數學試題一、單選題1．在空間直角坐標系中，點關于x軸對稱的點坐標是（

）A． B． C． D．答案：C解：在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點坐標為.故選：C.2．若向量是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序實數組，使得：，我們把有序實數組叫做基底下向量的斜坐標.設向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（

）A． B． C． D．答案：D解：由題意可得，設，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐標為.故選：D.3．已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A解：當時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．已知平面的一個法向量，點在平面內，若點到的距離為，則（

）A．16 B． C．4或 D．或16答案：C解：由點在平面內，若點，可得，因為平面的一個法向量，且點到的距離為，可得，即，解得或.故選：C.5．已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B解：解：記為點，直線的斜率，直線的斜率，因為直線l過點，且與線段相交，結合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．6．直線過點，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．24答案：B解：設直線：，，因為直線過點，所以，即，所以，解得，當且僅當，即，時等號成立，則直線與軸、軸的正半軸圍城的三角形面積.故選：B.7．如圖，在平行六面體中，，，，則的長為（

）A． B．C． D．答案：A解：平行六面體中，，因為，，，，所以，所以，即的長為.故選：A.8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F作一截面，則截面的周長為（）A．2+2 B． C． D．答案：B解：如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長為：.故選：B.9．下列命題中正確的是（

）A．若向量滿足，則向量的夾角是鈍角B．若是空間的一組基底，且，則四點共面C．若向量是空間的一個基底，若向量，則也是空間的一個基底D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的余弦值為答案：BC解：對A：若，則向量的夾角是鈍角或向量反向共線，故A錯誤；對B：，即有，故四點共面，故B正確；對C：假設不是空間中的一個基底，則存在實數，使，即，由向量是空間的一個基底，則向量不共面，故不存在這樣的實數，即是空間的一個基底，故C正確；對D：設直線與平面所成角為，則，由題意可得，，則，故D錯誤.故選：BC.10．以下四個命題為真命題的是（）A．過點且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．直線與直線之間的距離是D．直線恒過定點答案：BD解：對于A，當直線過原點時，方程為，當直線不過原點時，設方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或，故A錯誤；對于B，直線的斜率，所以傾斜角的范圍是，故B正確；對于C，直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故C錯誤；對于D，由，得，由，解得，所以定點為，故D正確.故選：BD.11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（

）A．不存在點，使得B．存在點，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當點自向處運動時，直線與平面所成的角逐漸增大答案：CD解：以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，，對于A，假設存在點，使得，由，，所以，解得，即點Q與D重合時，，A錯誤；對于B，假設存在點，使得異面直線NQ與SA所成的角為，由，，所以，方程無解；所以不存在點Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為，B錯誤；對于C，連接；設，因為，所以當，即點Q與點D重合時，取得最大值2，又點N到平面AMQ的距離，所以，C正確；對于D，由上解題思路知：，，若是面QMN的法向量，則，令，則，得，因為，設直線DC與平面QMN所成的角為，，所以，當點Q自D向C處運動時，的值由0到2變大，此時也逐漸增大，因為在為增函數，所以也逐漸增大，故D正確.故選：CD.三、填空題12．已知，則向量在上的投影向量的坐標是．答案：解：因為，，所以，向量在上的投影向量是，其坐標為.故答案為：.13．當點到直線l：距離的最大值時，直線l的一般式方程是．答案：解：解：∵直線l：，∴可將直線方程變形為，∴，解得，，由此可得直線l恒過點，所以P到直線l的最遠距離為，此時直線垂直于PA．∵，∴直線l的斜率為，∴，∴，∴直線l的一般方程為．故答案為：．14．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體的一個頂點，定義多面體在點P處的離散曲率為，其中（，2，……，k，）為多面體的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以P為公共點的面.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且，頂點S在底面的射影O為的中點.若該四棱錐在S處的離散曲率，則直線與平面所成角的正弦值為.

答案：解：由題意可知，四棱錐的四個側面三角形全等，則，因為四棱錐在處的離散曲率，則，，設，則，又，則，而，所以，解得，作于，則為的中點，因為是正三角形，所以，作于，則，且，則，連接，由平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，作于，則平面，所以即是直線與平面所成角，則.故答案為：.

四、解答題15．已知直線，.(1)若坐標原點O到直線m的距離為，求a的值；(2)當時，直線l過m與n的交點，且它在兩坐標軸上的截距相反，求直線l的方程.答案：(1)或(2)或解：（1）設原點O到直線m的距離為，則，解得或；（2）由解得，即m與n的交點為.當直線l過原點時，此時直線斜率為，所以直線l的方程為；當直線l不過原點時，設l的方程為，將代入得，所以直線l的方程為.故滿足條件的直線l的方程為或.16．已知的頂點邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.(1)求直線的方程和點C的坐標；(2)求的面積．答案：(1)，，(2).解：（1）由點在上，設點的坐標是，則的中點在直線上，于是，解得，即點，設關于直線的對稱點為，則有，解得，即，顯然點在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點，所以直線的方程為，點C的坐標為.

（2）由（1）得，點到直線的距離，所以的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，．(1)求證：平面．(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．答案：(1)證明見解析；(2)存在，的值為.解：(1)因為平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，所以平面.(2)假設在棱上是否存在點，使得平面，取中點，連接，，如下圖：因為，，所以，，從而，故平面，又因為平面平面，且平面平面，所以平面，以為坐標原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，如下圖：由題意可知，，，，，設，因為點在棱上，故，，所以，故，設平面的法向量為，故，令，則，，從而平面的法向量可以取，因為平面，所以，解得，，故假設成立，存在這樣的點，使得平面，此時，即，從而.18．已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點，.(1)求的長；(2)若為的中點，求二面角的余弦值；答案：(1)2(2)解：（1）因為底面為矩形，所以，，因為底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以為直線與所成的角，即，設（），則，，在中，，又，所以，解得或（舍去），所以.（2）在平面內過點作交的延長線于點，連接，因為底面，底面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因為為的中點，所以，，所以，設二面角的平面角為，則，所以，即二面角的余弦值為.19．如圖①所示，矩形中，，，點M是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐，N為中點，

(1)若平面平面，求直線與平面所成角的大小；(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.答案：(1)；(2)解：（1）取中點，連接，由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，過作，則平面，又平面，于是，在矩形中，，，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線BC與平面所成的角為，則，所以直