初中數學二次函數的性質解答題專題訓練含答案

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一、解答題(共17題)

1、在平面直角坐標系xOy中，點N(Xi,y1),B(―,九)在拋物線y=ax

2

+2ax(0<a<3)上，其中x<x2.

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)若1(-2,y；),6(0,曠2),直接寫出y>yZ的大小關系；

(3)若x/+x?=l-a,比較y7,y2的大小，并說明理由.

2、已知0為坐標原點，直線1：y=~5x+2與x軸、y軸分別交于4、。兩

點，點6(4,2)關于直線1的對稱點是點E,連接EC交.x軸于點D.

(1)求證：AD=CD；

(2)求經過B.C,D三點的拋物線的函數表達式；

5

(3)當x>0時，拋物線上是否存在點P,使S5=IS△跳？若存在，求點P的

坐標；若不存在，說明理由.

3、如圖，拋物線》=/+阮+。與x軸交于A、B兩點，且A-L0),對稱軸為直線x=2.

(1)求該拋物線的函數達式；

(2)直線/過點A且在第一象限與拋物線交于點C.當NC4B=45。時，求點。的坐標;

(3)點。在拋物線上與點。關于對稱軸對稱，點尸是拋物線上一動點，令尸Sa，力)，當

140求面積的最大值(可含。表示).

4、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=*+樂+。交x軸于點A和“，0i,交了軸于

點現°，3),拋物線的對稱軸交x軸于點E,交拋物線于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段OE繞著點。沿順時針方向旋轉得到線段OE',旋轉角為連

g百1+2.幺后1

接AE',B?，求3的最小值.

(3)河為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A,B,M,

"為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點"的橫坐標；若不存在，請說明理由；

5、如圖，拋物線產d-2x+c(”0)與x軸交于4、8(3,0)兩點，與了軸交于點

。(0,—3),拋物線的頂點為D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點刀在拋物線的對稱軸上，點0在x軸上，若以點p、Q、B、C為頂點，BC

為邊的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點P、Q的坐標；

(3)已知點〃是x軸上的動點，過點"作x的垂線交拋物線于點G,是否存在這樣的

點〃，使得以點力、M、G為頂點的三角形與△形?相似，若存在，請求出點〃的坐

標；若不存在，請說明理由.

6、某產品每件成本為25元，經過市場調研發現，這種產品在未來20天內的日銷售量m

(單位：件)是關于時間t(單位：天)的一次函數，調研所獲的部分數據如表：

時間t/

231020

天

日銷售量

96948060

//件

這20天中，該產品每天的價格y(單位：元/件)與時間t的函數關系式為：y=4t

+30(t為整數)，根據以上提供的條件解決下列問題：

(1)求出/關于力的函數關系式；

(2)這20天中哪一天的日銷售利潤最大，最大的銷售利潤是多少？

(3)在實際銷售的20天中，每銷售一件商品就捐贈a元(aV6)給希望工程，通

過銷售記錄發現，這20天中，每天扣除捐贈后的H銷利潤隨時間t的增大而增大，求a的

取值范圍.

7、如圖，在平面直角坐標系中，0為坐標原點，拋物線y=ax2+2ax+5(a<

0)從左到右依次交x于點A,B,交y軸于點C,且N6=8

(1)求a的值

(2)點。在第二象限的拋物線上，其橫坐標為t,連接BD，交y軸于點E,設線段

CE的長為d,求d與t之間的函數關系式

y

8、某板栗經銷商在銷售板栗時，經市場調查：板栗若售價為10元/千克，日銷售量為34

千克，若售價每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克，現設板栗售價為x元/千克

（x210且為正整數）.

（1）若某日銷售量為24千克，直接寫出該日板栗的單價；

（2）若政府將銷售價格定為不超過15元/千克，設每日銷售額為獷元，求獷關于x的

函數表達式，并求w的最大值和最小值.

