第4章指數函數與對數函數本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．下列各式正確的是A． B．C． D．【試題來源】四川省成都市雙流中學2020-2021學年高一上學期期中【答案】C【解析】對于A，，故A不正確；對于B，，當時無意義，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D不正確．故選C．2．已知函數，若，則A． B．C． D．【試題來源】山西省長治市第二中學2022屆高三上學期第三次練考【答案】D【解析】因為，所以，，則，因為，所以．故選D．3．函數的大致圖象是A． B．C． D．【試題來源】寧夏唐徠回民中學2021-2022學年高一上學期期中考試【答案】C【解析】由題意，因為，所以只有C符合．故選C．4．已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊突圍者第三章全章綜合檢測【答案】A【解析】因為在上單調遞增，所以當時，，若函數的值域為R，則，解得．故選A．5．函數，則函數的大致圖象是A． B．C． D．【試題來源】山東省濟寧鄒城市2021-2022學年高三上學期期中考試【答案】C【解析】當，則，則，當，則，則，所以，所以時，遞減且值域為；時，遞增且值域為；只有C符合要求．故選C6．已知定義在上的函數（為實數）為偶函數，記，，，則，，的大小關系為A． B．C． D．【試題來源】山東師范大學附屬中學2021-2022學年高三上學期第二次月考【答案】C【解析】（為實數）為偶函數，在上是單調增函數，，，，且，，，故選C7．已知函數的定義域為，滿足對任意，恒有，若函數的零點個數為有限的個，則的最大值為A． B．C． D．【試題來源】上海市楊浦區控江中學2022屆高三上學期第一次月考（9月）【答案】B【解析】令，則有，故，所以，若，則開口向上，對稱軸為且，，所以在上有兩個零點，即函數的零點個數最多有2個．故選B8．以下四種說法中，正確的是A．冪函數增長的速度比一次函數增長的速度快B．對任意的，C．對任意的，D．一定存在，當，，時，總有【試題來源】湘教版（2019）必修第一冊突圍者第4章【答案】D【解析】A．如函數和，的圖象如圖所示：由圖象知錯誤；B．當時，的圖象如圖所示：由圖象知錯誤；C．當時，的圖象如圖所示：由圖象知錯誤；D．當時，的圖象如圖所示：由圖象知正確；故選D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，，則下列各式運算正確的是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊突圍者第三章全章綜合檢測【答案】ABD【解析】對于A選項，，故正確；對于B選項，，故正確；對于C選項，，故錯誤；對于D正確，，故正確．故選ABD10．已知定義域為的偶函數在上單調遞增，且，，則下列函數中不符合上述條件的是A． B．C． D．【試題來源】廣東省清遠市第一中學2021-2022學年高一上學期期中【答案】ABD【解析】對A，，故A不符合；對B，函數是定義在上的奇函數，故B不符合；對C，在上單調遞增且為偶函數，又，，故C符合；對D，冪函數在上單調遞減，故D不符合．故選ABD．11．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，用其名字命名的高斯函數為，表示不超過x的最大整數，例如：，．已知函數，，則下列敘述中正確的是A．是偶函數 B．是奇函數C．在R上是增函數 D．的值域是【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊突圍者第三章全章綜合檢測【答案】BCD【解析】因為，所以，所以f（x）是奇函數，A錯誤，B正確；因為函數，函數是增函數，所以在R上是增函數，C正確；因為，所以，所以，所以當時，，當時，，當時，，所以函數的值域為{-1，0}，D正確．綜上可知，B，C，D正確．故選BCD12．已知函數，，且，則下列結論錯誤的是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊突圍者第四章全章綜合檢測【答案】AD【解析】因為、、在其定義域內都是增函數，所以、在其定義域內都是增函數．因為，，且，所以，又，，且，所以，所以，即選項A錯誤；因為，函數、在其定義域內均為增函數，所以，所以，即選項B正確，選項D錯誤；令，，則，，由于，的圖象都和直線相交（如圖所示），且函數和函數的圖象關于直線對稱，直線和直線的交點為，所以，即，即選項C正確．故選AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數．若正數，滿足，則____________．【試題來源】北京市通州區2020-2021學年高一上學期期中【答案】4【解析】因為，且、，，所以．故答案為4．14．函數的零點的個數為____________．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊達標檢測第五章5．3函數的應用【答案】1【解析】根據題意，令，則，做出函數與的圖象，由圖可知與的圖象只有一個交點，即方程只有一個解，故函數的零點的個數為1．故答案為1．15．已知函數，，給出下列三個結論：①函數的圖象與的圖象關于直線軸對稱；②函數的圖象與的圖象關于直線對稱；③函數的值域與的定義域相同；④若滿足，滿足，則．其中正確結論的序號是____________．【試題來源】北京市通州區2020-2021學年高一上學期期中【答案】②③④【解析】因為函數與互為反函數，所以函數的圖象與的圖象關于直線對稱，且函數的值域與的定義域相同，所以①錯誤，②正確，③正確，因為滿足，滿足，所以為函數與圖象的交點的橫坐標，為函數與圖象的交點的橫坐標，因為函數的圖象與的圖象關于直線對稱，所以，即，所以④正確，所以正確結論的序號是②③④，故答案為②③④．16．已知函數，若對于恒成立，則實數a的取值范圍是____________．【試題來源】黑龍江省龍東地區四校2021-2022學年高三上學期聯考【答案】【解析】因為，，所以不等式可化為，又對于恒成立，所以對于恒成立，所以，又，當且僅當時等號成立，所以，所以實數a的取值范圍是．故答案為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），（2），（3），（4）【解析】（1）因為，所以；（2）因為，所以，所以，因為且，所以；（3）因為，所以，所以；（4）因為，所以，即，所以，所以18．（12分）已知x、y、z為非零實數，且．求證：．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊達標檢測期末測試【答案】證明見解析【解析】設，則，，，即，，．所以，得證．19．（12分）已知全集，集合，．（1）求p和q的值；（2）求的值．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊達標檢測第三章3．1冪與指數【答案】（1），，（2）【解析】（1）由全集及，得，所以，．（2）．20．（12分）已知函數．（1）用定義證明在區間上單調遞減；（2）求函數在區間上的最大值；（3）若，求的取值范圍．【試題來源】北京市大興區2021-2022學年高一上學期期中考試【答案】（1）證明見解析，（2），（3）【解析】（1）因為，設任意的，且，則，因為，且，所以，，所以，所以在上單調遞減；（2）由（1）可知在上單調遞減，所以（3）因為、，且在上單調遞減，所以等價于，即，所以，所以，所以，即21．（12分）已知函數的表達式為．（1）若，，求的值域．（2）當時，求的最小值．（3）對于（2）中的函數，是否存在實數m、n，同時滿足：①；②當的定義域為[m，n]時，其值域為？若存在，求出m、n的值；若不存在，請說明理由．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊達標檢測期末測試【答案】（1），（2）（3）不存在滿足條件的實數m、n，理由見解析【解析】（1）當時，由，得，因為，所以，．（2）令，因為，故，函數f（x）可轉化為，①當時，；②當時，；③當時，．綜上所述，．（3）因為，，在R上是嚴格減函數，所以在上的值域為，又在上的值域為，所以，即，兩式相減，得，因為，所以，而由，可得，與矛盾．所以，不存在滿足條件的實數m、n．22．（12分）設為奇函數，為常數．（1）求的值；（2）證明：在內單調遞增；（3）若對于上的每一個的值，