2019-2020學年蘇教版版小學五年級數學下冊同步復習與測試講義第3章因數與倍數【知識點歸納總結】1.因數和倍數的意義假如整數n除以m，結果是無余數的整數，那么我們稱m就是n的因子．需要注意的是，唯有被除數，除數，商皆為整數，余數為零時，此關系才成立．反過來說，我們稱n為m的倍數．【經典例題】例1：24是倍數，6是因數．×．（判斷對錯）分析：約數與倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數（也叫因數）．約數與倍數是相互依存的，據此解答．解：24÷6=4，只能說24是6的倍數，6是24的因數，所以24是倍數，6是因數的說法是錯誤的；故答案為：×．點評：本題主要考查因數與倍數的意義，注意約數與倍數是相互依存的．例2：一個數的因數都比這個數的倍數小．×．（判斷對錯）分析：一個數既是它本身的最小倍數，又是它本身的最大因數．如：5的最小倍數是5，最大因數也是5．由此即可解答．解：因為一數既是它本身的最小倍數，又是它本身的最大因數，所以此題干不正確；故答案為：×．點評：此題重點是考察因數和倍數的意義，要知道一數既是它本身的最小倍數，又是它本身的最大因數．2.找一個數的因數的方法1．分解質因數．例如：24的質因數有：2、2、2、3，那么，24的因數就有：1、2、3、4、6、8、12、24．2．找配對．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因數就有：1、24、2、12、3、8、4、6．3．末尾是偶數的數就是2的倍數．4．各個數位加起來能被3整除的數就是3的倍數．9的道理和3一樣．5．最后兩位數能被4整除的數是4的倍數．6．最后一位是5或0的數是5的倍數．7．最后3位數能被8整除的數是8的倍數．8．奇數位上數字之和與偶數位上數字之和的差能被11整除的數是11的倍數．注意：“0”可以被任何數整除．【經典例題】例：從18的約數中選4個數，組成一個比例是1：2=3：6．分析：先寫出18的約數，然后根據比例的含義，寫出兩個比相等的式子即可．解：18的約數有：1，2，3，6，9，18；1：2=3：6；故答案為：1：2=3：6．點評：此題解答方法是根據比例的意義或比例的基本性質進行解答，此題答案很多種，寫出其中的一種即可．3.找一個數的倍數的方法找一個數的倍數，直接把這個數分別乘以1、2、3、4、5、6…，一個數的倍數的個數是無限的．1．末尾是偶數的數就是2的倍數．2．各個數位加起來能被3整除的數就是3的倍數．9的道理和3一樣．3．最后兩位數能被4整除的數是4的倍數．4．最后一位是5或0的數是5的倍數．5．最后3位數能被8整除的數是8的倍數．6．奇數位上數字之和與偶數位上數字之和的差能被11整除的數是11的倍數．注意：“0”可以被任何數整除．【經典例題】例1：個位上是3、6、9的數，都是3的倍數．×．（判斷對錯）分析：舉個反例證明，3的倍數的特征：各個數位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數．解：13，16，29是個位上分別是3，6，9可是它們都不是3的倍數，所以個位上是3、6、9的數，都是3的倍數得說法是錯誤的；故答案為：×．點評：本題主要考查3的倍數的特征．注意個位上是3、6、9的數不一定是3的倍數，各個數位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數．例：一個三位數，既有因數3，又是2和5的倍數，這個數最小是120．分析：既有因數3，又是2和5的倍數，就是這個三位數同時是2、3、5的倍數，根據2、3、5的倍數特征可知：這個三位數個位必需是0，因為只有個位上是0的數才能滿足是2和5的倍數，要想最小百位必需是最小的一位數1，然后分析各個數位上的和是不是3的倍數，即百位上的1加上十位上的數和個位上的0是3的倍數，因為1+0=1，1再加2、5、8的和是3的倍數，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，據此解答．解：由分析可知；一個三位數，既有因數3，又是2和5的倍數，這個數最小是；120；故答案為；120．點評：本題主要考查2、3、5的倍數的特征，注意掌握只有個位上是0的數才能滿足是2和5的倍數，要想最小百位必需是最小的一位數1．4.公倍數和最小公倍數公倍數指在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，這些倍數就是它們的公倍數．