（3）若政府每日給板栗經銷商補貼a元后（a為正整數）發現只有4種不同的單價使

日收入不少于395元且不超過400元，請直接寫出a的值，（日收入=銷售額+政府補貼）

9、函數》=x'&x+c的圖像與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,OB=OC.點、

。在函數圖像上，CD/x軸，且切=2,直線/是拋物線的對稱軸，￡是拋物線的頂

點.

（1）求力，c的值；

（2）如圖①，連接BE,線段OC上的點F關于直線1的對稱點尸’恰好在線段BE

上，求點F的坐標；

（3）如圖②，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M,與

拋物線交于點N.試問：拋物線上是否存在點Q,使得VPQN與的面積相等，且線

段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由.

圖①圖②

10、拋物線》="/+"+3過點山-1，°),點現3，°),頂點為C.

(1)求拋物線的表達式及點。的坐標；

(2)如圖1,點P在拋物線上，連接。尸并延長交x軸于點D,連接AC,若△ZMC是

以為底的等腰三角形，求點F的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點E是線段/C上(與點A,C不重合)的動點，

連接尸瓦作4FEF=4CAB,邊防交x軸于點F,設點F的橫坐標為物，求取的取值

范圍.

y=/_2(后一1)x+上2-—k

11、在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線2(k為常數).

(1)若拋物線經過點(l,k2),求k的值；

(2)若拋物線經過點(2k,yQ和點(2,y2),且y?〉y2,求k的取值范圍;

(3)若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當l<x<2時，新拋物線對應的函

_3

數有最小值求k的值.

273

12、如圖，在直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線的頂點為(2,-亍)，拋物線

與軸的一個交點為4(4,0),點8(2,2g),點。與點B關于y軸對稱.

(1)判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由；

(2)順次連接AB,BC,CO,判斷四邊形A8C。的形狀并證明；

(3)設點夕是拋物線上的動點，連接力、PC、AC,△PAC的面積S隨點夕的

運動而變化；請探究S的大小變化并填寫表格①?④處的內容；在當S的值為②時，

求點P的橫坐標的值.

直線工c的函數滿足條件的尸點

S取的一個特殊值S的可能取值范圍

表達式的個數

64個③

①②3個

102個④

y=—x

13、如圖，點AB在函數4的圖像上.已知的橫坐標分別為—2、4,直線上

與'軸交于點3連接OAQB.

(1)求直線的函數表達式;

(2)求以。8的面積;

y=-X

(3)若函數4的圖像上存在點P,使得的面積等于加1。8的面積的一半，則

這樣的點「共有個.

14、已知二次函數y=^2+bx+c(aWO)的圖象與x軸交于A,8(1,0)

兩點，與y軸交于點C(0,-3).

(1)求二次函數的表達式及點A的坐標；

(2)點。是二次函數圖象上位于第三象限內的點，求點D到直線AC的距離取得最大值

時點D的坐標；

(3)點〃是二次函數圖象對稱軸上的點，在二次函數圖象上是否存在點N.使以M,N,

B,0為頂點的四邊形是平行四邊形？若有，請寫出點N的坐標(不寫求解過程).

15、如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A

(-3,0)和點8(5,0),頂點為點。，動點〃、0在x軸上(點M在點Q

的左側)，在x軸下方作矩形MNPQ，其中第=3,MN=2.矩形MNPQ沿x軸以

每秒1個單位長度的速度向右勻速運動，運動開始時，點M的坐標為(-6,0),當

點〃與點8重合時停止運動，設運動的時間為t秒(t>0).

(1)b=,c=.

(2)連接劭，求直線BD的函數表達式.

(3)在矩形腕密運動的過程中，脈所在直線與該二次函數的圖象交于點G,收所

在直線與直線劭交于點H,是否存在某一時刻，使得以G、M、H、0為頂點的四邊

形是面積小于10的平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

(4)連接PD,過點夕作物的垂線交y軸于點R,直接寫出在矩形MNPQ整個運動

過程中點兄運動的路徑長.

