第5講平面對量基礎過關1.已知向量a=(x,2),b=(-2,1),若a∥b,則x= ()A.1 B.-1 C.4 D.-42.在平面直角坐標系中,已知點A,B,C的坐標分別為(0,1),(1,0),(4,2),假如四邊形ABCD為平行四邊形,那么點D的坐標為 ()A.(3,3) B.(-5,1) C.(3,-1) D.(-3,3)3.已知非零向量a,b,若|a|=2|b|,且a⊥(a-2b),則a與b的夾角為 ()A.π6 B.πC.π3 D.4.在邊長為4的等邊三角形ABC中,M,N分別為BC,AC的中點,則AM·MN= ()A.-6 B.6 C.0 D.-35.已知O為坐標原點,向量a,b是兩個不共線的向量,且OA=3a+5b,OB=4a+7b,OC=a+mb,若A,B,C三點共線,則m= ()A.1 B.-1 C.2 D.-26.已知向量a=(-1,2),b=(3,4),若向量c與a共線,且c在b方向上的投影為5,則|c|= ()A.1 B.2 C.5 D.5圖X5-17.如圖X5-1,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D,設AB=a,AC=b,則向量AD= (A.a+b B.12a+bC.a+12b D.a+28.在△ABC中,已知AC·BC=0,|BC|=3|AC|,點M滿意CM=tCA+(1-t)CB,若∠ACM=60°,則t= ()A.12 B.3C.1 D.29.已知a,b,c是在同一坐標平面內的單位向量,若a與b的夾角為60°,則(a-b)·(a-2c)的最大值是 ()A.12 B.-2C.32 D.10.已知點O是△ABC內的一點,且滿意OA+2OB+mOC=0,S△AOBS△ABC=47,則實數A.-4 B.-2 C.2 D.411.若平面對量a,b滿意|a+b|=2,|a-b|=3,則a·b=.

12.圖X5-2是由六個邊長為1的正六邊形組成的蜂巢圖形,定點A,B是兩個頂點,動點P在這些正六邊形的邊上運動,則AP·AB的最大值為.

圖X5-2實力提升13.已知P為△ABC內隨意一點(不包括邊界),且滿意(PB-PA)·(PB+PA-2PC)=0,則△ABC的形態肯定為 ()A.等邊三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形14.在△ABC中,AB=1,A=2π3,則|AB+tAC|(t∈R)的最小值是 (A.32 B.2C.12 D.15.在矩形ABCD中,AB=4,BC=43,點G,H分別為直線BC,CD上的動點,AH交DG于點P.若DH=2λDC,CG=12λCB(0<λ<1),矩形ABCD的中心M關于直線AD的對稱點是N,則△PMN的周長為 (A.12 B.16 C.24λ D.32λ16.在△ABC中,A=π2,AB=AC=2,有下述四個說法①若G為△ABC的重心,則AG=13AB+②若P為BC邊上的一個動點,則AP·(AB+AC)為定值2;③若M,N為BC邊上的兩個動點,且MN=2,則AM·AN的最小值為32④已知P為△ABC內一點,若BP=1,且AP=λAB+μAC,則λ+3μ的最大值為2.其中全部正確說法的編號是.

