2025屆江蘇省陸慕高級中學數學高三第一學期期末教學質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．2．若的展開式中的常數項為-12，則實數的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．33．現有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A． B． C． D．4．設、，數列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實數，使得恒成立B．對于任意，都存在實數，使得恒成立C．對于任意，都存在實數，使得恒成立D．對于任意，都存在實數，使得恒成立5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點，坐標原點為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．7．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．1 C．或1 D．或98．設等差數列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．299．某市氣象部門根據2018年各月的每天最高氣溫平均數據,繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢10．設集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．復數滿足，則（）A． B． C． D．12．已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則抽取學生的人數為_____．14．給出下列等式：，，，…請從中歸納出第個等式：______.15．等差數列（公差不為0），其中，，成等比數列，則這個等比數列的公比為_____.16．一個袋中裝著標有數字1，2，3，4，5的小球各2個，從中任意摸取3個小球，每個小球被取出的可能性相等，則取出的3個小球中數字最大的為4的概率是__．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）若曲線在點處的切線方程為，求，；（2）當時，，求實數的取值范圍.18．（12分）如圖，正方形是某城市的一個區域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等，處為紅綠燈路口，紅綠燈統一設置如下：先直行綠燈30秒，再左轉綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉不受紅綠燈影響，這樣獨立的循環運行.小明上學需沿街道從處騎行到處（不考慮處的紅綠燈），出發時的兩條路線（）等可能選擇，且總是走最近路線.（1）請問小明上學的路線有多少種不同可能？（2）在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下，小明優先直行，求小明騎行途中恰好經過處，且全程不等紅綠燈的概率；（3）請你根據每條可能的路線中等紅綠燈的次數的均值，為小明設計一條最佳的上學路線，且應盡量避開哪條路線？19．（12分）已知函數.（1）討論的零點個數；（2）證明：當時，.20．（12分）已知函數（1）當時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.21．（12分）某職稱晉級評定機構對參加某次專業技術考試的100人的成績進行了統計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗．晉級成功晉級失敗合計男16女50合計（1）求圖中的值；（2）根據已知條件完成下面列聯表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關？（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數為，求的分布列與數學期望．（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02422．（10分）等差數列的前項和為，已知，.（Ⅰ）求數列的通項公式及前項和為；（Ⅱ）設為數列的前項的和，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先求出集合N的補集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由，，可得或，又所以.故選：D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補集的運算，屬于基礎題.2、C【解析】

先研究的展開式的通項，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為，所以的展開式中的常數項為：，解得，故選：C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.3、B【解析】

求得基本事件的總數為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數和所求事件所包含的基本事件的個數，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.4、D【解析】

取，可排除AB；由蛛網圖可得數列的單調情況，進而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數列恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；由蛛網圖可知，存在兩個不動點，且，，因為當時，數列單調遞增，則；當時，數列單調遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點睛】本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．5、B【解析】

由題可知，，再結合雙曲線第一定義，可得，對有，即，解得，再對，由勾股定理可得，化簡即可求解【詳解】如圖，因為，所以.因為所以.在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質的應用，屬于中檔題6、A【解析】

過作與準線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應最大，此時與拋物線相切，再用判別式或導數計算即可.【詳解】過作與準線垂直，垂足為，，則當取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，涉及到拋物線的定義，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.7、C【解析】

由題意利用兩個向量的數量積的定義和公式，求的值.【詳解】解：由題意可得，求得，或，故選：C.【點睛】本題主要考查兩個向量的數量積的定義和公式，屬于基礎題．8、D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數列，又，公差為，，故選：D【點睛】考查等差數列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.9、D【解析】

根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.10、C【解析】

由得出，利用集合的包含關系可得出實數的取值范圍.【詳解】，且，，.因此，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用集合的包含關系求參數，考查計算能力，屬于基礎題.11、C【解析】

利用復數模與除法運算即可得到結果.【詳解】解:，故選：C【點睛】本題考查復數除法運算，考查復數的模，考查計算能力，屬于基礎題.12、D【解析】

如圖所示建立直角坐標系，設，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則.當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

直接根據分層抽樣的比例關系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為，∴抽取學生的人數為6001．故答案為：1．【點睛】本題考查了分層抽樣的計算，屬于簡單題.14、【解析】