16、如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aWO)的圖象經過A(1,0),8(3,

0),6,(0,6)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)拋物線的頂點〃與對稱軸1上的點N關于x軸對稱，直線交拋物線于點D,

直線BE交AD于點E,若直線BE將△ABD的面積分為1:2兩部分，求點E的坐

標.

(3)P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點尸，使4、

D,P.Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明

理由.

17、已知二次函數y=-^+bx+cc和一次函數>=的圖象都經過點A(-3,0),

且二次函數》=-〃+雙+。的圖象經過點8(0,3),一次函數>=爾+'的圖象經過點

C(0,-1).

(1)分別求力、〃和6、C的值;

(2)點尸是二次函數》=-幺+反+。的圖象上一動點，且點夕在x軸上方，寫出△力6P

的面積S關于點P的橫坐標x的函數表達式，并求S的最大值.

============參考答案============

一、解答題

1、(1)x=-1；(2)乂=乃；(3)乂〈乃.

【解析】

【分析】

2a

(1)根據對稱軸與系數的關系可以直接求得對稱軸為：X=一五=-1;

(2)利用對稱軸到點的距離進行判定y值即可；

(3)利用作差法，將乃表示出來，再進行判斷正負，據此判斷大小即可.

【詳解】

2a

解：(1)由題意得：對稱軸x=2a=-l；

(2)VO<a<3,

，拋物線開口向上，

又對稱軸x=-l,

|-2-(-1)|=1,|0-(-1)|=1

/.A、B兩點到對稱軸的距離相等，即：％=乃

(3)由題意得：

乃

ax；+2axi-iax^+2ax^i

ax^+2axi-a君-2ax2

a(x1-x2)(x1+x2+2)

a(x1-x2)(3-a)

VO<a<3,xi<.x2

：.必一為〈0,

即：必〈乃.

【點睛】

本題主要考查二次函數中系數的運用，以及比較函數值的大小，熟練掌握二次函數的基礎運

算是解題的關鍵.

8_3235

2

2、（1）見解析；（2）y=15x-15x+2；（3）P的坐標（5,0）、（5,

4+面

0）或（―2—,4）.

【分析】

（1）根據已知條件求出A、。的坐標，得到BC//AO,乙8c4=NC/。，結合點8（4,

2）關于直線1的對稱點是點E,得到^CEA=^CBA,則ZBCA=AECA,從而得到

AECA^ACAO,即可證AD=CD；

12_6

（2）根據點8（4,2）關于直線1的對稱點是點￡，求出￡（丁，一5）,得

4

到直線CE的解析式，又D點在x軸上，求出。（5,0）,設經過B、C、。三

3

點的拋物線的函數表達式為＞=a/+"+。，將刀（4,2）,D（2,0）,。（0,

2）代入即得拋物線的解析式；

55

（3）分別計算SA.和3S^OAE,利用S△.=3s△眥列方程，求出尸點的縱坐標,

再代入拋物線得到夕點的橫坐標，即可求出月點的坐標.

【詳解】

(1)證明：?.?直線/：y=-萬x+2與x軸、y軸分別交于A、C兩點，B

(4,2),

：.A(4,0),<7(0,2)

BC//AO

：.ZBCA=ACAO

?.?點8(4,2)關于直線1的對稱點是點E,

^CEA=^CBA

：.^BCA=ZECA

；.乙ECA=NCAO

：.AD=CD

(2)解：設OD=m,由對稱可得CE=BC=4,AE=AB=OC=2,ZAED=ZB=90°,

CD=AD=4-m,

2

在RtAOCD中，OD2+0C2=CD,

/.m2+22=(4-m)2,

3

m=2,

3

AD(2,0),

設經過B、C、D三點的拋物線的函數表達式為：y=ax2+bx+c,

3

把B(4,2),C(0,2),D(2,0)代入得：

16a-F4b-he=2

93,八

=0

<—4a+—2b-\-c

c=2

8

a=—

15

<c=2

,32

b=———

解得〔15

8_32

經過B,C,D三點的拋物線的函數表達式為：y=15x2-15x+2；

(3)存在，理由如下:

