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文檔簡介

2.2函數無窮小與極限

2.2.1函數在一點極限

在數軸上,常量對應于定點,變量對應于動點.我們用表示自變量x無限接近但不等于

即且動點x到定點的距離無限接近0.考察函數和

當時,

無限接近0,無限接近1,我們說當時函數的極限是

0,是無窮小,也稱當時而函數的極限是

1.定義2.2(函數極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設當時,

則稱當時的極限是0,

或稱當時,如果A是常數,且

則稱當時的極限是A,

記作由可得其中

C為正數.無窮小比較定理顯然,

即當時,是無窮小.例2.3證明證因由有例2.4設證因由

有

證明練習證明證因而所以例2.5證因不妨設,

顯然有,

證明即,

故.

對,

有

而所以我們用表示點x從的

右側無限接近但不等于的過程.我們用表示點x從的

左側無限接近但不等于的過程;單側極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數學定義,

分別稱為f(x)在點的左極限與右極限.等價于

定理2.2(極限與左、右極限的關系)

注:也記成

也記成

例2.6證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以,不存在.2.2.2函數在無窮遠的極限考察函數

我們用表示x無限地遠離坐標原點,即無限增大的過程.

當時,無限增大,因此無限接近0,

我們說當時函數的極限是0,也稱當時是無窮小.定義2.3(函數極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設當時,

則稱當時的極限是0,

或稱當時,如果A是常數,且

則稱當時的極限是A,

記作的幾何意義:之內.函數的圖形完全落在帶型區域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無窮時由可得其中

C為常數.例2.7證明證由有函數的極限.其中n為正整數.

不妨設

當時,因例2.8證明證由有當時,不妨設

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數學定義.

等價于

例如,

因此

不存在.

2.2.3極限的性質證設取有即在

的空心鄰域內有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個空心鄰域內有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號性)

證只需證第一部分.

不妨設(1)若因即于是設則在

的某個空心鄰域內與A同號.(2)如果在

的某個空心鄰域內2.2.4

無窮大考察函數

當時的變化趨勢.

任意給定的正數M,無論M多么大,

就有

我們稱當時是無窮大量,簡稱無窮大.是無窮大,

是正無窮大,

定義2.4記作如果則稱當時

不會和任意一個固定的常數無限接近,因而極限不存在.注意:當時是無窮大,

如果且

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