摘要：2024年全國九省區新高考適應性測試引發了社會的強烈關注。聚焦2021—2023年全國高考Ⅰ卷、Ⅱ卷、甲卷、乙卷和2021年、2023年、2024年新高考適應性測試數學卷，高中數學教師從試題特點、考查內容、思想方法、能力素養、試題特征等方面對數列進行分析，對教學提出以下建議：立足課標教材，夯實基礎知識；抓住數學本質，滲透數學思想；發展高階思維，強化關鍵能力；聚焦核心素養，落實立德樹人根本任務。關鍵詞：數列；高考試題；適應性考試；試題分析；教學建議數列是高中數學函數模塊下的重要內容，也是高考重點考查的內容之一。本研究通過分析近三年全國高考Ⅰ卷、Ⅱ卷、甲卷、乙卷及2021年、2023年、2024年新高考適應性測試數列試題，總結出高考卷試題的主要特征：注重基礎，圍繞基本問題；突出綜合，促進融匯貫通；關注應用，倡導數學建模；追求創新，發展高階思維。據此，我們提出數列復習的備考建議。一、高考真題及適應性測試考查內容分析（一）試題特點分析從近三年全國高考數學試卷和新高考適應性考試數學卷來看，數列部分都遵循了《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）的教學內容、學業要求和質量標準。高考真題和適應性測試試題都以基礎性試題為主，立足基本模型，圍繞基本問題，考查通性通法。試題在注重基礎知識考查的同時，也注重綜合性的要求，情境豐富，內涵深刻，體現數學應用意識，引導學生學以致用；解題方法靈活多樣，凸顯理性思維，注重創新性，充分體現了對關鍵能力和數學學科核心素養的考查，對教學起著指導和啟發作用。（二）考查內容分析高考真題考點與內容覆蓋全面，等差數列、等比數列為考查的重點內容，主要包括等差數列、等比數列的概念與性質，等差數列、等比數列基本量的計算，求數列的通項公式與前n項和公式，數列與不等式、數列與概率、數列與函數在知識的交匯點處命題以及具體情境中數列模型的應用。適應性考試試題主要考查等差數列、等比數列的定義、通項、求和以及數列與不等式的綜合，注重基礎性與綜合性（近三年全國高考數學試卷和新高考適應性測試數學試卷數列試題情況如下頁表1所示）。（三）數學思想剖析數學思想是數學的“根”，是對數學知識、數學方法、數學規律的本質認識，高考全國卷和適應性測試卷在數列板塊的試題中都滲透了以下數學思想方法。1.函數與方程思想：數列的本質是函數，解決數列問題時，要善于利用函數的觀點、函數的思想方法，以概念、圖象、性質為紐帶，架起函數與數列之間的橋梁。利用函數的觀點求解數列問題往往思路自然，方法簡潔。方程思想是從分析問題的數量關系入手，適當設元，將已知量與未知量之間的關系轉化為方程（組），通過求解方程（組）從而解決問題。等差、等比數列五個基本量中，“知三求二”是數列問題最基本的題型，方程思想在求解這類問題中起著非常重要的作用。2.轉化與化歸思想：轉化與化歸是指將復雜問題轉化為簡單問題，將未知問題轉化為已知問題。在數列問題中，常常把一般數列轉化為等差數列或等比數列求解；證明與求和有關的不等式時，把不能直接求和的數列放縮成可以求和的數列；在與混合的遞推關系中，去掉或者實現變量的統一，這是解決多元問題的通法。常用的轉化方法包括構造法、待定系數法、換元法等。3.分類討論思想：分類是一種基本邏輯方法，當問題包含多種情況時，要按可能出現的情況進行討論。分類討論能較好地考查學生思維的條理性與嚴謹性。在解決數列問題時，常常需要根據題目的具體情況進行分類討論，如擺動數列的通項公式、奇偶項的求和問題、公比q未知情況下等比數列的求和公式等。通過分類討論，可以更全面地考慮問題，避免遺漏或誤解。（四）能力素養剖析數學學科核心素養是通過數學學習與應用，逐步形成和發展起來的具有數學特征的關鍵能力、必備品格以及價值觀念。高考全國卷和適應性考試卷在數列板塊的試題中滲透了以下數學學科核心素養。1.數學抽象：數列問題中存在各種各樣的量，在研究量的變化、量與量之間的關系時進行的推導、演算、表述、分析、判斷等都是用數學符號進行，結論也是用數學符號予以表征。學生通過數學抽象理解數列的本質，用數學的眼光觀察世界，是形成理性思維的重要基礎。2.邏輯推理：邏輯是數學研究的主要工具，若前提為真，且推理的過程合乎邏輯要求，則結論必為真。研究數列問題，從事實出發，依據邏輯規則，通過演繹推理或者歸納推理、類比推理，證明數列的性質或結論，才能確保結論的可靠性。邏輯推理是數學嚴謹性的基本保證。3.數學運算：在數列問題中明晰運算對象，依據運算法則探索運算思路，靈活選擇運算方法，合理設計運算程序，求出正確的運算結果。數學運算是數學活動的基本形式，是得到數學結果的重要手段。數學運算能力也是學生解決數學問題的基本能力。4.數學建模：數列是刻畫現實世界中一類具有遞推規律事物的數學模型，學生根據實際情境從數學的視角發現問題，做出簡化假設，用數學符號和數學語言表述，提出問題，分析內在規律，構建模型，對數學模型進行求解和檢驗，最終解決實際問題。數學建模是數學學科與其他學科融合的基礎，是構建數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式。二、高考全國卷試題及新高考適應性測試試題特征分析（一）注重基礎，圍繞基本問題1.等差數列、等比數列的證明例1（2021年適應性測試第17題）已知各項都是正數的數列[an]滿足an+2=2an+1+3an.（1）證明：數列[an+an+1]為等比數列；（2）若a1=[12]，a2=[32]，求[an]的通項公式。［解析］本題以遞推關系為背景，考查等比數列的證明以及求數列的通項公式，考查了分類討論思想、數學運算和探究問題的能力。例2（2021年高考全國乙卷理科第19題）設數列[an]的前n項和為Sn，數列[Sn]的前n項積為bn，已知[2Sn+1bn=2].（1）證明：數列[bn]是等差數列；（2）求數列[an]的通項公式。［解析］本題第（1）問是等差數列的證明問題，由數列[Sn]前n項積與通項的關系，消項得到積的遞推關系。第（2）問在第（1）問的基礎上解方程求出數列[an]的前n項和公式，再利用前項和與通項的關系求出[an]的通項公式。消和（積）留項或者消項留和（積），實現變量的統一，這是基本的、重要的思想方法。2.等差、等比數列基本量的運算及性質例3（2024年適應性測試第3題）記等差數列[an]的前n項和為Sn，a3+a7=6，a12=17，則S16=（