處無=叼2-“；=4|2-川；=2|2一J

2工訓=2/0.|詞.-二4

3&CZri￡>3］，B|

2352

S&PBG~~EdQAS~4

2|2-"=4

解得為=°或力=4

又x>0

8_32_3_5

當〃=°時，代入y=Bx2-記x+2,得K=5,，2=5

8_32_4+731_4-萬

2得“2,32（舍去）

當打=4時,代入y=15X一mx+2

354+后

綜上，P的坐標(5,o)2,0）或（2,4）

【點睛】

本題是二次函數與幾何的綜合題.需要大量的計算過程，找準關鍵點進行計算是本題的關鍵,

一般出現在壓軸題中，難度較大.

3、(1)》=-—4x-5；(2)點C的坐標是(6,7)；(3)當1少＜2時，NPCD

的最大面積為48+16a-4a。當24aM5時，A/CZ)的最大面積為64

【分析】

(1)根據已知點和對稱軸，用待定系數法求二次函數的解析式即可；

(2)由NC48=45。得等腰直角三角形，從而求得坐標；

(3分情況討論，在對稱軸的左右兩邊，即當1工。＜2,1M&M5時分別求得A汽為面積的

最大值

【詳解】

（1）V拋物線過山T°）,對稱軸為x=2,

0=(-l)2+ix(-l)+c

1±=2

，I2x1,

\b=-A

解得V=-5

...拋物線表達式為y='-4x-5.

(2)過點c作軸于點E,

NCL4B=45。，

AE=CE,

設點。的橫坐標為

則縱坐標為九=布+1,

C(xe,xe+1)

代入7=X2-4X-5,得：

xe+1=x^-4xe-5

解得%=T（舍去），線=6,

/.”=7

，點。的坐標是（6,7）.

（3）由（2）得C的坐標是（6,7）

,/對稱軸x=2,

.?.點D的坐標是（一2,7）,

...8=8,

?；8與“軸平行，點P在x軸下方，

設aPCD以C3為底邊的高為h

則以=3/+7,

當最大值時，的面積最大，

...\<xP<afl<a<5,

①當lMa<2時，1<x?<2

此時>=--4x-5在1工0Wa上了隨x的增大而減小.

/,爪=吁4。-5卜5+4。-°

.%=卜/+7=12+4以一以2

**?△網力的最大面積為：

與敢=-xCDxA=lx8x(12+4a-a2)=48+16a-4a2

22,

②當244M5時，止匕時W-—4X-5的對稱軸

x=2含于If內

1心|22-4、2一5卜9,

〃=9+7=16,

???AW。的最大面積為：

^ffi=lxCDxA=lx8xl6=64

綜上所述：當IV。＜2時，的最大面積為48+16&-4a2,

當時，AWQ的最大面積為64.

【點睛】

本題考查了用待定系數法求函數表達式，二次函數圖像與性質，二次函數求最值問題，熟練

掌握二次函數的圖像與性質是解決本題的關鍵.

恒

4、(1)V=*-2x+3；(2)亍；(3)存在，從點的橫坐標分別為：2,-1,

-1+6-1-V5

2或2.

【解析】

【分析】

(1)待定系數法求二次函數解析式，設解析式為>=-幺+公+。將C(LO),8(0,3)兩點代

入求得8,c的值即可；

?2.J4￡1

(2)胡不歸問題，要求3"的值，將折線化為直線，構造相似三角形將3轉化

1offi_|__?

為3,再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得3最值；

(3)分2種情形討論：①18為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質可以

求得N點的坐標；

②AB為矩形的對角線，設7?為47的中點，RN=\AB,利用兩點距離公式求解方程可

得N點的坐標.

