第二章空間向量與立體幾何

本章知識要覽

。|內容提要

本章是在平面向量的基礎上，通過類比的方法，學習空間向量的

概念、性質和運算，并以向量為工具討論立體幾何中的一些問題.主

要包括兩個方面：一是關于空間向量及其運算，這是立體幾何的基礎,

也是重點內容；二是關于空間向量的應用，即用向量討論垂直與平行,

夾角的計算和距離的計算.

本章的重點是：空間向量及其運算，以空間向量為工具通過空間

向量的運算證明空間直線與直線、直線與平面、兩個平面的平行和垂

直，求空間兩條直線、直線與平面所成的角、二面角的大小，求空間

點到平面的距離；難點是：以空間向量為工具證明空間的位置關系，

求空間角和空間距離；易錯點是求空間角時，對角的范圍的判斷.

學法建議

(1)解決問題要從圖形入手，分析已知條件在圖形中的向量表示,

由已知到圖形、由圖形到已知的基本訓練，有序地建立圖形、文字、

符號三種語言間的聯系.

(2)適時地聯系平面向量的知識及平面幾何的知識，采用聯想對

比、引申等方法認識平面向量與空間向量、平面幾何與立體幾何知識

的異同，并找出兩者之間的內在聯系，逐步培養能將立體幾何問題轉

化為平面幾何問題的能力.

(3)由空間向量解決立體幾何問題時，要注意在空間直角坐標系

下，通過轉化將圖形的關系轉化為坐標系中數的運算，并可以靈活地

運用空間向量基本定理進行轉化.

§1從平面向量到空間向量

學習目標重點睚點

I.經歷從平面向量到空間向量的推廣過程.

2.會說出空間向量有關概念的含義.

重點：空間向量的有關概念.

3.能指出直線的方向向量和面的法向量.

難點：直線的方向向量和平面的法向量.

4.會用克線的方向向量和克線上一點確定克線,會

用法向量和點確定平面.

預習篇YUXIPIAN--------------------------------------------------------------------------------新知導學

細讀課本

知識點一向量的概念

［填一填］

(1)向量

既有大小又有方向的量叫作向量.

在物理中，有許多量可以用向量來表示，如位移、速度、加速度、

力等，這些量不但有大小，而且還具有方向.

(2)空間向量

在空間中，既有大小又有方向的量叫作空間向量.

過空間任意一點0作向量a,b的相等向量內和防，則NAOB

叫作向量m分的夾角，記作〈a,b),規定OW<?,b)WJT.

［答一答］

7T

1.向量G,b的夾角是0或兀時，向量G,方應具備什么條件？

JT、

提示：當〈。，b)=/時，向量。與方垂直，當〈。，b)=0或兀

時，向量a與b平行.

2.思考與交流：仿照平面向量的有關概念，請分別給出下列定

義：單位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量.

提示：在空間中，模為1的向量叫單位向量；模為。的向量叫零

向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向

量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量.

知識點二向量與直線

［填一填］

(1)/是空間一直線，A,3是直線/上的任意兩點,則稱協為直

線I的方向向量.與?平行的任意非零向量a也是直線/的方向向量,

直線的方向向量平行于該直線.

(2)根據立體幾何知識，我們知道，給定空間中任意一點A和非

零向量m就可以確定唯二二^過點A且平行于向量。的直線.

［答一答］

討論：直線的方向向量是唯一確定的嗎？

提示：不是，只要是平行于直線的非零向量均可成為直線的方向

向量，正是由于直線的方向向量的任意性，才可便于選取方向向量，

才具有可操作性.

知識點三向量與平面

［填一填］

(1)如果直線/垂直于平面?,那么把直線I的方向向量?叫作平

面a的法向量.所有與直線/平行的非零向量都是平面a的法向量.平

面的法向量垂直于該平面.

(2)給定空間中任意一點A和非零向量?,可以確定唯一一個過點

A且垂直于向量a的平面.

［答一答］

想一想：要想在空間中確定一個平面需要哪些條件？

提示：需要有一點和一個非零向量.過這一點且垂直于已知向量

就可確定一個平面.

eI特別關注

1.向量無法比較大小.關于向量的比較，我們只限于研究它們

是否相等，而不是研究它們誰大誰小.一般來說，向量不

能比較大小.向量的模可以比較大小，應注意”=80|0=步|,但

反之不成立.

2.(1)〈心力表示。與方的夾角，書寫一定要規范，不能誤寫

為(a,b).

(2)在圖甲中，〈8,防〉=ZAOB,而圖乙中，〈屐)，加=71

一/AOB.向量夾角與向量大小無關，只與方向有關.

圖甲圖乙

3.平行向量所在的直線可能平行也可能重合，與兩直線平行不

同；平行向量的方向可能同向，也可能反向.