通過已知的三個等式，找出規律，歸納出第個等式即可．【詳解】解：因為：，，，等式的右邊系數是2，且角是等比數列，公比為，則角滿足：第個等式中的角，所以；故答案為：．【點睛】本題主要考查歸納推理，注意已知表達式的特征是解題的關鍵，屬于中檔題．15、4【解析】

根據等差數列關系，用首項和公差表示出，解出首項和公差的關系，即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，由題意得:，則整理得，，所以故答案為：4【點睛】此題考查等差數列基本量的計算，涉及等比中項，考查基本計算能力.16、【解析】

由題，得滿足題目要求的情況有，①有一個數字4，另外兩個數字從1，2，3里面選和②有兩個數字4，另外一個數字從1，2，3里面選，由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類：①有一個數字4，另外兩個數字從1，2，3里面選，一共有種情況；②有兩個數字4，另外一個數字從1，2，3里面選，一共有種情況，又從中任意摸取3個小球，有種情況，所以取出的3個小球中數字最大的為4的概率.故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題，考查學生分析問題和解決問題的能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)對函數求導，運用可求得的值，再由在直線上，可求得的值；(2)由已知可得恒成立，構造函數，對函數求導，討論和0的大小關系，結合單調性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】（1）由題得，因為在點與相切所以，∴（2）由得，令，只需，設（），當時，，在時為增函數，所以，舍；當時，開口向上，對稱軸為，，所以在時為增函數，所以，舍；當時，二次函數開口向下，且，所以在時有一個零點，在時，在時，①當即時，在小于零，所以在時為減函數，所以，符合題意；②當即時，在大于零，所以在時為增函數，所以，舍.綜上所述：實數的取值范圍為【點睛】本題考查函數的導數，利用導數求函數的單調區間及函數的最小值，屬于中檔題．處理函數單調性問題時，注意利用導函數的正負，特別是已知單調性問題，轉化為函數導數恒不小于零，或恒小于零，再分離參數求解，求函數最值時分析好單調性再求極值，從而求出函數最值．18、（1）6種；（2）；（3）.【解析】

（1）從4條街中選擇2條橫街即可；（2）小明途中恰好經過處，共有4條路線，即，，，，分別對4條路線進行分析計算概率；（3）分別對小明上學的6條路線進行分析求均值，均值越大的應避免.【詳解】（1）路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街，即從4條街中選擇2條橫街即可,所以路線總數為條.（2）小明途中恰好經過處，共有4條路線：①當走時，全程不等紅綠燈的概率；②當走時，全程不等紅綠燈的概率；③當走時，全程不等紅綠燈的概率；④當走時，全程不等紅綠燈的概率.所以途中恰好經過處,且全程不等信號燈的概率.（3）設以下第條的路線等信號燈的次數為變量，則①第一條：，則；②第二條：，則；③另外四條路線：；；，則綜上，小明上學的最佳路線為；應盡量避開.【點睛】本題考查概率在實際生活中的綜合應用問題，考查學生邏輯推理與運算能力，是一道有一定難度的題.19、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）求出，分別以當，，時，結合函數的單調性和最值判斷零點的個數.（2）令，結合導數求出；同理可求出滿足，從而可得，進而證明.【詳解】解析：（1），，當時，，單調遞減，，，此時有1個零點；當時，無零點；當時，由得，由得，∴在單調遞減，在單調遞增，∴在處取得最小值，若，則，此時沒有零點；若，則，此時有1個零點；若，則，，求導易得，此時在，上各有1個零點.綜上可得時，沒有零點，或時，有1個零點，時，有2個零點.（2）令，則，當時，；當時，，∴.令，則，當時，，當時，，∴，∴，，∴，即.【點睛】本題考查了導數判斷函數零點問題，考查了運用導數證明不等式問題，考查了分類的數學思想.本題的難點在于第二問不等式的證明中，合理設出函數，通過比較最值證明.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據，求導，令，用導數法求其最小值.設研究在處左正右負，求導，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因為，所以，令，則，所以是的增函數，故，即.因為所以，①當時，，所以函數在上單調遞增.若，則若，則所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當時，所以函數在上單調遞減.若，則若，則所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當時，，使得，即，但當時，即所以函數在上單調遞減，所以，即函數)在上單調遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性和極值，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.21、(1)；(2)列聯表見