）A.120

B.140

C.160

D.180［解析］本題考查等差數列基本量的計算，體現了基礎性。例4（2023年新課標Ⅰ卷第20題）設等差數列[an]的公差為d，且d＞1.令bn=[n2+nan]，記Sn，Tn分別為數列[an]，[bn]的前n項和．（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求[an]的通項公式；（2）若[bn]為等差數列，且S99-T99=99，求d。［解析］本題以等差數列為背景，第（1）問緊扣等差數列的定義與前n項和的含義，很容易求出結果。第（2）問包含兩個等差數列，需要解四個未知數的方程組。已知[bn]是等差數列，解法一：由等差數列的定義易得2bn=bn-1+bn+1，尋找a1和d的關系，此方法運算量較大；解法二：對任意的正整數n都有2bn=bn-1+bn+1成立，很容易想到當n=1時有2b2=b1+b3，此法運算量較少；解法三：若把等差數列的通項公式設成一次函數的形式，則所列方程組的結構會相對簡單。此題雖然是考查數列的基礎量，但是考出了新的高度，考查了函數與方程思想、分類討論思想、一般與特殊思想，對學生的數學運算素養以及邏輯推理素養有較高的要求。例5（2023年高考全國乙卷理科第15題）已知[an]為等比數列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，則a7=