4.零向量與任意向量共線.

5.平面法向量的性質：

(1)若直線L平面a,則所有與直線I平行的非零向量都是平面a

的法向量，故平面a的法向量不唯一，有無限多個，但它們互相平行.

(2)一個平面的單位法向量只有兩個.

(3)平面a的一個法向量垂直于與平面a共面的所有向量，也就

是平面的法向量垂直于該平面.

課堂篇KETANGPIAN-合作探究

題型一向量的有關概念

【例1】給出下列五個命題：①兩個空間向量相等，則它們的

起點相同，終點也相同；②若空間兩向量a,b滿足⑷

=\b\,則°=岳③在正方體43CQ-A18GQ1中必有

④若空間向量小，n,p滿足機=mn—p,則機=p；⑤空間中任意

兩個單位向量必相等.其中正確命題的個數為（）

A.4B.3

C.2D.1

【解析】當空間兩個向量的起點、終點分別相同時，這兩個向

量必相等，但兩個相等向量的起點不一■定相同，終點也不一■定相同，

故①錯；根據向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅它們的模要

相等，而且方向也要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同，故

②不對；根據正方體的性質，在正方體ABCQ-AiBG。中，向量友和

4d不但方向相同而且長度相等，故應有公=左6，所以③正確；④

顯然正確；對于⑤，空間任意兩個單位向量的模均為1,但方向不一

定相同，故不一定相等，所以⑤不對.

【答案】C

規律方法（1）只要兩個向量的方向相同，模相等，這兩個向量就

相等，與起點和終點位置無關.

（2）熟練掌握空間向量的有關概念是解決這類問題的關鍵.

下列命題錯誤的是(B)

A.空間向量醺與雨的長度相等

B.零向量沒有長度，所以它不是空間向量

C.同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量

D.若4b=c,則Q=C

解析：概念的理解是解決本題的關鍵.A選項中的兩個向量互為

相反向量，所以它們長度相等；空間向量并不是一個立體圖形，只要

是存在于立體空間內的向量都是空間向量，所以B選項錯誤；C選項

是相等向量定義的另外一個說法；我們研究的向量是自由向量，只要

向量相等都可以移動到同一起點，所以D選項正確.

題型二向量的夾角

【例2】如圖，在正方體ABCDA8C。中，求:

(1)(AB,種〉，(AD,灰7〉，<AB,CD'}.

(2)流〉,(Abr,歐〉.

【思路探究】按空間向量夾角的定義求解，空間向量a,b夾

角范圍是［0,兀］.

【解】⑴：在正方體ABCQ-A5C。中，

AB//A'B',AD-LD'C,AB//CD'.

：.用》=0,<A2),配〉=/,<AB,Cb'>=TI.

(2)..?在正方體A8CD-4&C。中，AD//BC.

：.〈也反:〉=〈?AD>=今

連接4C,則△4C。為等邊三角形.

(Ab',Z7C>=y.

規律方法與求平面內兩向量夾角類似，求空間兩向量夾角時，

采取平移的方法，把空間兩向量的夾角轉化為平面內某兩條相交直線

的角，進而用解三角形的知識求解.必須注意兩向量夾角應保證兩向

量移至共同起點處，比如若〈油，疵〉=去而〈油，cX>=,

銃植II溷2

如圖，棱長都相等的平行六面體A3CQ-A8GA中，已知NA1A3

=60。，則<Ali,(Ti)=￡,〈油，CTbi)=180。,〈麗，DDi)=

120°.

解析：在平行六面體A8CD-

AbBiGDi中，AXx//Ct\,且方向相同，所以〈/1,U=0°.

因為AB〃CQ,CD//C1D1,所以A8〃G。，所以不方〃但方向

相反，所以〈加，Gt>i>=180°.因為筋］=仍|,所以〈麗，Db\)

=〈麗，Ali>=180°-ZAIA5=120°.

題型三向量與平面

【例3】如圖，四棱錐P-ABCD中，尸。_1_平面A3C。，底面

A8CQ為正方形且PO=AQ=CQ,E,尸分別是尸C,P3的中點.

(1)試以廠為起點作直線DE的一個方向向量；

(2)試以F為起點作平面PBC的一個法向量.

【思路探究】(1)只要作出過產與。E平行的直線即可.

(2)作出過/與平面PBC垂直的直線即可.

【解】(1)如圖，連接EE

■:E,尸分別是PC,-6的中點.

：.EF%BC.

又BC^AD,：.EF^AD.

取4。的中點M,連接MF,則由所觸DM知四邊形DEFM是

平行四邊形，J.MF//DE.

戶法就是直線DE的一個方向向量.

(2)PO_L平面A3C。，；.PD.LBC.

又BCLCD,...BCJ■平面PCD

DE平面PCD,DE±BC.