【詳解】

解：(1),/>=-/+5x+c過5(0,3)

J-l+6+c=0

1。=3

b=-2,c=3

???拋物線的解析式為：>=---2X+3

OD=-OE

(2)在。￡上取一點D,使得3,連接AE',BD

OD=-OE=-OE'

33

x=------二-1

對稱軸2

...￡(-1,01,OE=I

OE'=OE=\,OA=3

OE'_OP_1

/.~OA~~OE,~3,ADOE'=Z.E'OA

...MDQE's煙OA

DE'=-AE'

3

BE'+-AE'=BE'+DE'

3

當B,E',。三點在同一點直線上時，鹿+Q?最小為BD.

OD=」

在RtASOZ)中，3,05=3

BD=,0爐+亦=1+?=浮

展

BS'+-AE'

即3最小值為

（3）情形①如圖,AB為矩形的一條邊時,

0=0

聯立［y=-，-2x+3

x=-3\x=1

得/=07=0

止3,0),04=3

???0B=3

:V/8。是等腰Rtz,Z&40=45°

分別過兩點作45的垂線，交＞=*-2x+3于點M％,

過匹死作跖。“軸，ME_Lx軸，

二4QBNi=4PAi'=45。

△BN?,△工帆尸也是等腰直角三角形

設QB=%則MQ=%所以助（-也m+3）

代入》=---2芯+3,解得的=1,%=0（不符題意，舍）

■孤（T4）

同理，設。產=%則PN=n+3,所以N式%f-3）

代入》=---2才+3,解得％=2,叼=-3（不符題意，舍）

.-.M（2.-5）

RN=-AB

②AB為矩形的對角線，沒R為AB的中點，則2

???省一3,0)產(0,3)

33______

RB=-AB^—

22

,:RN=、AB

2

儂=逑

2

設陽x,---2x+3),則

整理得：彳0+3)(/+^-1)=0

解得：再二°（不符題意，舍），勺=-3（不符題意，舍），

-1+>/5

-l+>/5-1-V5

;綜上所述：N點的橫坐標分別為：2,-1,2或2.

【點睛】

本題考查了二次函數的性質，待定系數法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數與一

次函數交點，矩形的性質，等腰直角三角形性質，平面直角坐標系中兩點距離計算等知識，

能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關鍵.

5、（1）產--21；（2）點尸（―3,或尸（1，引、點Q（4,0）或點0-2,0）；（3）

810

存在，"（0,0）或〃（§,0）或〃（6,0）或〃（7，0）

【解析】

（1）根據二次函數表達式和已知坐標點代入計算即可，

（2）以點P、0、B、。為頂點，血為邊的四邊形為平行四邊形，分為兩種情況:

WBC或月QWBC,根據平行四邊形對邊相等且平行求解即可，

（3）先根據題意求出A點坐標和頂點坐標，根據B,C,D坐標點得知ABDC是

直角三角形，且/BCD=90。，設點〃得坐標（匝0）,則點G得坐標為“，0-2切-3）,

根據相似的性質分情況求解即可.

【詳解】

解：（1）將點8（3,0）,C（0,—3）分別代入產以c中，

9a-2x3+c=0

得：i。=-3,

Ja=l

解得

???拋物線得函數關系為產_-2x-3

（2）點尸（—3）或產0,3）、點Q（4,。）或點0（-2.0）.

如圖:

?.?以點尸、0、B、。為頂點，比'為邊的四邊形為平行四邊形,

/.儂/BC或呢川BC,

?.,點6(3,0),C(0,-3),

當時，則6Q=BC,

設對稱軸與x軸交于點M,

玲乂=。。=3,MQi=0B=3,

?耳(1,3),Q(-2,0).

?,?

同理月Q//BC時，鳥(1,-3),&(4,0)；

故答案為：召(L3),Q(-2,0)；舄(1,-3),2(4.0).