。［解析］本題考查等比數列的通項與性質，體現了基礎性。3.數列的通項與求和例6（2023年高考全國甲卷理科第17題）設Sn為數列[an]的前n項和，已知a2=1，2Sn=nan。（1）求[an]的通項公式；（2）求數列[an+12n]的前n項和Tn。［解析］本題已知Sn和an混合的遞推關系式，第（1）問可以利用關系an=[S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2]消去Sn，得到數列[an]相鄰兩項的遞推關系，對[anan-1]=f（n）這類遞推公式，應用累乘法求出[an]的通項公式。第（2）問數列[an+12n]是差比數列，錯位相減法求和的本質是把差比數列求和轉化為等比數列求和。學生能理解其中的原理，但操作過程往往不夠嚴謹細致，導致結果錯誤。錯位相減法有一個難點和兩個易錯點：難點是很多學生不會合并同類項，且對整理后的結果不自信；一個易錯點是忘記兩式相減后最后一項是負的，另一個易錯點是使用等比數列前n項和公式的時候，忽略求和的項數是n還是n-1。數列求和屬于基本技能范疇，主要考查學生的邏輯推理和數學運算等數學學科核心素養。例7（2022年新高考Ⅰ卷第17題）記Sn為數列[an]的前n項和，已知a1=1，[Snan]是公差為[13]的等差數列。（1）求[an]的通項公式；（2）證明：[1a1+1a2+…+1an<2]。［解析］本題第（1）問考查數列通項公式的求法，切入點很多，在[an]與[Sn]交織的遞推關系中，可以去掉[Sn]轉化為[an]與[an-1]的遞推關系，由累乘法求[an]的通項；也可以去掉[an]轉化為[Sn]與[Sn-1]的遞推關系，以退為進，先求[Sn]的通項，再求[an]的通項；還可以列舉出數列[an]的前幾項，觀察規律，猜想出[an]數列的通項公式，然后再用數學歸納法證明。第（2）問由列項相消法求和、放縮、證明不等式，考查了邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養。（二）突出綜合，促進融會貫通例8（2023年新課標Ⅰ卷第7題）已知[Sn]為數列[an]的前n項和，設甲：[an]為等差數列；乙：[Snn]為等差數列，則（

）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件［解析］本題以等差數列的定義、通項公式及前n項和公式等知識為情境，考查了充要條件的推理論證，彰顯了對數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養的考查。例9（2023年適應性測試第19題）記數列[an]的前n項和為Tn，且a1=1，an=Tn-1（n≥2）。（1）求數列[an]的通項公式；（2）設m為整數，且對任意n[∈]N*，m≥[1a1+2a2][+…+nan]，求m的最小值。［解析］本題第（1）問考查數列通項公式的求法。第（2）問由錯位相減法先求和，再放縮，本題運用了數列及不等式知識求解，考查了函數思想以及邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養。例10（2023年高考全國乙卷理科第10題）已知等差數列[an]的公差為[2π3]，集合S=[cosan|n∈N*]，若S=[a，b]，則ab=（

）A.-1

B.-[12]

