2025屆河南省八市·學評高二數學第一學期期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面直角坐標系內一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構成圖形的面積為（）A. B.C. D.2．已知拋物線的焦點為F，，點是拋物線上的動點，則當的值最小時，=（）A.1 B.2C. D.43．把點隨機投入長為，寬為的矩形內，則點與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線，過其右焦點作漸近線的垂線，垂足為，延長交另一條漸近線于點A.已知為原點，且，則（）A. B.C. D.5．若命題“，”是假命題，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知一個乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的倍，則當它第8次著地時，經過的總路程是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.8．某地為響應總書記關于生態文明建設的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關數據.如圖所示，測得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線距離約為（參考數據）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米9．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面10．用這3個數組成沒有重復數字的三位數，則事件“這個三位數是偶數”與事件“這個三位數大于342”（）A.是互斥但不對立事件 B.不是互斥事件C.是對立事件 D.是不可能事件11．若展開式的二項式系數之和為，則展開式的常數項為（）A. B.C. D.12．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體的棱長為6，E為棱的中點，F為棱上的點，且，則___________.14．設公差的等差數列的前項和為，已知，且，，成等比數列，則的最小值為______15．雙曲線的離心率為____16．若雙曲線的漸近線為，則其離心率的值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某電腦公司為調查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機抽取200名用戶，根據不同年齡段（單位：歲）統計如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據上表，試估計樣本的中位數、平均數（同一組數據以該組區間的中點值為代表，結果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內的用戶中進行分層抽樣，抽取6人，再從中隨機選取2人贈送小禮品，求恰有1人在內的概率18．（12分）已知圓經過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的方程;（2）過原點的直線與圓交于M，N兩點，若的面積為，求直線的方程.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為8（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，，是橢圓C的短軸端點，P是橢圓C上異于點，的動點，點Q滿足，，求證與的面積之比為定值20．（12分）已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.（1）求圓M的方程；（2）設P是直線上的動點，證明：以MP為直徑的圓必過定點，并求所有定點的坐標.21．（12分）在①，；②，，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解決問題問題：設等差數列的前項和為，________________，若，判斷是否存在最大值，若存在，求出取最大值時的值；若不存在，說明理由注：如果選擇多個條件分別解答．按第一個解答記分22．（10分）已知函數在處有極值，且其圖象經過點.（1）求的解析式；（2）求在的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先找臨界情況當PQ與圓C相切時，，進而可得滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內部），即求.【詳解】當PQ與圓C相切時，，這種情況為臨界情況，當P往外時無法找到點Q使，當P往里時，可以找到Q使，故滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點P構成圖形的面積為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件，進而即可得到動點滿足條件的圖形，問題即可解決.2、B【解析】根據拋物線定義，轉化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點坐標，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準線方程為，，過P作垂直于準線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設所在的直線方程為：，聯立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關鍵點睛：本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是要將取最小值轉化為直線斜率最大，再轉化為拋物線的切線，考查學生的轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題.3、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點構成的區域，由幾何概型面積型的公式計算可得結果.【詳解】若點與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區域內，所求概率.故選：A.4、C【解析】畫出圖象，結合漸近線方程得到，，進而得到，結合漸近線的斜率及角度關系，列出方程，求出，從而求出.【詳解】漸近線為，如圖，過點F作FB垂直于點B，交于點A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C5、A【解析】根據命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實數的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時，不等式為，顯然成立；時，應滿足，解得，所以實數的取值范圍是故選：A6、C【解析】根據等比數列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經過的路程為，第2次著地到第3次著地經過的路程為，組成以為首項，公比為的等比數列，所以第1次著地到第8次著地經過的路程為，所以經過的總路程是.