浙江省臺州市山海協作體20232024學年高二下學期4月期中考試數學試題考生須知:1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.（）．A.15 B.30 C.45 D.60【答案】C【解析】【分析】由排列數公式，組合數公式及性質計算即可．【詳解】，故選：C．2.若隨機變量，且，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據二項分布的期望、方差計算可得答案.【詳解】因為，，所以，解得.故選：A.3.5個人分4張足球票（有位置區別），每人至多分1張，而且票必須分完，則不同分法的種數為（）A5 B.10 C.60 D.120【答案】D【解析】【詳解】結合題意可得不同的分法有種，最后計算排列數計算即可．【分析】因為5個人分4張足球票（有位置區別），每人至多分1張，而且票必須分完，所以只有一人沒有分到票，其余4人分到1人1張票，所以共有種不同的分法．故選：D.4.已知函數，其導函數圖象如圖所示，則（

）A.有2個極值點 B.在處取得極小值C.有極大值，沒有極小值 D.在上單調遞減【答案】C【解析】【分析】通過導函數圖象分析函數單調性即可得出結論.【詳解】由題意及圖得，當時，；當時，；所以在上單調遞增，在上單調遞減，則有一個極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確，故選：C.5.求形如的函數的導數，我們常采用以下做法：先兩邊同取自然對數得：，再兩邊同時求導得，于是得到：，運用此方法求得函數的一個單調遞增區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數的導數，再解不等式，即可得答案；【詳解】由題意知：，令，得，，∴原函數的單調增區間為，故選：C.【點睛】本題考查導數新定義題，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意新定義的應用.6.在的展開式中，項的系數為（）A. B. C.30 D.50【答案】B【解析】【分析】根據多項式展開式確定含的項組成情況，再根據乘法計數原理與加法計數原理求結果.【詳解】表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式都選，其余的3個因式都選1，相乘可得含的項；或者有3個因式選，有1個因式選，1個因式選1，相乘可得含的項，故項的系數為.故選:B．7.設，隨機變量的分布01則當在內增大時，（）A.增大，增大 B.增大，減小C.減小，增大 D.減小，減小【答案】D【解析】【分析】求得之間的關系，再求出討論其單調性即可判斷.【詳解】因為分布列中概率之和為1，可得，∴，∴當增大時，減小，又由，可知當在內增大時，減小.故選：D.8.已知，則的大小關系是為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據數值的特點，構造函數，利用函數的單調性，比較函數值的大小.【詳解】,設，，得當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且，所以，即，即，故，，，設，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且，所以，即，則，即，設，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且，所以，即，則，即，綜上可知，.故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）9.市物價部門對5家商場的某商品一天的線上銷售量及其價格進行調查，5家商場的售價（元）和銷售量（件）之間的一組數據如表所示：價格99.51010511銷售量1110865按公式計算，與的回歸直線方程是：，相關系數，則下列說法正確的是（）A. B.變量線性正相關C.相應于點的殘差約為 D.當時，的估計值為14.4【答案】AD【解析】【分析】對選項A由樣本中心在回歸方程上求參數；對選項B由相關系數的意義及回歸方程的斜率符號判斷；對選項C利用殘差的定義求殘差；對選項D將8代入回歸方程求估計值.【詳解】由表格知：，所以，可得，A正確；由相關系數且回歸方程斜率為負，則變量線性負相關且相關性較強，B錯誤；由，故殘差為，C錯誤；由，D正確；故選：AD.10.某車間加工同一型號零件，第一、二臺車床加工的零件分別占總數的，各自產品中的次品率分別為.記“任取一個零件為第臺車床加工”為事件，“任取一個零件是次品”為事件，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據全概率公式判斷A，根據條件概率公式求B，根據貝葉斯公式判斷C，根據題意判斷D.【詳解】A.由題意可知，，故A正確；B.，故B正確；C.，故C錯誤；D.由題意可知，，故D正確.故選：ABD11.已知函數，，則下列說法正確的是（）A.在上是增函數B.若函數有兩個零點，，則C.若在定義域內存在單調遞增區間，則實數D.若，且，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項中，令，利用導數可求得單調性，根據復合函數單調性的即可判斷；B選項中，利用導數可求得的單調性，由此確定，若，可等價轉化為，令，利用導數可求得單調性，從而得到，可判斷結論；C選項中，問題等價于，在有解，利用一次函數二次函數的性質求解；D選項中，采用同構法將已知等式化為，從而可確定，結合單調性得到，由此化簡得到，令，利用導數可求得最大值判斷結論.【詳解】對于A，當時，，令，則，，由，當時，恒成立，在上單調遞增；又在上單調遞增，根據復合函數單調性可知，在上是增函數，A正確；對于B，，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；，則；不妨設，則必有，若，則，等價于，又，則等價于；令，則，，由，，，即，在上單調遞增，，即，所以，可知不成立，B錯誤；對于C，，函數定義域為，，若在定義域內存在單調遞增區間，則有解，即，在有解，時，結合一次函數和二次函數的性質可知，在一定有解；時，有，解得，此時，對應的二次方程有兩個不等的正根，符合題意，所以在定義域內存在單調遞增區間，實數，C正確；對于D，由，且，得，即，由B選項知，在上單調遞減，在上單調遞增；，則，所以，，則有，即，可得；令，則，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且，則__________．