限時集訓(五)1.D[解析]由a∥b,得x=-2×2=-4,故選D.2.A[解析]設D(x,y),∵點A,B,C的坐標分別為(0,1),(1,0),(4,2),且四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD=BC,∴(x,y-1)=(3,2),解得x=3,y=3,∴點D的坐標為(3,3).故選A.3.B[解析]因為a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=|a|2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos<a,b>=0.因為|a|=2|b|,所以cos<a,b>=|a|22|a||b|=22,又<a,b>∈[0,故選B.4.A[解析]由題可知,|AB|=|AC|=4,AB·AC=4×4×12=8,AM=12(AB+AC),MN=-12AB,所以AM·MN=12(AB+AC)·-12AB=-14(AB2+AC·AB)=-14×故選A.5.A[解析]由A,B,C三點共線,可設OC=xOA+(1-x)OB,即a+mb=(4-x)a+(7-2x)b,故4-x=1,7-26.D[解析]向量a=(-1,2),因為向量c與a共線,所以設c=(-λ,2λ),由b=(3,4),得c在b方向上的投影為c·b|b|解得λ=5,所以c=(-5,25),所以|c|=(-5)2故選D.7.C[解析]設△ABC外接圓的半徑為r,圓心為O,在Rt△ABC中,因為∠ABC=π2,AC=2AB,所以O為AC的中點,∠BAC=π3,∠ACB=因為∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6.連接BD,CD,OD,依據圓的性質得BD=CD=AB,因為AB=12AC=r=OD,所以AO=OD=BD=AB,所以四邊形ABDO為菱形,所以AD=AB+AO=a+12b,8.A[解析]由AC·BC=0,|BC|=3|AC|,可知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,設|AC|=a,則|BC|=3a,|AB|=2a,∠CAB=60°.由點M滿意CM=tCA+(1-t)CB,得CM=tCA+CB-tCB,即CM-CB=t(CA-CB),所以BM=tBA,所以M在直線AB上.由∠ACM=60°,得|AC|=|AM|=|CM|=|BM|=a,即M為AB的中點,所以t=12.故選A9.D[解析]∵單位向量a與b的夾角為60°,∴a·b=|a|·|b|cos60°=12,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×12+1=1,則|a-b|=設向量c與a-b的夾角為θ,則(a-b)·(a-2c)=a2-a·b-2(a-b)·c=1-12-2|a-b|·|c|cosθ=12-2cosθ≤12+2=52,當θ=π時,等號成立10.D[解析]由OA+2OB=-mOC得13OA+23設-m3OC=OD,則13OA+23OB=OD,∴A∵O在△ABC內,∴OC與OD反向,∴m>0,∴|OD||OC|=m3∴S△AOBS△ABC=|OD||CD|=m11.-14[解析]由|a+b|=2,得a2+b2+2a·b=2①由|a-b|=3,得a2+b2-2a·b=3②,①-②可得4a·b=-1,所以a·b=-1412.452[解析]由AP·AB=|AP|·|AB|cos∠PAB=21·|AP|cos∠PAB,可知向量AP在AB方向上的投影|AP|cos∠PAB取得最大值時,AP·AB取得最大值,由圖易知,當點P在點C處時,向量AP在AB方向上的投影|AP|cos∠PAB取得最大值.由題意,建立如圖所示的平面直角坐標系,則由正六邊形的邊長為1可得A(-3,0),B(3,3),C32,92,則AB=(23,3),AC=332,92,所以(AP·AB)max=AC·AB=23×332+3×13.D[解析]設AB的中點為M,則PB+PA=2PM,因為(PB-PA)·(PB+PA-2PC)=AB·(2PM-2PC)=2AB·所以AB⊥CM,故△ABC為等腰三角形,故選D.14.A[解析]依據題意,設|AC|=m,則由AB=1,A=2π3,得AB·AC=1×m×cos2π則|AB+tAC|2=|AB|2+2tAB·AC+t2|AC|2=m2t2-mt+1=mt-122+34,所以當mt=12時,|AB+tAC|2取得最小值3故|AB+tAC|(t∈R)的最小值是32故選A.15.A[解析]分別以MN和AD所在的直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,-23),D(0,23),C(4,23),B(4,-23),M(2,0),N(-2,0).∵DH=2λDC,CG=12λCB,∴H(8λ,23),G(4,23(1-λ∴直線AH的方程為y=438λx-23=32λ直線DG的方程為y=-23λ4x+23=-3λ聯立①②可得點P8λ1+λ2,∴(8λ1+λ2)

216+(23(1-λ2)1+λ2)

212=64λ216(∴點P的軌跡是以O為中心,N,M分別為左、右焦點的橢圓在第一象限的部分,其中a=4,b=23,c=2.由橢圓的定義可知,|PM|+|PN|=2a=8,∴△PMN的周長為|PM|+|PN|+|MN|=8+4=12.故選A.16.①③[解析]因為在△ABC中,A=π2,AB=AC=2,所以△ABC為等腰直角三角形①如圖(1),取BC的中點D,連接AD,因為G為△ABC的重心,所以G在AD上,且AG=23AD所以AG=23AD=23×12(AB+AC)=13AB+②如圖(1),因為D為BC的中點,△ABC為等腰直角三角形,所以AD⊥BC,若P為BC邊上的一個動點,則AP在AD上的投影為|AP|cos∠PAD=|AD|,所以AP·(AB+AC)=2AP·AD=2|AD|2=2×12BC2=4,故②③以A為坐標原點,分別以AB,AC所在的直線為x軸、y軸,建立如圖(2)所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),C(0,2),易得BC所在直線的方程為x+y=2.由M,N為BC邊上的兩個動點,可設M(x1,2-x1),N(x2,2-x2),且x1,x2∈0,2,不妨令x1<x因為|MN|=2,所以(x1-x2)2+(x2-x1)2=2,即(x1-x2)2=1,則x2-x1=1,所以AM·AN=x1x2+(2-x1)(2-x2)=x1(x1+1)+(2-x1)(2-x1-1)=2x12-2x1+2=2x1-122+32≥32,當且僅當x1=12時,等號成立,④同③,建立如圖(3)所示的平面直角坐標系,則AB=(