又PD=CD,E為PC中點，

:.DELPC從而。石_L平面PBC.

...力是平面P3C的一個法向量.

由（1）可知或/=￡b,

二.成僦是平面PBC的一個法向量.

規律方法直線的方向向量有無數個，它們之間互相平行；平面

的法向量也有無數個，它們之間也都互相平行且都垂直于平面.而過

空間某點作直線的方向向量或平面的法向量時，可利用線面平行及線

面垂直等相關知識，在該點處作出直線的平行線或平面的垂線即可.

如圖，在正方體ABCQ-43CQ1中，E,尸分別是棱A3,441的

中點.

（1）分別給出平面ABCD,平面ADDiAi的一個法向量;

⑵寫出平面ASG。的法向量，你能寫出幾個？

（3）圖中與向量訪共線的向量有哪些?

解：（1）平面ABCO的法向量可以是：All,就（Ti,應＞i或國1,

R方，CtC,力力這8個向量中的任意一個.

平面ADOAi的法向量可以是：油，力箱1,力^或麗，Cb,

B^A\,Gbi這8個向量中的任意一個.

(2)由正方體的性質可知E尸〃CDi,項」平面ABiGQ,CDJ平

面ABGD,平面AB1GZ)的法向量可以是：歐,Cb\,前,曲.

(3)題圖中與向量質共線的向量有：前1,成，庵.

提局篇TIGAOPIAN自我超越

易錯警示

對向量概念理解的錯誤

【例4】下列命題中正確的是()

A.若。與力共線，?與c共線，則a與c共線

B.向量a,b,c共面即它們所在的直線共面

C.零向量沒有確定的方向

D.若。〃兒則存在唯一的實數九使”=我

【誤解】A(或B或D)

【正解】在選項A中，若方=0,則結論不成立；在選項B中，

向量共面與直線共面的不同點在于三個向量中的一個向量所在直線

與另兩個向量所在平面平行時，三個向量所在的直線雖然不共面，但

這三個向量是共面的；選項D中，若"=)=()時，有無數個4滿足等

式，而不是唯---個；若b=0,aWO,則不存在義使。=勸.

【答案】C

銃植II溷4

下列說法中正確的是(B)

A.若⑷=|〃|,貝lja、b的長度相同，方向相同或相反

B.若向量a是向量方的相反向量，則⑷=|。|

C.如果兩向量平行，則向量相等

D.在四邊形ABCD中，一定有油

解析：A項，⑷=|。|,只表示。，方的長度相同，而方向不確定；

C項，兩向量平行，不能說明兩向量相等；D項，在平行四邊形中具

有該項結論.

【例5】下列命題是真命題的序號是.

①向量加與6是共線向量，則4、B、C、。四點必在一條直線

上；

②向量協與疵是共線向量，則A、B、C必在一條直線上.

【誤解】①②

【正解】命題①為假命題，因為屈、6兩個向量所在的直線

可能沒有公共點，所以四點不一定在一條直線上；命題②為真命題，

因為腦、加兩個向量所在的直線有公共點A,所以三點共線.故填

②.

【答案】②

錨朔II瀾5

F列命題是真命題的是（D）

A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這

兩個向量不是共面向量

B.方向相反的向量是相反向量

C.若向量恁，⑦滿足|曲|>|仍|,且屈與⑦同向，則屈〉⑶

D.若兩個非零向量恁與⑦滿足協+6=0,則油〃⑶

解析：A項向量可以平移到一個平面；B項方向相反，大小相

等的向量為相反向量；C項，向量不能比較大小.

希|爾.鞏困篇GONGGUPIAN當堂演練

1.油=仍的一個必要不充分條件是（C）

A.A與C重合B.4與C重合，8與。重合

C.|曲|=|&）|D.A、B、C、。四點共線

解析：向量相等只需方向相同，長度相等，而與表示向量的有向

線段的起點、終點位置無關.表示兩個共線向量的兩個有向線段所在

的直線平行或重合，不能得到四點共線.

2.在等腰直角三角形A3c中，角8為直角，則〈沈，CX）等

于（B）

A.45°

B.135°

C.45。或135°

D.不確定

解析：如圖，嚴格利用向量夾角定義，過空間一點作出兩向量，

明確夾角.

3.在正方體ABCQ-AiBGQi中，平面ACGAi的法向量是（A）

A.BDB.JBCI

C.BT）\D.A18

解析：由正方體性質可知平面ACGAi,故劭為其法向量.

4.與向量a共線的單位向量有2或者無數個.

解析：當Q是零向量時，任何單位向量都與之共線；當4是非零

向量時，只有方向相同或者相反的兩個單位向量與向量Q共線.

5.如圖，在長、寬、高分別為AB=5,AD=3,44i=4的長方

體ABCD-AxBxCxDx的8個頂點中，任選兩點作為起點和終點構成一

個向量，在這些向量中哪些向量.