這些公倍數中最小的，稱為這些整數的最小公倍數．【經典例題】例1：兩個數的乘積一定是這兩個數的公倍數．√．（判斷對錯）分析：兩個數的乘積一定是這兩個數的公倍數這是正確的，舉例證明即可．解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍數，48也是4的倍數，即48是4、12的公倍數；所以兩個數的乘積一定是這兩個數的公倍數是正確的；故答案為：√．點評：本題主要考查公倍數的意義，注意掌握兩個數的乘積和這兩個數的公倍數的關系．例2：能同時被2、3、5整除的最大三位數是990．分析：根據題意可先確定能被2整除的數的特征、能被3整除的數的特征、能被5整除的數的特征，再確定能同時被2、3、5整除的數的特征，再算出最大的三位數即可．解：能被2整除的特征：個位上是0、2、4、6、8的數，能被3整除的數的特征：各個數位上的數字相加的和能被3整除，能被5整除的數的特征：個位上的數字是0或者5的數，要同時能被2和5整除，這個三位數的個位一定是0．要能被3整除，又要是最大的三位數，這個數是990．故答案為：990．點評：此題主要考查的是能同時被2、3、5整除的數的特征．5.因數、公因數和最大公因數給定若干個正整數，如果他們有相同的因數，那么這個（些）因數就叫做它們的公因數．而這些公因數中最大的那個稱為這些正整數的最大公因數．【經典例題】例1：互質的兩個數沒有公約數．×．（判斷對錯）分析：根據互質數的意義，公因數只有1的兩個數叫做互質數，以此解答問題即可．解：因為，公因數只有1的兩個數叫做互質數；所以，互質的兩個數沒有公約數這種說法是錯誤的．故答案為：×．點評：此題主要考查互質數的意義以及判斷兩個數是不是互質數的方法．例2：36和48的最大公約數是12，公約數是1、2、3、4、6、12．√．（判斷對錯）分析：利用分解質因數的方法和求一個數的公約數的方法即可解決問題．解：36的約數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，48的約數有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，所以36和48的公約數有1、2、3、4、6、12，其中最大公約數為12，所以原題說法正確，故答案為：√．點評：此題是考查求一個數的公約數和最大公約數的方法．6.求幾個數的最大公因數的方法方法：1．分別分解各個數的質因數，然后比較出公共的質因數相乘．2．用短除法，寫短除算式，道理與第一種方法相似，只是找公共因數的過程與除法過程合并了．【經典例題】例1：如果A是B的，A和B的最小公倍數是B，它們的最大公因數是A．分析：如果兩個數是倍數關系那么較小數是它們的最大公約數，較大數是它們的最小公倍數，由題目條件可以得知：A是B的，也就是B是A的5倍，由此可以解決．解：因為A和B是倍數關系，所以它們的最大公約數是較小的那個數A，最小公倍數是較大的那個數B，故答案為：B；A．此題主要考查了求兩個成倍數關系的數的最大公約數和最小公倍數的方法：兩個數是倍數關系那么較小數是它們的最大公約數，較大數是它們的最小公倍數．例2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙兩數的最大公約數是12，最小公倍數120．分析：根據甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知這兩個數公有的質因數是2、2、3，公有質因數的乘積就是這兩個數的最大公因數；除了公有質因數外，甲數獨有的質因數為2，乙數獨有的質因數為5，那么公有質數與各自獨有質因數的連乘積就是這兩個數的最小公倍數．據此進行解答．解：甲=2×2×2×3；乙=2×2×3×5；甲和乙的最大公因數是：2×2×3=12；甲和乙的最小公倍數是：2×2×3×2×5=120；故答案為：12，120．點評：此題主要考查求兩個數的最大公因數和最小公倍數的方法，公有質因數的乘積就是這兩個數的最大公因數；公有質因數與各自獨有質因數的連乘積就是這兩個數的最小公倍數．7.求幾個數的最小公倍數的方法方法：（1）分解質因數法：先把這幾個數分解質因數，再把它們一切公有的質因數和其中幾個數公有的質因數以及每個數的獨有的質因數全部連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數．（2）公式法．由于兩個數的乘積等于這兩個數的最大公約數與最小公倍數的積．