【答案】##【解析】【分析】由正態分布的對稱性得出概率.【詳解】.故答案為：13.已知函數，則的值為_____________.【答案】【解析】【分析】求導，令，解得.【詳解】，故，即，解得.故答案為：14.如圖，這是整齊的正方形道路網，其中小明、小華，小齊分別在道路網臂的，，的三個交匯處，小明和小華分別隨機地選擇一條沿道路網的最短路徑，以相同的速度同時出發，去往地和地，小齊保持原地不動，則小明、小華、小齊三人能相遇的概率為__.【答案】##0.2025【解析】【分析】利用組合計數問題求出小明和小華各自到達目的地的試驗含有的基本事件種數，再求出小明、小華、小齊三人能相遇的事件含有的基本事件數即得解.【詳解】小明從A到B的不同路徑共有種，小華從B到A的不同路徑共有種，因此小明和小華各自到達目的地的試驗有個基本事件，小明經過到達目的地的不同路徑有，小華經過到達目的地的不同路徑有，因此小明、小華、小齊三人能相遇的事件有個基本事件，所以小明、小華、小齊三人能相遇的概率為.故答案為：非選擇題部分四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答題應寫出文字說明、證明過程和演算步驟）15.一個口袋中有大小相同的5個白球和4個紅球，每個球編有不同的號碼.（1）若一次取2個球，至少有一個紅球的取法有多少種;（2）若一次取出顏色不全相同的3個球，有多少種取法.【答案】（1）26（2）70【解析】【分析】（1）根據題意，得到兩種可能:“兩個都是紅球”或“一個白球一個紅球”，結合組合數的計算公式，即可求解；（2）根據題意，得到兩種可能:“兩個白球一個紅球”或“一個白球兩個紅球”，結合組合數的計算公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，若一次取2個球，至少有一個紅球有兩種可能：“兩個都是紅球”或“一個白球一個紅球”，故不同的取法有種.【小問2詳解】解：若一次取3個球，取出顏色不全相同有兩種可能：“兩個白球一個紅球”或“一個白球兩個紅球”，故不同的取法有種.16.已知的展開式（1）求展開式中所有項的系數和;（2）求展開式中二項式系數最大的項;（3）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.【答案】（1）2187（2）（3）【解析】【分析】（1）賦值法求出系數和；（2）二項式系數最大的項求解即可；（3）先求出有理項的個數，再應用古典概型與插空法即可得解.【小問1詳解】令可得展開式中所有項的系數和.【小問2詳解】二項式系數最大的項為第4項或第5項二項式系數最大的項為【小問3詳解】展開式共有8項，展開式的通項公式為當為整數，即時為有理項，共4項，由插空法得有理項不相鄰的概率為.17.已知函數.（1）求的單調區間；（2）若有三個零點，求的取值范圍.【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）.【解析】【分析】（1）求出函數的定義域與導函數，再解關于導函數的不等式，即可求出函數的單調區間；（2）依題意只需滿足，解得即可.【小問1詳解】函數的定義域為，且令，解得或，則函數在上單調遞增；令，解得，則函數在上單調遞減，所以函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】由（1）知函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，則，，且當時，，當時，，要使得函數有三個零點，則需滿足，解得，綜上可得，實數的取值范圍.18.某觀影平臺為了解觀眾對最近上映的某部影片的評價情況（評價結果僅有“好評”、“差評”），從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取216人進行調查，部分數據如下表所示（單位:人）:好評差評合計男性4068108女性6048108合計100116216（1）判斷是否有的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”?（2）若將頻率視為概率，從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取3人，用隨機變量表示被抽到的男性觀眾的人數，求的分布列;（3）在抽出的216人中，從給出“好評”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“差評”的觀眾中抽取人.現從這人中，隨機抽出2人，用隨機變量表示被抽到的給出“好評”的女性觀眾的人數.若隨機變量的數學期望不小于1，求的最大值.參考公式:，其中.參考數據:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有（2）答案見解析（3）2【解析】【分析】（1）根據列聯表，求出，再根據參考數據可判斷；（2）先求出隨機抽取1人為男性的概率，由題意，由二項分布可得答案；（3）Y的可能取值為0，1，2，求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案.【小問1詳解】，所以有的把握認為“觀影評價與性別有關”.【小問2詳解】從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取1人為男性的概率為，且各次抽取之間相互獨立，所以，所以，，故的分布列為0123【小問3詳解】從給出“好評”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，則男性4人，女性6人.則的可能取值為0，1，2，所以.所以，即即，解得，又，所以的最大值為2.【點睛】關鍵點點睛：本題第2小問的解決關鍵是，將問題轉化為二項分布問題，即根據條件得出，從而得解.19.已知函數在處的切線和直線垂直.（1）求實數的值；（2）若對任意的，，都有成立（其中為自然對數的底數），求實數m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得，得到，根據題意得到，即可求解；（2）不妨設，根據題意轉化為，設，轉化為在單調遞增，即在上恒成立，設，利用導數求得函數的單調性和最小值，即可求解.【小問1詳解】解：由函數，可得，可得因為函數在處切線l和直線垂直，所以，即，解得.【小問2詳解】解：不妨設，則，因為對任意的，，都有成立，可得，即，設，則，故在單調遞增，從而有，即在上恒成立，設，則，因