球更近C．繞地球運動的角速度更大D．距離地球更遠D[地球繞著太陽公轉，月球又繞著地球公轉，發生月食的條件是地球處于月球和太陽中間，擋住了太陽光，月全食持續的時間長短和太陽、地球、月球三者的位置關系密切相關，7月這次月全食的時間比較長是由于月球和地球的距離比較遠。根據開普勒第二定律可知此時月球繞地球運動的線速度更小，ω＝eq\f(v,r)角速度更小，故A、B、C錯誤，D正確。]3．(2019·江蘇高考)1970年成功發射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛星，該衛星至今仍沿橢圓軌道繞地球運動。如圖所示，設衛星在近地點、遠地點的速度分別為v1、v2，近地點到地心的距離為r，地球質量為M，引力常量為G。則()A．v1>v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1>v2，v1>eq\r(\f(GM,r))C．v1<v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1<v2，v1>eq\r(\f(GM,r))B[“東方紅一號”從近地點到遠地點萬有引力做負功，動能減小，所以v1>v2，過近地點圓周運動的速度為v＝eq\r(\f(GM,r))，由于“東方紅一號”在橢圓上運動，所以v1>eq\r(\f(GM,r))，故B正確。]應用開普勒行星運動定律的三點注意(1)行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。(2)開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。(3)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同。萬有引力定律的理解及應用eq\o([講典例示法])1．萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。2．星體表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)。3．估算天體質量和密度的兩種方法(1)“g、R”法：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。①由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質量M＝eq\f(gR2,G)。②天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)“T、r”法：測出衛星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。[典例示法](2020·湖南地質中學模擬)若宇航員在月球表面附近高h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L。已知月球半徑為R，引力常量為G。則下列說法正確的是()A．月球表面的重力加速度g月＝eq\f(hv\o\al(2,0),L2)B．月球的平均密度ρ＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2R)C．月球的第一宇宙速度v＝eq\f(v0,L)eq\r(\f(2h,R))D．月球的質量m月＝eq\f(hR2v\o\al(2,0),GL2)關鍵信息：“水平拋出一個小球，測出水平射程”，可獲得月球表面的重力加速度。B[設月球表面的重力加速度為g月，小球在月球表面做平拋運動，根據平拋知識可知在水平方向上L＝v0t，在豎直方向上h＝eq\f(1,2)g月t2，解得g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)，故A錯誤；在月球表面eq\f(Gm月m,R2)＝mg月，解得m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)，則月球密度為ρ＝eq\f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2R)，故B正確，D錯誤；月球的第一宇宙速度v＝eq\r(g月R)＝eq\f(v0,L)eq\r(2hR)，故C錯誤。]估算天體質量和密度的“四點”注意(1)利用萬有引力提供天體圓周運動的向心力估算天體質量時，估算的只是中心天體的質量，而非環繞天體的質量。(2)區別天體半徑R和衛星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛星，才有r≈R；計算天體密度時，V＝eq\f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。(3)天體質量估算中常有隱含條件，如地球的自轉周期為24h，公轉周期為365天等。(4)注意黃金代換式GM＝gR2的應用。[跟進訓練]1．如圖所示，三顆質量均為m的地球同步衛星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上。設地球質量為M，半徑為R。下列說法正確的是()A．地球對一顆衛星的引力大小為eq\f(GMm,r－R2)B．一顆衛星對地球的引力大小為eq\f(GMm,r2)C．兩顆衛星之間的引力大小為eq\f(Gm2,\r(3)r2)D．三顆衛星對地球引力的合力大小為eq\f(3GMm,r2)B[由萬有引力定律知A項錯誤，B項正確；因三顆衛星連線構成等邊三角形，圓軌道半徑為r，由數學知識易知任意兩顆衛星間距d＝2rcos30°＝eq\r(3)r，由萬有引力定律知C項錯誤；因三顆衛星對地球的引力大小相等且互成120°，故三顆衛星對地球引力的合力為0，則D項錯誤。]2．(2020·江蘇南京師大附中高考模擬)2019年4月10日晚，數百名科學家參與合作的“事件視界望遠鏡(EHT)”項目在全球多地同時召開新聞發布會，發布了人類拍到的首張黑洞照片。理論表明：黑洞質量M和半徑R的關系為eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，其中c為光速，G為引力常量。