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求兩個數的最小公倍數，就可以先求出它們的最大公約數，然后用上述公式求出它們的最小公倍數．【經典例題】例1：育才小學六（1）班同學做廣播操，體育委員在前面領操，其他學生排成每行12人或每行16人都正好是整行，這個班至少有學生49人．分析：要求這個班至少有學生多少人，即求12與16的最小公倍數再加1即可，根據求兩個數的最小公倍數的方法：把12和16進行分解質因數，這兩個數的公有質因數與獨有質因數的連乘積，由此解決問題即可．解：12=2×2×3，16=2×2×2×2，則12和16的最小公倍數是：2×2×2×2×3=48，48+1=49（人）；答：這班至少有學生49人；故答案為：49．點評：此題主要考查求兩個數的最小公倍數的方法：兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；數字大的可以用短除法解答．例2：A和B都是自然數，分解質因數A=2×5×C；B=3×5×C．如果A和B的最小公倍數是60，那么C=2．分析：利用求最小公倍數的方法：幾個數的公有因數與獨有因數的連乘積；由此可以解決問題．解：分解質因數A=2×5×C，B=3×5×C，所以2×3×5×C=60，則C=2．故答案為：2．點評：此題考查了求幾個數的最小公倍數的靈活應用．【同步測試】單元同步測試題一．選擇題（共8小題）1．30的因數共有（）個．A．4個 B．8個 C．2個2．李明有張數相同的5元和1元零用錢若干，李明可能有（）錢．A．48元 B．38元 C．28元 D．8元3．甲數是乙數的倍數，甲乙兩數的最大公約數是（）A．甲數 B．乙數 C．14．13×5＝65，13是65的（）A．質數 B．合數 C．質因數5．下面（）有公因數3．A．6和11 B．9和15 C．21和35 D．30和406．a和b是兩個連續的非0自然數，它們的最小公倍數是（）A．a B．b C．1 D．ab7．用3、5、7除，余數都是1的數有（）A．有限的個數 B．無數個 C．沒有一個8．甲數÷乙數＝15，甲數和15的最大公因數是（）A．1 B．甲數 C．乙數 D．15二．填空題（共7小題）9．一個數的最大因數是15，這個數是，它有個因數，這個數的最小倍數是．10．學校400米環形跑道每隔4米插一面小旗，現在要改成每隔5米插一面小旗，有面小旗不要移動．11．寫出36所有的因數：．12．如果a÷b＝26，（a、b非零自然數）a與b的最小公倍數是，最大公因數是．13．如果15÷3＝5，我們就說15是3的，是15的因數．14．用1～9這九個數碼可以組成362880個沒有重復數字的九位數．那么，這些數的最大公約數是．15．4的最小倍數是．三．判斷題（共5小題）16．因為4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍數，0.5是4的因數．（判斷對錯）17．3是因數，6是倍數．（判斷對錯）18．同時是2、3、5、6的倍數中，最小的數是60．（判斷對錯）19．7和13的公因數只有1．．（判斷對錯）20．所有偶數（0除外）的最大公因數是2．．（判斷對錯）四．計算題（共1小題）21．求下面每組數的最大公因數和最小公倍數．11和834和5178和39五．應用題（共4小題）22．把24個球裝在幾個盒子里，如果每個盒子裝的數量一樣多，有多少種裝法？每種裝法各需要多少個盒子？每個盒子里裝幾個？（選用合適的方法進行解答）23．已知兩個數的最大公約數是13，最小公倍數是78，求這兩個數的差．24．有一堆蘋果，總數不到30個，把這堆蘋果平均分給5個人，還多出3個蘋果．這堆蘋果有幾個？（可以從不同的可能性來考慮）25．東木小區開展閑置圖書共享活動．參與共享的圖書數量在100和200之間，并且比24的倍數多15．參與共享的圖書最多有多少本？

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【分析】根據找一個數的因數的方法進行列舉即可．【解答】解：30的因數有：1、2、3、5、6、10、15、30一共8個；故選：B．【點評】此題考查了找一個數因數的方法．2．【分析】既然5元和1元的張數相同，那么，他的總錢數應該是6的整數倍，由此得解．【解答】解：A、48元＝6元×8；可以；其他三個選項的38、28、8都不能被6整除．故選：A．【點評】此題考查了找一個數的倍數的方法以及貨幣、人民幣及其常用單位和計算．3．【分析】由題意可知甲數是乙數的整數倍，求兩個數為倍數關系時的最大公約數：兩個數為倍數關系，最大公約數為較小的數；由此解答問題即可．