專題1.2命題及其關系、充分條件與必要條件【核心素養分析】1.理解命題的概念。2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系。3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義。4.重點考查數學抽象、邏輯推理實力的核心素養。【學問梳理】學問點一命題及其關系1．命題用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的陳述句叫做命題，其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其相互關系(1)四種命題間的相互關系(2)四種命題的真假關系①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．學問點二充分條件與必要條件1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p【特殊提示】1．充要條件的兩個結論(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．(2)若p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的充分不必要條件．2．一些常見詞語及其否定詞語是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一個是不等于不大于【典例剖析】高頻考點一四種命題及其相互關系例1、（2024·福建三明一中模擬）命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是()A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1【答案】D【解析】命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的學問，可知其逆否命題為“若綈q，則綈p”的形式，所以“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”．故選D.【規律方法】由原命題寫出其他三種命題的方法由原命題寫出其他三種命題，關鍵要分清原命題的條件和結論，將原命題的條件與結論互換即得逆命題，將原命題的條件與結論同時否定即得否命題，將原命題的條件與結論互換的同時進行否定即得逆否命題。【變式探究】（2024·浙江杭州十四中模擬）有下列四個命題，其中真命題是()①“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”的逆命題；②“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題；③“若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實根”的逆否命題；④“等邊三角形的三個內角均為60°”的逆命題．A．①② B．①②③④C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】①“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”的逆命題為“若lgx＋lgy＝0，則xy＝1”，該命題為真命題；②“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題為“若a·b≠a·c，則a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，據此可知a不垂直(b－c)，該命題為真命題；③若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判別式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有實根，為真命題，則其逆否命題為真命題；④“等邊三角形的三個內角均為60°”的逆命題為“三個內角均為60°的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題．綜上可得，真命題是①②③④.故選B.高頻考點二充分條件與必要條件的推斷例2、(1)(2024·高考天津卷)設x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2024·高考北京卷)設函數f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數)，則“b＝0”是“f(x)為偶函數”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于區間(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件．(2)b＝0時，f(x)＝cosx，明顯f(x)是偶函數，故“b＝0”是“f(x)是偶函數”的充分條件；f(x)是偶函數，則有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，又cos(－x)＝cosx，sin(－x)＝－sinx，所以cosx－bsinx＝cosx＋bsinx，則2bsinx＝0對隨意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函數”的必要條件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函數”的充分必要條件，故選C.【規律方法】充要條件的推斷方法(1)定義法：依據p?q，q?p進行推斷.(2)集合法：依據使p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行推斷.(3)等價轉化法：依據一個命題與其逆否命題的等價性，把要推斷的命題轉化為其逆否命題進行推斷.這個方法特殊適合以否定形式給出的問題.【變式探究】（2024·吉林長春外國語學校模擬）設x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】2－x≥0，則x≤2，(x－1)2≤1，則－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，據此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分條件．高頻考點三充分條件、必要條件的應用例3、（2024·湖南株洲二中模擬）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求實數m的取值范圍。【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又∵S為非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.綜上，m的取值范圍是[0，3].【方法技巧】依據充分、必要條件求參數的值或取值范圍的關鍵點(1)先合理轉化條件,常通過有關性質、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉化為最值問題等,得到關于參數的方程或不等式(組),再通過解方程或不等式(組)求出參數的值或取值范圍.(2)求解參數的取值范圍時,肯定要留意區間端點值的檢驗,尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時,不等式是否能夠取等號確定端點值的取舍,處理不當簡單出現漏解或增解的現象.【變式探究】（2024·山西平遙中學模擬）若關于x的不等式|x－1|<a成立的充分條件是0<x<4，則實數a的取值范圍是()A．a≤1 B．a<1C．a>3 D．a≥3【答案】D【解析】|x－1|<a?－a<x