若觀察到黑洞周圍有一星體繞它做勻速圓周運動，速率為v，軌道半徑為r，則可知()A．該黑洞的質量M＝eq\f(v2r,2G)B．該黑洞的質量M＝eq\f(v2r,G)C．該黑洞的半徑R＝eq\f(v2r,2c2)D．該黑洞的半徑R＝eq\f(v2r,c2)B[設黑洞的質量為M，環繞天體的質量為m，根據萬有引力提供環繞天體做圓周運動的向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，化簡可得黑洞的質量為M＝eq\f(v2r,G)，故B正確，A錯誤；根據黑洞的質量M和半徑R的關系eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，可得黑洞的半徑為R＝eq\f(2GM,c2)＝eq\f(2G\f(v2r,G),c2)＝eq\f(2v2r,c2)，故C、D錯誤。]3．如圖所示，2019年1月3日，“玉兔二號”巡視器駛抵月球表面開始科學探測。已知月球表面的重力加速度g0為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)，若月球半徑R0約為地球半徑R的eq\f(1,4)，則月球密度ρ0與地球密度ρ的比值約為()A．1B．eq\f(2,3)C．6D．2B[對于質量為m的物體，根據萬有引力定律有Geq\f(M0m,R\o\al(2,0))＝mg0、Geq\f(Mm,R2)＝mg，月球和地球質量分別為M0＝ρ0·eq\f(4,3)πReq\o\al(3,0)、M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，又g0＝eq\f(1,6)g、R0＝eq\f(1,4)R，聯立解得ρ0＝eq\f(2,3)ρ，B項正確。]宇宙速度及衛星運行參量的分析計算eq\o([講典例示法])1．宇宙速度與運動軌跡的關系(1)v發＝7.9km/s時，衛星繞地球做勻速圓周運動。(2)7.9km/s<v發<11.2km/s，衛星繞地球運動的軌跡為橢圓。(3)11.2km/s≤v發<16.7km/s，衛星繞太陽做橢圓運動。(4)v發≥16.7km/s，衛星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。2．物理量隨軌道半徑變化的規律eq\a\al(規,律)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\a\al(G\f(Mm,r2)＝,(r＝R地＋h)))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝＝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3),ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2)))越高越慢,mg＝\f(GMm,R\o\al(2,地))(地球表面)→GM＝gR\o\al(2,地)))3．同步衛星的六個“一定”[典例示法]如圖所示，a為放在赤道上相對地球靜止的物體，隨地球自轉做勻速圓周運動，b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的同步衛星。下列關于a、b、c的說法中正確的是()A．b衛星轉動線速度大于7.9km/sB．a、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關系為aa>ab>acC．a、b、c做勻速圓周運動的周期關系為Tc>Tb>TaD．在b、c中，b的速度大思路點撥：解此題抓住以下兩個環節(1)赤道上的物體與同步衛星具有相同的角速度(周期)；(2)赤道上物體與衛星比較物理量時，要借助同步衛星過渡。D[b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星，根據萬有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，代入數據得v＝7.9km/s，故A錯誤；地球赤道上的物體與同步衛星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根據a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根據a＝eq\f(GM,r2)得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B錯誤；衛星c為同步衛星，所以Ta＝Tc，根據T＝2πeq\r(\f(r3,GM))得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C錯誤；在b、c中，根據v＝eq\r(\f(GM,r))，可知b的速度比c的速度大，故D正確。]研究衛星運行熟悉“三星一物”(1)同步衛星的周期、軌道平面、高度、線速度的大小、角速度、繞行方向均是固定不變的，常用于無線電通信，故又稱通信衛星。(2)極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋。(3)近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s。(4)赤道上的物體隨地球自轉而做勻速圓周運動，由萬有引力和地面支持力的合力充當向心力(或者說由萬有引力的分力充當向心力)，它的運動規律不同于衛星，但它的周期、角速度與同步衛星相等。[跟進訓練]宇宙速度的理解1．據悉，我國的火星探測已引起各國的關注，我國將于近幾年進行第一次火星探測，向火星發射軌道探測器和火星巡視器。已知火星的質量約為地球質量的eq\f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)。下列關于火星探測器的說法中正確的是()A．發射速度只要大于第一宇宙速度即可B．發射速度只有達到第三宇宙速度才可以C．發射速度應大于第三宇宙速度D．