(3)當尸。時，X2-2X-3=0,

解得：『Tx『3,

：.A(-1,0)

又y=x2-2x-?=(x-l)2-4

???拋物線得頂點D得坐標為（1,—4）

3）、8（3,0）、D（1,-4）

SZ）2+22+42=20,CD2=12+12,BC^32+32,

/.BD^CD^BC^

...△叱是直角三角形，且/BCD=90’

設點〃得坐標（物0）,則點G得坐標為（物"-2.-3）,

根據題意知：

ZAMG=ZBCD=90“

???要使以A>M、G為頂點得三角形與△相似，需要滿足條件：

AMBC.^AMCD

——=——或=——

MGCDMGBC

-\-m_3\/2-\-m_品

①當W<-1時，此時有：>-2.-372或/-2m-33^2

解得：的一3'的一—或的=0,%=T,都不符合后-1,所以*-1時無解.

也+1_3^/2陽+1_應

②當7<搐工3時，此時有：-（/一2.-3）應或-（/_2搐-3）3點

解得：的一了啊-一（不符合要求，舍去）或的=0,%=T（不符合要求，舍去），

%

所以〃（3,）或〃（0,0）

w+1_3y/21_y/2

③當山>3時，此時有：m2-2m-3五或-2m~33時

解得：的一行’隹一一（不符合要求，舍去）或的=6,n=-1（不符要求，舍去）

10

所以點"(6,0)或"(7,0)

答：存在點〃，使得力、M、G為頂點得三角形與△BCD相似，點M得坐標為：〃(0,

8

-10-

或

或

或

必

必

O\3O/6O必/O

71X(X(3

此題考查二次函數相關知識，綜合性較強，涵蓋平行四邊形性質和三角形相似及勾股定理，

有一定難度.

6、(1)^=-2/+100;(2)在第15天時日銷售利潤最大，最大利潤為612.5元；

(3)2.25<a<6

【分析】

(1)由題意得，設m=kt+b,根據表格中的數據，代入求解即可；

(2)設日銷售利潤為印元，求得郎與￡的關系式，根據二次函數的性質求解最大值即可;

(3)根據20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據函數的性質，求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意得，設m=kt+b,將(2,96),(3,94)代入解析式，得

2E+8=96ft=—2

孕+占=94,解得卜=100,即w=-2/+lQ0

故答案為：制=-2￡+100

(2)設日銷售利潤為印元，則由題意可得，

jy=(-2/+100)x(li!+30-25)

4

1

二一上d0+1%+500

2

1,2

=--(/-15)+612.5

-<0-

2,開口向下

/.當￡=15時，%大=612.5.

在第15天時日銷售利潤最大，最大利潤為612.5元

用=(-2+100)—t+25-20-a

(3)由題意得:

=——Z2+415+2a)2+500-100a

2,

對稱軸為：￡=15+2a,

???每天扣除捐贈后的日銷利潤隨時間￡的增大而增大，且1金=20,

/.15+2。>19.5,

/.a>2,25,

又a<6

2.25<a<6,

【點睛】

本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握二次函數的圖像與性質是解答本題的關鍵.

7、(1)”-5；(2)d=-t

【分析】

(1)先求出拋物線對稱軸為'=一五=一，再根據N8=8,則為、B到對稱軸的距離

為4,即可求出A(-5,0),8(3,0),然后把B點坐標代入拋物線解析

式中求解即可；

(2)由。的橫坐標為t,得到〔、33過D忤DH工x軸于點H,則

122

21224-DHOE-3~3OE

DH=——t——t+5tanNZZSH=----=-------z----=,

33,W=-力，再由BHOB,gp3-t3,進行求

解即可.