【解答】解：因為甲數是乙數的倍數，所以甲和乙的最大公約數是乙；故選：B．【點評】此題主要考查求兩個數為倍數關系時的最大公約數：兩個數為倍數關系，最大公約數為較小的數．4．【分析】根據算式13×5＝65，可知13是65因數，13又是質數，所以13是的質因數．【解答】解：根據分析可知：13×5＝65，13是65的質因數．故選：C．【點評】此題主要考查因數與質因數的意義．5．【分析】根據分解質因數的方法，把每組數分別分解質因數，然后找出每組的公有的質因數即可．【解答】解：A、6＝2×3，11＝1×11，所以6和11沒有的公因數是3；B、9＝3×3，15＝3×5，所以9和15有公因數3；C、21＝3×7，35＝5×7，所以21和35沒有公因數3；D、30＝2×3×5，40＝2×2×2×5，所以30和40沒有公因數3．故選：B．【點評】此題考查的目的是理解公因數的意義，掌握求兩個數的公因數的方法．6．【分析】根據自然數的排列規律，在非0自然數中，相鄰的兩個自然數相差1，也就是相鄰的兩個非0自然數都是互質數．根據求兩個數的最小公倍數的方法，如果兩個數是互質數，那么這兩個數的乘積就是它們的最小公倍數．據此解答即可．【解答】解：因為a和b是兩個連續的非0自然數，也就是a和b是互質數，所以a和b的最小公倍數是ab．故選：D．【點評】此題考查的目的是理解掌握求兩個數的最小公倍數的方法及應用，明確：如果兩個數是互質數，那么這兩個數的乘積就是它們的最小公倍數．7．【分析】用3、5、7除，余數都是1的數，是比3、5、7的公倍數多1的數，由于3、5、7的公倍數有無數個，所以用3、5、7除，余數都是1的數有無數個；據此解答．【解答】解：用3、5、7除，余數都是1的數，是比3、5、7的公倍數多1的數，由于3、5、7的公倍數有無數個，所以用3、5、7除，余數都是1的數有無數個；故選：B．【點評】解答此題要明確幾個數的公倍數有無數個．8．【分析】因為甲數÷乙數＝15，那么甲數÷15＝乙數，則甲數和15成倍數關系，當兩個數成倍數關系時，較大的那個數是這兩個數的最小公倍數，較小的那個數是這兩個數的最大公因數；據此判斷即可．【解答】解：甲數÷乙數＝15，則甲數÷15＝乙數，則甲數和15成倍數關系，所以甲數和乙數的最大公因數是15．故選：D．【點評】此題主要考查了求兩個數的最大公因數：兩個數為倍數關系，最大公約數為較小的數，較大的那個數是這兩個數的最小公倍數．二．填空題（共7小題）9．【分析】根據因數與倍數的意義，如果甲數是乙數的倍數，那么乙數就是甲數的因數．一個數的因數的個數是有限的，最小的因數是1，最大的因數是它本身；一個數的倍數的個數是無限的，最小倍數是它本身，沒有最大倍數；由此解答．【解答】解：一個數的最大因數是15，這個數是15，15的因數有：1、3、5、15共4個；15的最小倍數是15．故答案為：15；4；15．【點評】此題考查的目的是使學生理解因數與倍數的意義，明確：一個數的因數的個數是有限的，最小的因數是1，最大的因數是它本身；一個數的倍數的個數是無限的，最小倍數是它本身，沒有最大倍數．10．【分析】分析題意可得，不動的小旗地點應該是4和5的公倍數所在的位置，找出400以內有幾個4和5的公倍數即可．【解答】解：400以內4與5的公倍數有20、40、60、80、100、120、140、160、180、200、220、240、260、280、300、320、340、360、380、400共20個．故答案為：20【點評】此題考查利用公倍數解決實際問題．11．【分析】根據求一個數的因數的方法，進行列舉即可．【解答】解：36的因數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36．故答案為：1、2、3、4、6、9、12、18、36．【點評】此題考查的是求一個數因數的方法，應有順序的寫，做到不重復，不遺漏．12．【分析】由a÷b＝26（a、b非零自然數），可知a是b的整數倍，求兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數：最大公因數為較小的數；最小公倍數為較大的數；由此解答問題即可．【解答】解：由題意得，a÷b＝26，（a、b非零自然數）可知a是b的倍數所以，a與b的最小公倍數是a，最大公因數是b．故答案為：a，b．【點評】此題主要考查求兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數：兩個數為倍數關系，最大公因數為較小的數；最小公倍數為較大的數．13．