火星探測器環繞火星運行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的eq\f(\r(2),3)D[要將火星探測器發射到火星上去，必須脫離地球引力，即發射速度要大于第二宇宙速度，火星探測器仍在太陽系內運轉，因此從地球上發射時，發射速度要小于第三宇宙速度，選項A、B、C錯誤；由第一宇宙速度的概念，得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))，故火星探測器環繞火星運行的最大速度與地球的第一宇宙速度的比值約為eq\r(\f(2,9))＝eq\f(\r(2),3)，選項D正確。]衛星的運行問題2．(2020·重慶一中月考)如圖所示，衛星A、B繞地球做勻速圓周運動，用T、a、v、S分別表示衛星的周期、加速度、速度、與地心連線在單位時間內掃過的面積。下列關系式正確的是()A．TA>TBB．aA>aBC．vA>vBD．SA＝SBA[根據萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)＝eq\f(m·4π2r,T2)＝ma，可知線速度為v＝eq\r(\f(GM,r))，周期為T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，加速度為a＝eq\f(GM,r2)，A的軌道半徑較大，則vA<vB，TA>TB，aA<aB，故A正確，B、C錯誤；由開普勒第二定律可知繞一中心天體運動的衛星與中心天體連線在相等時間內掃過的面積相等，A、B不是同一軌道，所以A、B與地心連線在單位時間內掃過的面積不同，故D錯誤。]同步衛星、近地衛星與赤道上的物體3．地球赤道上有一物體隨地球自轉，所受的向心力為F1，向心加速度為a1，線速度為v1，角速度為ω1；繞地球表面附近做圓周運動的人造衛星(高度忽略)，所受的向心力為F2，向心加速度為a2，線速度為v2角速度為ω2；地球的同步衛星所受的向心力為F3，向心加速度為a3，線速度為v3，角速度為ω3。地球表面的重力加速度為g，第一宇宙速度為v，假設三者質量相等，則()A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2D[地球同步衛星的角速度與地球自轉角速度相同，即ω1＝ω3，根據關系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1<v3，a1<a3；繞地球表面附近做圓周運動的人造衛星和地球同步衛星，它們受到地球的萬有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝mω2r＝eq\f(mv2,r)＝ma可得v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝Geq\f(M,r2)，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可見，軌道半徑大的線速度、向心加速度和角速度均小，即v2>v3，a2>a3，ω2>ω3；繞地球表面附近做圓周運動的人造衛星(高度忽略)的線速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g。綜上可知v＝v2>v3>v1，g＝a2>a3>a1，ω2>ω3＝ω1，又因為F＝ma，所以F2>F3>F1，D項正確。]衛星變軌問題eq\o([講典例示法])1．衛星發射及變軌過程概述人造衛星的發射過程要經過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示。(1)為了節省能量，在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到圓軌道Ⅰ上。(2)在A點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。2．三個運行物理量的大小比較(1)速度：設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因為在A點，衛星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛星的加速度都相同，同理，經過B點加速度也相同。(3)周期：設衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行的周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。[典例示法]2017年1月18日，世界首顆量子科學實驗衛星“墨子號”在圓滿完成4個月的在軌測試任務后，正式交付用戶單位使用。如圖為“墨子號”變軌示意圖，軌道A與軌道B相切于P點，軌道B與軌道C相切于Q點，以下說法正確的是()A．“墨子號”在軌道B上由P向Q運動的過程中速率越來越大B．“墨子號”在軌道C上經過Q點的速率大于在軌道A上經過P點的速率C．“墨子號”在軌道B上經過P時的向心加速度大于在軌道A上經過P點時的向心加速度D．“墨子號”在軌道B上經過Q點時受到的地球的引力小于經過P點時受到的地球的引力D[“墨子號”在軌道B上由P向Q運動的過程中，逐漸遠離地心，速率越來越小，選項A錯誤；“墨子號”在A、C軌道上運行時，軌道半徑不同，根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，軌道半徑越大，線速度越小，選項B錯誤；“墨子號”在A、B兩軌道上經過P點時，離地心的距離相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，選項C錯誤；“墨子號”在軌道B上經過Q點比經過P點時離地心的距離要遠些，受地球的引力要小些，選項D正確。]航天器變軌問題的“三點”注意(1)航天器變軌時半徑的變化，根據萬有引力和所需向心力的大小關系判斷；穩定在新圓軌道上的運行速度變化由v＝eq\r(\f(GM,r))判斷。(2)同一航天器在一個確定的圓(橢圓)軌道上運行時機械能守恒，在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。(3)航天器經過不同軌道的相交點時，加速度相等，外軌