【詳解】

解：(1)拋物線的解析式為y=ax2+2ax+5

2ay

x=———=-1

???拋物線的對稱軸為直線2a

，力、B關于直線x=-1對稱

AB=8,

N、B到對稱軸的距離為4,

J(-5,0),6(3,0),

.?.把B點坐標代入拋物線解析式得：9a+6a+5=0,

1

3-

1

a=—

(2)???3,

122￡

y=——x——x+J

???拋物線解析式為33

D的橫坐標為t,

DH――—t_—￡+5

過〃作如，x軸于點〃，貝U33,OH=-t

B(3,0),

：.0B=3,

/.BH=3+(-2)=3-t,

122￡

DHOE一一￡一一￡+5門B

..tan/E)BH==33

BHOB即3-t3,

-d-2￡+15

0E=

-3^-

12,

y=——X2——x+J

,/c是拋物線33與y軸的交點,

??.C（°，5）,

OC=5,

-?-2/+15

0C-0E=5-

-3^-

【點睛】

本題主要考查了求二次函數解析式，二次函數的對稱性，解直角三角形，解題的關鍵在于能

夠熟練掌握二次函數的相關知識.

8、（1）該日板栗的單價為15元/千克；（2）獷關于x的函數表達式為獷=-2x

?+54x,獷的最大值為364元，獷的最小值為340元；（3）a的值為35或36.

【分析】

（1）根據售價每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克，且某日銷售量為24千克，

列方程求解即可；

（2）根據題意，利用每日銷售額等于銷售量乘以銷售單價，列出函數關系式，并將其寫成

頂點式，根據二次函數的性質可得答案；

(3)由題意得：395<-2x2+54x+aW400,由二次函數的對稱性及只有4種不同的

單價使日收入不少于395元且不超過400元，可知x的取值為12,13,14,15,

計算可得a的值.

【詳解】

解：(1)根據題意得：34-2(jr-10)=24,

解得x=15,

???該日板栗的單價為15元/千克；

(2)根據題意得：

w=x[34-2(x-10)]

=-2x2+54x

27729

=-2(x-T)2+~,

由題意得：10<xW15,且x為正整數，

V-2<0,

??.當x=13或14時，w有最大值，最大值為364元.

27729

當x=10時，獷有最小值，最小值為：-2(10-5)2+T=340(元).

w關于x的函數表達式為獷=-2x?+54x,w的最大值為364元,w的最小值為340

元；

(3)由題意得：395<-2x2+54x+aW400,

只有4種不同的單價使日收入不少于395元，4為偶數，

由二次函數的對稱性可知，x的取值為12,13,14,15,

當x=12或15時，-2x2+54x=360；當x=13或14時，-2x2+54x=364,

補貼a元后日收入不少于395元且不超過400元，360+35=395,364+36=400,

???a的值為35或36.

【點睛】

本題考查了二次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系、熟練掌握二次函數的性質

是解題的關鍵.

9、(1)b=-2,c=-3；(2)點F的坐標為(°，-2)；(3)存在滿足題意的點Q,

J_15(之

坐標為5'/或

【分析】

x=\=--b

(1)CD=2,則函數對稱軸2,即：h=-2,則函數表達式為：…2-20x+c,

OB=OC,則點8坐標為(Y，0),把點8坐標代入函數表達式，即可求解；

(2)直線座的表達式為：V=2x-6,把入=2代入上式得：y=2x2-6=_2,即：點坐

標為尸⑵-2),即可求解；

(3)設點P的坐標為(2°),可表示出PN、PA、PB的長，作QRSN,垂足為R,

則可求出QR的長，用n可以表示出Q、R、N的坐標，在此班底兇中用勾股定理可求

出關于n的二次函數，利用二次函數的性質可以求出Q點的坐標

【詳解】

=1=--b

(1)CD=2,則函數對稱軸x2,即：b=-2,

則函數表達式為："--2x+c,OB=0C,則點刀坐標為(一。，°),

把點8坐標代入函數表達式，解得：。=-3或c=0舍去)，

答：b=-2,c=-3；

(2)二次函數表達式為：了=/-2工-3,

函數對稱軸為x=l,則頂點￡坐標為(1「4),

把點￡、B坐標代入一次函數表達式:

3w+?=0m=2

y=爾+力得:加+/=-4,解得:n=-6

則直線用的表達式為：y=2x-6,

由題意得：點尸'的橫坐標為2，把"2代入上式得：*2x2-6=-2即：點坐標為FR-2）,

???點尸的坐標為（°，-2）

（3）存在點0滿足題意.