(1)與向量曲平行；

(2)與向量加相反；

(3)是平面ABBAi的法向量.

解：(1)與向量疝平行的向量有：覺，氏右，出力1,￡)^1,GBi,

CB,DA,共7個.

(2)與向量加相反的向量有明，cb,祈丸，obi,共4個.

(3)平面AB814的法向量有才力，Bt,歷d，A力1,D^Ai,GBi,

CB,血，共8個.

§2空間向量的運算

，-----------學習目標-------------------------------重點難點----------------

1.會用圖形說明空間向量加法、咸法、數乘向量及它們重點：空間向量的加法與數乘運算及運算律的理

的運算律.解?數量積的求法.

2.會利用空間兩個向量共線的充要條件解決有關問題.難點：應用向量進行有關計算的符號.

3.能夠利用空間向量的數量積的定義求兩個向量的數疑點：數量積的結果是數，可以比較大小，可正，可

量積.負，可為0.

m頸2篇YUXIPIAN新知導學

細讀課本

知識點一空間向量的加減法

［填一填］

(1)設。和力是空間兩個向量，過一點。作。和b的相等向量8

和防，根據平面向量加法的平行四邊形法則，平行四邊形的對角線

0c對應的向量元就是a與b的和，記作a+b.

(2)與平面向量類似，a與b的差定義為a+(—。)，記作“一兒其

中一b是b的相反向量.

(3)空間向量加法和減法的運算律與平面向量的運算律相同，表

示如下：

①結合律(a+8)+c=a+(8+c)；

②交換律a+：=b+a

［答一答］

利用空間圖形驗證空間向量滿足結合律.

提示：如圖所示，作歷l=a,AB=b,BC=c,

c

則(a+b)+c=(次+油)+覺=循+沈=覺,

a+S+c)=^l+(循+南=9+疵=宓

1.(a+A)+c=a+S+c).

知識點二空間向量的數乘

［填一填］

(1)空間向量a與一個實數A的乘積是一個向量,記作區.滿足：

①I加=|2同；

②當2>0時，2a與a方向相同;

當A<0時，2a與a方向相反;

當2=0時，〃=。.

(2)空間向量的數乘運算律與平面向量的數乘運算律相同，表示

如下：

①2a=@￡R)；

②>2(。+■)=〃+勸,(2+〃)a=2a+〃a(/j.￡R,//GR)；

③//￡R).

(3)空間兩個向量a與伙6。0)共線的充要條件是存在實數九使

得a—Xb.

［答一答］

設劭，C2不共線，且初|+"2=0,那么你能夠得到什么結論?

提示：丸=〃=0.(否則e］旌2,與勿，02不共線矛盾)

知識點三空間向量的數量積

［填一填］

(1)由于空間任意兩個向量經平移后都可以在同一個平面內,因

此，空間兩個向量。和?的數量積和平面中的情形完全一樣，即空間

兩個向量Q和力的數量積是一個數,等于I。卜固cos〈a,b〉,記作a協.

(2)空間向量的數量積與平面向量的數量積具有同樣的運算律.

①交換律：ab=b-a；

②分配律：a(b-\-c)=ab-\-ac；

③2(al)=(2a)山々￡R).

(3)和平面向量一樣，利用空間向量的數量積，可以得到以下結

論：

①lal='函;

②a_1_bQa,b=0；

a,b

③cos{a,b)=百荷(。#0,br0).

(4)對于任意一個非零向量a,我們把3叫作向量a的單位向量,

記作a(),a()與a同方向.

［答一答］

三個向量a,b,c均不為0,則等式OA>C=G?("c)成立嗎？

提示：不成立，因"c是一個數，(a7>c與c共線，a(be)

與a共線，故它們不表示同一個向量.

?I特別關注

1.(1)在麗=池一防中，0并不一定是原點，它可以是空間中

的任意一點，也就是說對任意點0,都有明=池一防.

(2)有限個向量求和，交換相加向量的順序其和不變.

(3)三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面

體的對角線所表示的向量.

2.(1)關于空間向量的數乘應注意：①觴(2￡R)仍為向量；②0s

=0;0—0.

(2)在運用空間向量的運算法則化簡向量表達式時，要結合空間

圖形，分析各向量在圖形中的表示，然后運用運算法則，把空間向量

轉化為平面向量解決，并要化簡到最簡為止.

3.關于空間向量的數量積的幾個注意點：

(1)兩個空間向量的數量積是一個實數，要注意09=0(。為任意

向量).

(2)數量積不滿足結合律，即

(3)空間向量數量積的幾個結論的作用：①用于對向量模的計算;

②用于判斷空間兩個向量的垂直；③可以幫助我們求兩個向量的夾

角；④用于不等式的證明.