【分析】根據因數和倍數的意義：如果整數a能被整數b整除（b≠0），a就叫做b的倍數，b就叫做a的因數；進行解答即可．【解答】解：15÷3＝5，我們就說15是3的倍數，3是15的因數．故答案為：倍數，3．【點評】此題應根據因數和倍數的意義進行分析、解答．14．【分析】（1）組成的所有九位數，每一個數上的數字相加的和都是：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，45是9的倍數，能被9整除，根據各個數位上的數字之和能被9整除，這個數就能被9整除，所以這九個數字組成的所有九位數都能被9整除；（2）987654321﹣987654312＝9，所以最大公約數不可能超過9；綜上所述，組成的所有九位數的最大公約數是9．根據能被9整除的數的特征，即各個數位上的數字之和能被9整除，這個數就能被9整除，用1～9這九個數碼組成的沒有重復數字的九位數，它們各個數位上的數字之和能被9整除，進一步得出答案．【解答】解：（1）組成的所有九位數，每一個數上的數字相加的和都是：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，45是9的倍數，能被9整除，根據各個數位上的數字之和能被9整除，這個數就能被9整除，所以這九個數字組成的所有九位數都能被9整除；（2）987654321﹣987654312＝9，所以最大公約數不可能超過9；綜上所述，組成的所有九位數的最大公約數是9．故答案為：9．【點評】解決此題關鍵是掌握能被9整除的數的特征，即各個數位上的數字之和能被9整除，這個數就能被9整除．15．【分析】求一個數的倍數的方法用這個數分別乘自然數1、2、3、4、5…，所得積就是這個數的倍數，其中最小倍數是它本身．【解答】解：4的最小倍數是4．故答案為：4．【點評】本題主要考查求一個數的倍數的方法．記住其中最小的是它本身．三．判斷題（共5小題）16．【分析】根據因數和倍數的意義，因數和倍數是在非0自然數范圍內進行研究，以此解答．【解答】解：4÷0.5＝8，只是4能被0.5除盡，不是整除；倍數是相對應整數而言的，研究范圍是在非0自然數范圍內，所以原題說法錯誤；故答案為：×．【點評】此題的解答關鍵是明確因數和倍數的意義，以及因數和倍數的研究范圍是在非0自然數范圍內．17．【分析】根據因數和倍數的意義，當a÷b＝c（a、b、c為非0自然數），我們說a是b的倍數，b是a的因數．由此可見，因數和倍數是相互依存的，不能單說a是倍數，b是因數．由此可解答此題．【解答】解：根據因數和倍數的意義，當a÷b＝c（a、b、c為非0自然數），我們說a是b的倍數，b是a的因數．由此可見，因數和倍數是相互依存的，應該說3是6的因數，6是3的倍數；所以“3是因數，6是倍數”的說法是錯誤的．故答案為：×．【點評】此題是考查因數和倍數的意義，學生往往忽略因數和倍數是相互依存這這一點，容易出錯．18．【分析】本題即求2、3、5、6的最小公倍數，因為2、3的最小公倍數是6，所以只要求出5、6的最小公倍數即可判斷．【解答】解：因為2、3的最小公倍數是6，所以只要求出5、6的最小公倍數，5×6＝30即同時是2、3、5、6倍數的最小的數是30，所以本題說法錯誤；故答案為：×．【點評】此題實際上就是求2、3、5、6的最小公倍數．19．【分析】7是質數、13也是質數，所以7和13是互質數，那么它們的公因數只有1．據此判斷即可．【解答】解：因為7是質數、13也是質數，所以7和13是互質數，那么它們的公因數只有1．因此，7和13的公因數只有1．這種說法是正確的．故答案為：√．【點評】此題考查的目的是理解掌握公因數的意義以及求兩個數的公因數的方法及應用．20．【分析】根據偶數的意義，在自然數中，是2的倍數的數叫做偶數．再根據公因數、最大公因數的意義，幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個是它們最大公因數．據此判斷即可．【解答】解：因為2是偶數，而2的因數中最大的是2，所以所有偶數（0除外）的最大公因數是2．此說法正確．故答案為：√．【點評】此題考查的目的是理解偶數的意義、公因數、最大公因數的意義，掌握求幾個數的最大公因數的方法．四．計算題（共1小題）21．【分析】求最大公約數也就是這幾個數的公有質因數的連乘積，最小公倍數是共有質因數與獨有質因數的連乘積，由此解決問題即可．【解答】解：11和8互質，所以最大公因數是1，最小公倍數是11×8＝88．34＝17×251＝17×3所以34和51的最大公約數是：17，最小公倍數是：17×2×3＝102；78÷3