設點刀坐標為（々°）,則PA=n+1,

PB=PM=3-?,PN=一%2+2加+3；

如圖，作QCPN,垂足為R

112

._伽+1)(3_%)=_(一/+2"+3)3

,?22

??.跳=1

①當點Q在直線網的左側時，點。的坐標為5T4-甸，氏點的坐標為(々--4叱及

點的坐標為5,爐-2,-3)

/.在及AQTW中，呢2=1+(2”可\

?=3(1_15

當U時，畋取得最小值1,此時Q點的坐標為2,4；

②當點Q在直線尸V的右側時，點Q的坐標為5+1〃_華,

同理畋2=1+(2/-1)2,

_215

當”=5時，畋取得最小值1,此時Q點的坐標為2,4；

J_15z2_15

綜上可知存在滿足題意的點Q,坐標為、2'4，或'2'4\

【點睛】

本題考查的是二次函數知識的綜合運用，涉及到一次函數、三角形面積計算、二次函數的性

質、分類討論的思想等知識點，解本題的關鍵在于通過坐標確定線段的長度，本題考查的知

識點較多,綜合性較強，難度總體較大.

一?”、尸乙招一1＜族2

10、(1)y=-x+2x+3,C(l,4).(2)39；(3)4

【分析】

(1)將43的坐標代入解析式，待定系數法求解析式即可，根據頂點在對稱軸上，求得

對稱軸，代入解析式即可的頂點C的坐標;

(2)設3(40),根據△ZMC是以/C為底的等腰三角形，根據AD=CD,求得。點的

坐標，進而求得CD解析式，聯立二次函數解析式，解方程組即可求得F點的坐標；

(3)根據題意，可得SA4FE,設AE=n,根據相似三角形的性質，線段成比例，

可得20、V根據配方法可得活的最大值，根據點名是線段/C上(與點A,

C不重合)的動點，可得物的最小值，即可求得刈的范圍.

【詳解】

(1)???拋物線y=++"+3過點A(-LO),點8(3,0),

}-6+3=0

19。+比+3=0,

Ja=-1

解得V=2,

y=-/+2x+3,

b2[

x=———=----------=1?

2a2x(-1),代入y=-x*+2x+3,

解得：y=A,

:頂點co，3

(2)設“(a，o),

???4-1,0),C(L4),AD4c是以/C為底的等腰三角形，

:.AD=CD

即可+1)2=依-1)2+42

0+1)2=3_1)2+甲

解得d=4

.-.。(4,0)

...C(1,4),Z)(4,O)

設直線8的解析式為i+b

J4尢+3=0

[k+b=4

解得

b=—

3

416

y——一x+—

直線8的解析式為33

聯立L=*+2X+3

7

3

201

解得:4

.%

120

（3）?.?點尸的橫坐標為即，4-L°）,C（L4）,P（k3,9

*7(1+1)2+42=24,AF=m+\

(7,220a220

CP=J(--l)+(y-4)=y

設AE-n,貝（JCE-2y/5-n,

???△ZMC是以RC為底的等腰三角形，

ZDAC=ZDCA

???APEF=ZCAB=ZEAF,ACEF=AEAF+ZAFE=APEF+乙CEP

ZCEP=ZAFE

XCEKf心AFE

A豆

=C-

牛

n

±

-

-290

即

9

一

附-

整

理20

55

-<-

4-4

當8點與e點重合時，尸與A