4.向量中應該重視的問題：

(1)空間向量的加法、減法、數乘向量的意義及運算律與平面向

量類似，這些運算不但適合學過的代數運算律，而且很多性質與實數

性質相同.

(2)兩個向量數量積的性質的作用：

①可以求兩個向量的夾角；

②用于判斷空間兩個向量垂直；

③主要用于對向量模的計算.

(3)利用向量解立體幾何問題的一般方法：把角度或線段轉化為

向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明解

決問題.

(4)用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題，一般用向量

共線定理；解決兩點距離或線段長度問題，一般用向量的模；求異面

直線的夾角問題，一般可化為兩向量的夾角，但要注意兩種角范圍不

同，最后應注意轉化；解決垂直問題，一般可化為向量的數量積為零.

g課堂篇KETANGPIAN---------------------------------合作探究

題型一空間向量的加法、減法

【例1】已知4BCO為正方形，尸是ABCQ所在平面外一點，

P在平面A8CD上的射影恰好是正方形的中心O,Q是CD的中點，

求下列各題中x，y的值：

(1)而=用+工用+海；

(2)^=xPb+yP^+Pb.

【思路探究】要確定等式區=池+工用+y或中x,y的值，

就是看而怎樣用用，PC,送來表示，同理要確定(2)中的1,y的值,

也需把慶用劭，通,及表示出來即可.

【解】⑴如圖.

D

'：o^2=p^-pb

=&一：(或+無)

=甩一料一;無，

1

..x=y=—y

（2），.,慶+定=2叫.,.成=2用一元

又\?卮+加=2故：.Pt=2P^~Pb.

從而有國=2劭一（2&一防）

=2Pb~2P^+Pb

??/=2,y==-2.

規律方法注意下面結論：設a,。，c是三個不共面的向量，如

果xia+yiZ>+zic=X2G+y2，+z2C,那么必有了i=%2,yi=y2,zi=z2.

窗El

如圖，在正方體A8CD-A方中，點￡是上底面AEC。的中

心，求下列各式中的％,y,z的值:

^A^'^xAb+y^B+zAk'.

（2）苗=H!）+yA^+z血

解：（1）撫，=疵+代，=油+疝+蓊，，

又位=%疝+避+為即,

x=1jy=1?z=1.

（2）屈=/，+檢=翁，+；死，=/'+；（/（方+何，）=翁，+；（油

+助）油

又或=一屈=-；助-Al，，E\=xAb-]-yA^-{-zAA',

??x=-2，y=-25z=-1.

題型二空間向量的數乘

【例2】如圖，點E,F,G,"分別是空間四邊形A3CO的邊

AB,BC,CD,D4上的點，其中E,”是中點，F,G是三等分點，

且CF=2所，CG=2GD求證：的與晶為共線向量.

【思路探究】要證的與希共線，根據共線向量定理只要證明

西=2前即可.

【證明】,:E,〃分別是AB,AD的中點，

Eh=^H~XE=^Ab-j^B

1—一1-

=2（AD—A5）=2^￡>.

又?：CF=2FB,CG=2GD,

.,.#=|西c&=|cb.

:.Fb=cb-CF=^cb-l^B

=|（cb—C!B）=|BT）.

3_

：.Bb=^Fb.

：.Eh=^Fb.

.?.曲與質;為共線向量.

規律方法（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數九

使4=勸成立，或充分利用空間向量的運算法則，結合具體圖形，通

過化簡、計算得出”=勸，從而得到。〃兒

（2）共線向量定理還可用來判定兩直線平行、證明三點共線.在

證明兩直線平行時，先取兩直線的方向向量，通過證明此兩向量共線

來判定兩直線平行.當兩共線的有向線段有公共點時一，兩直線即為同

一直線，即此時三點共線.

銃對訓瀾2

已知空間四邊形ABC。，E,F,G,H分別是43,BC,CD,DA

的中點.求證：四邊形MG”為平行四邊形.

證明：如圖，連接8D,

解法1:E,”分別是AB,DA的中點,

.\AE=^AB,Ah=^Ab,

：.曲=而一腦=；（初一協）

=^BD.

同理可得前=；肋，：.Ek=Fb.

又點后不在FG上,

:.EH〃FG且EH=FG.

I.四邊形EFGH為平行四邊形.

解法2:,血=月力+而=；(A力+員7)=；疵，EF=EB+BF=^

(牯+病)=次，.?.后6=彷.又點H不在EF上，J.HG//EF且HG

=EF,

：.四邊形EFGH是平行四邊形.

題型三空間向量的數量積

【例3】如圖所示，在長方體ABCDAiBGOi中，AB=4,AD

=3,A4i=2,E為側面A3的中點，尸為Ai￡h的中點，試計算：

⑴肥西(2)呼.病；

(3)EFFdi.