C.0

D.[12]［解析］本題將等差數列通項公式、集合元素的互異性、三角恒等變換等知識有機融合在一起，呈現方式簡潔新穎，考查了學生對概念、性質的深入理解以及綜合分析問題和解決新問題的能力。例11（2023年新課標Ⅱ卷第18題）已知[an]為等差數列，bn=[an-6，n為奇數2an，n為偶數]，記Sn，Tn分別為數列[an]，[bn]的前n項和，S4=32，T3=16。（1）求[an]的通項公式；（2）證明：當n＞5時，Tn＞Sn。［解析］本題以分段函數的形式考查數列的通項與求和，融合了等差數列中的奇偶項、分組求和、不等式等問題，考查了學生的函數與方程思想、分類討論思想和探究問題的能力。（三）關注應用，倡導數學建模例12（2023年新課標Ⅰ卷第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若沒有命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率都是0.6，乙每次投籃的命中率都是0.8。抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率都是0.5。（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E[ni=1Xi]=[ni=1qi]。記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）。［解析］本題結合現實情境，蘊含著豐富的知識及思想方法，馬爾科夫鏈、全概率公式、等比數列構造、數列求和、數學期望等眾多知識點在這里交匯融合。本題設計了三個有梯度的小題，第（2）小題不易直接求出第i次投籃的人是甲的概率pi，轉向尋找pi和pi+1之間的關系，由遞推數列模型轉化為求解數列通項公式及數列求和，使問題得以順利解決。試題亮點是在概率中隱藏了數列的通項與求和等知識點，將概率與遞推數列結合在一起考查，具有較強的綜合性和創新性，需要學生充分調動已有的知識經驗創造性地解決問題。（四）追求創新，發展高階思維例13（2022年新高考Ⅱ卷第22題）已知函數f（x）=xeax-ex。（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x＞0時，f（x）＜-1，求a的取值范圍；（3）設n[∈]N*，證明：[112+1]+[122+2]+…+[1n2+n>ln（n+1）]。［解析］本題第（3）問為函數背景下的數列不等式證明問題，數列不等式證明通常有兩個方向，即“先求和后放縮”和“先放縮后求和”。因為不等式左邊的和不可求，因此本題只能采用“先放縮后求和”的方式進行。題中的數列不等式，也可以看成兩個數列前n項和比大小問題，其中左邊數列的通項是已知的，但不能直接求其前n項和，另一個數列的前n項和是[ln（n+1）]，但其通項未知，通過逆向分析，先由前n項和公式求出未知數列的通項，再通過比較這兩數列通項的大小，實現兩個數列前項和的大小比較。第（3）問的解答以第（2）問的函數不等式為階梯，借助lnx2＜[x-1x]，構造新的不等式，再通過換元，得到數列不等式ln（n+1）-lnn＜[1n2+n]。該題對學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養都提出了較高要求［1］。三、復習備考建議通過對近三年高考試題及適應性考試試題數列板塊的考查內容和試題命題特征進行分析，我們可以發現，數列這一板塊的命題風格穩定，都體現了注重基礎性和綜合性，突出應用性和創新性的原則。基于以上分析，對數列的復習，筆者認為，一線教師可以從以下四點著手發力。（一）立足課標教材，夯實基礎知識高考命題的依據是《課程標準》，在日常教學中，教師應準確把握《課程標準》中教學內容的具體要求，明確核心知識和能力要求，幫助學生建構知識體系和方法體系。教材是依據《課程標準》經過反復實驗研究形成的教學范本，是學生獲得數學知識、提煉思想方法、積累基本活動經驗、提升學科核心素養的重要載體，很多高考試題可以在教材中找到原型。教師應充分挖掘教材的豐富資源，圍繞數列的概念、性質、表示方法、基本量運算、通項公式、前項和公式，引導學生畫思維導圖，構建完整的知識網絡，達到基本知識體系化、基本方法類型化、解題步驟規范化，并追求對知識的深度理解和靈活運用。教師應杜絕那種拋出結論后就匆忙應用的功利性教學方式，學生也要杜絕重記憶輕理解，不清楚邏輯內涵，以大量的題組訓練代替知識理解的學習方式。（二）抓住數學本質，滲透數學思想縱觀近三年的高考數列試題，鮮有技巧性很強或使用特殊技巧可以獲得優勢的試題，大多數試題考查的都是具有規律性和普遍意義的常規題型和常規方法。研究數列問題應該遵循從特殊到一般再到特殊的原則，通過歸納推理和演繹推理抓住數學本質，經歷從直觀感知到理性思維再到合理應用、實踐創新的思維過程，理解數學學習的整體性，將各類知識融會貫通。數學思想是數學內容的精髓，是解決數學問題的指導思想和普適性方法。在教學中教師應通過滲透數學思想幫助學生形成正確的思維方式，提高分析問題、解決問題的能力。如何滲透數學思想方法呢？事實上，概念的形成過程、性質的推導過程、解題的探索過程等都是滲透數學思想方法的好機會。比如可以通過強化數列定義中的函數觀點，等差數列的通項公式、前n項和公式與一次函數、二次函數的聯系，等比數列的通項公式、前n項和與指數型函數的聯系，利用函數單調性知識解決數列單調性問題等素材滲透函數思想。此外章末復習小結也是揭示知識間內在聯系、歸納提煉數學思想方法的有效途徑。在數列教學中，教師不僅要幫助學生領悟數學知識與解題過程中隱藏的數學思想方法，還要引導學生學會自己提煉數學思想方法。（三）發展高階思維，強化關鍵能力《課程標準》明確要