故答案為：C.7、B【解析】求出，可知為等腰三角形，取的中點，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結果.【詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點，因為，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.8、C【解析】應用正弦定理有，結合已知條件即可求A，B間的直線距離.【詳解】由題設，，在△中，，即，所以米.故選：C9、D【解析】利用反證法可判斷A選項；利用面面垂直的性質可判斷BC選項；利用面面垂直的判定可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，平面，若平面，因為，則平面平面，事實上，平面與平面相交，假設不成立，A錯；對于B選項，過點在平面內作，垂足為點，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯；對于C選項，過點在平面內作，垂足為點，因為平面，平面，則，，，則平面，若平面平面，過點在平面內作，垂足為點，因為平面平面，平面平面，平面，平面，而過點作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯；對于D選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，，，平面，因為平面，因此，平面平面平面，D對.故選：D.10、B【解析】根據題意列舉出所有可能性，進而根據各類事件的定義求得答案.【詳解】由題意，將2,3,4組成一個沒有重復數字的三位數的情況有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶數有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以兩個事件不是互斥事件，也不是對立事件.故選：B.11、C【解析】利用二項式系數的性質求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數項為.故選：C.12、D【解析】根據拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的數量積運算求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，所以，故答案為：1814、##0.4【解析】應用等比中項的性質及等差數列通項公式求公差d，進而寫出等差數列的通項公式、前n項和公式，再求目標式的最小值.【詳解】由題設，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當時目標式有最小值為.故答案為：15、【解析】由題意得：考點：雙曲線離心率16、【解析】利用漸近線斜率為和雙曲線的關系可構造關于的齊次方程，進而求得結果.【詳解】由漸近線方程可知：，即，，，（負值舍掉）.故答案為：.【點睛】本題考查根據雙曲線漸近線方程求解離心率的問題，關鍵是利用漸進線的斜率構造關于的齊次方程.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）中位數為38.6，平均數為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數分數據兩邊的頻率相等，列方程求中位數；根據各組數據的中點數乘以頻率即可得平均數；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數，即可求概率.【詳解】（1）中位數在中，設為，則，解得.平均數為歲.所以樣本的中位數約為38.6，平均數為38.5歲.（2）根據分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內的概率為.【點睛】關鍵點點睛：由中位數的性質以及平均數與各組數據中點值、頻率的關系求中位數、平均數；根據分層抽樣確定各組選取人數，利用列舉法求概率.18、（1）（2）直線的方程為或或【解析】（1）由弦的中垂線與直線的交點為圓心即可求解；（2）由，可得或，進而有或，顯然直線斜率存在，設直線，由點到直線的距離公式求出的值即可得答案.【小問1詳解】解：設弦的中點為，則有，因為，所以直線，所以直線的中垂線為，則圓心在直線上，且在直線上，聯立方程解得圓心，則圓的半徑為，所以圓方程為；【小問2詳解】解：設圓心到直線的距離為，因為，所以或，所以或，顯然直線斜率存在，所以設直線，則或，解得或或，故直線的方程為或或.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據周長為8，求得a，再根據離心率求解；（2）方法一：設，，得到直線和直線的方程，聯立求得Q的橫坐標，根據在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標求解；方法二：設直線，的斜率分別為k，，點，，直線的方程為，與橢圓方程聯立，求得點P橫坐標，再由的直線方程聯立，得到P，Q的橫坐標的關系求解.【小問1詳解】解：∵的周長為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標準方程為【小問2詳解】方法一：設，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯立上面兩直線方程，消去y，得，∵在橢圓上，∴，即，∴，∴所以與的面積之比為定值4方法二：設直線，的斜率分別為k，，點，，則直線的方程為，∵，∴直線的方程為，將代入，得，∵P是橢圓上異于點，的點，∴，又∵，即，∴，即，由，得直線的方程為，聯立得，∴所以與的面積之比為定值420、（1）；（2）證明見解析，定點和.【解析】(1)根據給定條件設出圓心坐標，再結合點到直線距離公式計算作答.(2)設點，求出圓的方程，結合方程求出其定點.【小問1詳解】因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.【小問2詳解】由(1)知：，設點，，設動圓上任意一點當與點P，M都不重合時，，有，當與點P，M之一重合時，對應為零向量，也成立，，，，化簡得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過定點和.【點睛】方法點睛：待定系數法求圓的方程，由題設條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數，所以應該有三個獨立等式21、答案不唯一，具體見解析【解析】選①：易得，法一：令求n，即可為何值時取最大值；法二：寫出，利用等差數列前n項和的函數性質判斷為何值時有最大值；選②：由數列前n項和及等差數列下標和的性質易得、即可確定有最大值時值；選③：由等差數列前n項和公式易得、即可確定有最大值時值；【詳解】選①：設數列的公差為，，，解得，即，法一：當時，有，得，∴當時，；，；時，，∴或時，取最大值法二：，對稱軸，∴或時