【思路探究】長方體的棱對應的向量模長已知，且它們之間的

夾角已知，因此，可利用向量的線性運算，將其他向量的數量積運算

轉化為這些向量的數量積，從而達到簡單運算的目的.

【解】設油=a,AD=b,AA\=C,則⑷=4,|例=3,|C|=2,

ab=ac=bc=0.

(1)JB&￡^I=Z>[^(C—?)+Z>]=1z>c—^?Z>+Z>2=|Z>|2=9.

(2)BF-A^i=(c—?+^Z>)-(a+c)=?-c+c2-a2—

c2—(r=—12.

11l111

f^^--

Fcl2-2-z.044

11

A2-2

力23

2-+-44

2a

規律方法在空間圖形中計算數量積的方法步驟：

(1)在幾何體中求空間向量數量積的步驟：

①將相關向量用已知模和夾角的向量線性表示；

②利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量

的數量積；

③代入G6=|G||A|COS〈a,b)求解.

(2)長方體、四面體等是研究空間向量的常見載體，要熟悉其結

構特點，善于挖掘隱含的垂直或特殊角等.

如圖，已知E是正方體A8CDA1B1G。的棱G9的中點，試求

向量4亳與麻夾角的余弦值.

解：設自=。，Aib\=b,A\A=c,則A；d=a+〃，防=；。一c,

ab=ac=bc=O.

設正方體的棱長為m,

、行

則|否6|=也相，及|=看m.

Aiti-龐=(a+5)?俁—c)

=^\a\1—a-c-\-^a-b-b-c=^m2,

*9

2m麗

cos（AiCi,DEy=后--=J。.

\l2m-2,n

故向量4而'i與建1夾角的余弦值為

庇具扁TIGAOPIAN-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------自我超越

——多維探究——

待定系數法

用不共面的向量表示空間的其他向量，一般要用向量的加法、

減法、數乘的運算法則，包括加法的平行四邊形法則和三角形法則.

【例4】已知矩形ABC。，P為平面ABCO外一點，且用，平

ffiABCD,M,N分別為PC,PO上的點，且PMMC=,N為

中點，求滿足血=■+汨）+z^A的實數％,y,z的值.

【思路分析】結合圖形，從向量麗V出發，利用向量運算法則

不斷進行分解，直到目標向量用油，Ab,亦表示出來，即可求出工,

y,z的值.

【解】（方法一）如圖所示，取PC的中點E,連接NE,則硒=

E^-EKI.

,:域=；Cb=3/

=-；版EM=PKl-fE

連接AC,則無=杭一仆=油+中一油，

：.MN=-1AB-1（AS+Ab-AP）

911

=一.油一zAb+7■油，

366

.21_1

??%__§，不z_—

（方法二）如圖所示，在產力上取一點尸，使尸分可）所成的比為2,

連接則麗V=橋+司V,

22

而祈穴=3份=-利瓦

F^=^N~^F=^DP~^DP

=:濟=/（介-疝），

A21［一

，g=——TAZ）+TAP.

366

._2_1_1

??X——3,y——6,z_g

（方法三）如圖，疝v=兩一成;

=；（或+疝）一|（國+At）

112A3於

=力,（-仆+能+通）

711

=—rAfi—yAb+TAP,

366

211

-

X--y--一Z--

*36

6?

專％II瀾4

已知空間四邊形Q43C的棱04OB,8C互相垂直，0A=03

="=1，N是。。的中點，點M在A5上，若端=%,試探究”的

值，使MNLAA

解：如圖，由于瑞=%

則篦7=”

，麗=(］一%防+%血

麗/龍耳物十南,

麗2?一血=抽+坡一(1-%肪一%仍

=(%—1)勿1+g—%)及+g反?.

又腦=防一歷1,MN.LAB,

:.弧?矗=0,

即口一1肪十七一%)協+坡］.(-5+附=0.

?.?次，麗,覺互相垂直且它們長度為1,從而求;一%+1—x=0,

歹3

付l=不

聯kIR國篇GONGGUPIAN當堂演練

1.如圖，在正方體ABCO-AiBiG。中，向量表達式防1一油十

能化簡后的結果是(

A.BDIB?B

C.B^DD.mi

解析：Db\-AB+B(2=Db\+{B\+B(J)=Dbx-\-Bb=Bbx.

2.設⑷=1,|回=2,且〈a,b)=120。，則(2a+6)2=(D)

A.2事B.12

C.2D.4

解析：(2。+32=4。2+4。1+"=4+4XlX2Xcosl20°+4=4.

3.已知非零向量a,力不平行，并且⑷=|。|,則與”一方之

間的位置關系是垂直.

解析：(a+b>(a—b)=a2—b2=0,

(a+Z>)J-(?—b).

4.已知在空間四邊形OABC中，OB=OC,AB=AC,求證：OA

LBC.

證明：如圖.

'：OB=OC,

AB=AC,OA=OA.

：./\AOC^/\AOB,

：.ZAOC=ZAOB.

?.?醇.能=次?（龍一循）=次.龍.循=|次||求IcosN

40。一|阿?兩cosNAOB=0,

：.^A±Bt,FpOA.LBC.

§3向量的坐標表示和空間向量基本定理

3.1空間向量的標準正交分解與坐標表示

3.2空間向量基本定理

Z---------------------------------學習目標----------------------------------重點睚點-----------------

1.能記住空間向量基本定理及其意義.

2.能說出空間向量的正交分解及其坐標表示.:重點：空間向量的坐標表示.

3.會用一組基底表示向量,能計算一個向量在另一：難點：將平面向量的坐標表示推廣到空間向量.

個向量上的投影.|

\______________________________：_______________________________?

4m.9為篇YUXIPIAN新知導學

細讀課本

知識點一空間向量的標準正交分解與坐標表示

［填一填］

(1)在給定的空間直角坐標系中，令i,j,無分別為X軸，y軸，Z

軸正方向上的單位向量,對于空間任意向量。，存在唯一一組三元有

序實數(%,y,z),使得a=xi+M+zA.我們把a—xi-\-yj+zk叫作a的

標準正交分解,把i,j,左叫作標準正交基.

(2)(%,y,z)叫作空間向量a的坐標，記作a=(x,y,z).a=(x,

y,z)叫作向量a的坐標表示.在空間直角坐標系中,點P的坐標為(%,

y,z),向量由的坐標也是(%,y,z).

［答一答］

空間點的坐標和空間的點為何是一一對應的？

提示：在空間直角坐標系中，過空間點M向平面xOy引垂線，

有且只有一條，設垂足為N,而N在xOy面內的橫縱坐標都是唯一

的，所以空間點的坐標和空間點是一一對應的.即在空間直角坐標系

0-孫z中，對空間任一點存在唯一的有序實數組(X,y,z),使血

=xi-\-yj-\-zk,x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標.如圖.

M(x,y,z)

N(x,y,0)

知識點二向量a在向量b上的投影

［填一填］

一般地，若6()為分的單位向量，稱。?瓦)=|a|-cos〈a,b)為向量

。在向量方上的投影.可見，向量的坐標等于它在坐標軸正方向上的

投影.

［答一答］

求證：向量的坐標等于它在坐標軸正方向上的投影.

提示：設4=蘇+力+2左，

.\ai=xii-\-yji~\-zki,

由于i_Lj,k±i,：.ij=0,ki=0,

.'.ai=x,同理ak=z.

知識點三空間向量基本定理

［填一填］

(1)如果向量3,C2,C3是空間三個不共面的向量，G是空間任一

向量，那么存在唯---組實數無，不，心，使得a=X\e\+hei+^e3.

空間中不共面的三個向量力，。2,63叫作這個空間的一個基底.2⑻

+義202+2363表示向量4關于基底幻，02,03的分解.

(2)特別地，當向量為，C2,63兩兩垂直時，就得到這個向量的一

個正交分解.當e1=i,e2=j,03=左時，就是標準正交分解.

[答一答]

求證：滿足々=為.+2202+^303中的21,石，■是唯一的.

提示：設a=2/ei+22'e2+23'e3,

又a=X\e\+2262+2363,

/.AlCl+丸202+2363=九'61+22'62+義3’63,

:.(21-21')ei+“2-石')02+-3-丸3‘)。3=0,

又?.7],62,03是空間三個不共面的向量，

Ai，=/ll,^.2=^2,^3，=^3,

即九，A2,■是唯一的.

?|特別關注

1.關于空間向量的標準正交分解與坐標表示的幾個注意點：

(1)投影a?加=|a|cos｛a,b)是一個實數.

兀

①若〈a,b)G[0,2)?則。如＞。；

7T

②若〈a,b)=1,則abo=O；

jr

③若(a,b)G(-,TI],則很加＜0.

(2)建立坐標系時一，應注意點。的任意性，原點O的選擇要便于

解決問題，既有利于作圖的直觀性，又要盡可能地使各點的坐標為正.

2.空間向量基本定理說明：

(1)用空間三個不共面的已知向量組｛⑨，02,03｝可以線性表示出

空間任意一向量，而且表示的結果是唯一的.

(2)空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基

底.

(3)由于0可看作是與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零

向量共面，所以三個向量不共面，就隱含它們都不是0.

要明確：一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一

個向量，二者是相關聯的不同概念.

3.特殊向量的坐標表示：

若向量。平行x軸，則a=(%,0,0).

若向量a平行y軸，貝ija=(0,y,0).

若向量。平行z軸，則a=(0,0,z).

若向量a平行％Oy平面，則a=(%,y,0).

若向量a平行yOz平面，則a=(0,y,z).

若向量a平行zQx平面，則a=(%,0,z).

喧課堂篇KETANGPIAN合作探究

題型一空間向量的坐標表示

【例1】如圖所示，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,

M,N分別是AB,PC的中點，并且B4=AQ=1.求前，河的坐標.

建立空間直求的標準

【思路探究】

角坐標系正交分解式

【解】由題意可知B4=AO=48=1,且朋_L平面AC,ADA-

AB,不妨以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，其中疝=i,AB=

j,Ap=k.AKl=^B=^j,歡=#+兩=力+；無=崩+；（慶+協+

111

5，V

力

規律方法用坐標表示空間向量的一般步驟：

(1)找垂線：仔細觀察圖形特征，尋找兩兩垂直的三條直線.若

無，則需構造兩兩垂直的三條直線；

(2)取基底：取(1)中找出的三條直線的單位方向向量為基底；

(3)建坐標系：根據圖形特征建立空間直角坐標系；

(4)進行計算：綜合利用向量的加減及數乘運算；

(5)確定結果：確定目標向量的坐標.

針對訓愕期11

如圖，在空間直角坐標系中有長方體OABCORbC,且Q4=6,

OC=8,OO'=5.

(1)寫出點9的坐標，并給出防，關于i,j,A的標準正交分解式;

(2)寫出的坐標.

解：(1)因為OA=6,OC=8,OO'=5,所以點3,的坐標為(6,8,5),

從而防'=(6,8,5)=6i+町+54.

(2)因為點。的坐標是(0,8,5),所以沅'=(0,8,5).

題型二空間向量基本定理

【例2】如圖，已知出_L平面A3CQ,四邊形A8CQ為正方形,

G為△PDC的重心，AB=i,AD=j,AP=k,試用基底｛i,j,幻表示

向量化,Bb.

【思路探究】利用三角形法則，平行四邊形法則將向量Bb

2

用油，Ab,力來表示.由于點G為△PQC的重心，所以有PG=^PN.

901

【解】兩=大兩=于5(卮+加)]

=/成+油+疝+疝一硝

=|A^+|AI)—

=g+務—泉

而=求+西+祐

=武+的+;海

=Ab—^DC—^P^I

規律方法用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、

數乘的運算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法

則.逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示.

錯知II瀾2

如圖所示，在平行六面體ABCQ-AEC。中，A^=a,Ab=b,AA'

=c,P是C4的中點，M是C。的中點，N是的中點，點。在

C4上，且CQQA'=,用基底｛a,b,c｝表示以下向量.

（1）AP；（2）詢；（3）歡；（4）&.

解：連接AC,AD'.

⑴力=；（疵+而）=；瀛+A方+何

=；（a+5+c）.

⑵前/=g（杭+/0，）=；（a+2A+c）

1,,,1

=于十5+產

⑶歡=；（房+辦

=2[(油+疝+翁，)+(協+成/

=；a+~+c.

(4)破=疵+詼=疵+如，

=At'+|(A^,-At)

=；杭+,筋，=/循+疝)+,筋，

_1,1,,4

一鏟+?+聲

題型三空間向量基本定理的簡單應用

【例3】如圖所示，平行六面體A8CD-A1B1GO1中，E,F分

12

別在B山和AO上，且BE.BBi,DF=^DDx.

(1)證明：A、E、G、廠四點共面；

(2)若麗=JtA^+yAl)+z筋1,求％+y+z.

【思路探究】第⑴問要證明四點共面只需證明瓶”可用造，

A7r表示即可；第(2)問中求％+y+z只需先把辟用At),表不

出來，求出入、y、z,再求x+y+z.

【解】(1)證明：?.?段|=油+才力+/Q]

>A12一

=AB~\~Ab+^AA\

—12-?

=（A^+^TOI）+（AI）+^A1I）

=AB+BE+AD+DF=XE-￥XF,

，A、E、Ci>F四點、共面.

⑵，.,呼=辦一他

=中+加一（油+雇）

f2f—?]

=AD-\-^pb\

=—A百+Ab+|y4Ai,

?*?x=-1,y=1?z=q.

.??x+y+z=g.

規律方法證明三個向量共面.，直線與平面平行或直線在平面內,

四點共面，都要利用共面向量定理，即對于向量P來說是否存在工,

y,使p=%a+y。成立.

銃而Oa3

已知A,B,C三點不共線，平面ABC外的一點M滿足血=；血

（1）判斷加，而瓦碇三個向量是否共面；

（2）判斷點M是否在平面ABC內.

角星：（D；次+怎+抗=3而，

.,例一曲=（而一曲+（血一困.

.?.必=麗+曲=一訕一砒.