山西大學附屬中學2025屆數學高二上期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等差數列的前項和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.52．將數列中的各項依次按第一個括號1個數，第二個括號2個數，第三個括號4個數，第四個括號8個數，第五個括號16個數，…，進行排列，，，…，則以下結論中正確的是（）A.第10個括號內的第一個數為1025 B.2021在第11個括號內C.前10個括號內一共有1025個數 D.第10個括號內的數字之和3．已知點，和直線，若在坐標平面內存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，則點P的坐標為（）A.或 B.或C.或 D.或4．若圓與直線相切，則（）A.3 B.或3C. D.或5．已知函數在處取得極小值，則（）A. B.C. D.6．曲線與曲線（）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等7．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.18．已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.9．散點圖上有5組數據：據收集到的數據可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.210．已知數列滿足：對任意的均有成立，且，，則該數列的前2022項和（）A0 B.1C.3 D.411．已知直線，，若，則實數的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-312．空氣質量指數大小分為五級指數越大說明污染的情況越嚴重，對人體危害越大，指數范圍在：，，，，分別對應“優”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個等級，如圖是某市連續14天的空氣質量指數趨勢圖，下面說法錯誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質量指數為“良”B.從2日到5日空氣質量越來越差C.這14天中空氣質量的中位數是103D.連續三天中空氣質量指數方差最小是9日到11日二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線交于兩點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______14．已知P，A，B，C四點共面，對空間任意一點O，若，則______.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，右頂點為，為雙曲線上一點，且，線段的垂直平分線恰好經過點，則雙曲線的離心率為_______16．已知數列滿足，，則使得成立的n的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓關于直線對稱，且圓心C在軸上.（1）求圓C的方程；（2）直線與圓C交于A、B兩點，若為等腰直角三角形，求直線的方程.18．（12分）已知：，:.(1)當時，求實數的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.19．（12分）已知函數.（1）若，求函數的單調區間；（2）設存在兩個極值點，且，若，求證：.20．（12分）已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）求在的最大值.21．（12分）如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點（1）求圓錐的表面積；（2）求點B到直線CD的距離22．（10分）已知正項數列的首項為，且滿足，（1）求證：數列為等比數列；（2）記，求數列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由以及等差數列的性質，可得的值，再結合即可求出公差.【詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.2、D【解析】由第10個括號內的第一個數為數列的第512項，最后一個數為數列的第1023項，進行分析求解即可【詳解】由題意可得，第個括號內有個數，對于A，由題意得前9個括號內共有個數，所以第10個括號內的第一個數為數列的第512項，所以第10個括號內的第一個數為，所以A錯誤，對于C，前10個括號內共有個數，所以C錯誤，對于B，令，得，所以2021為數列的第1011項，由AC選項的分析可得2021在第10個括號內，所以B錯誤，對于D，因為第10個括號內的第一個數為，最后一個數為，所以第10個括號內的數字之和為，所以D正確，故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查數列的綜合應用，解題的關鍵是由題意確定出第10個括號內第一個數和最后一個數分別對應數列的哪一項，考查分析問題的能力，屬于較難題3、C【解析】設點的坐標為，根據，點到直線的距離為，聯立方程組即可求解.【詳解】解：設點的坐標為，線段的中點的坐標為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點在直線上，∴，又點到直線：的距離為，∴，即，聯立可得、或、，∴所求點的坐標為或，故選：C4、B【解析】根據圓與與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標準方程為：，則圓心為，半徑為，因為圓與與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，故選：B5、A【解析】由導數與極值與最值的關系，列式求實數的值.【詳解】由條件可知，，，解得：，，檢驗，時，當，得或，函數的單調遞增區間是和，當，得，所以函數的單調遞減區間是，所以當時，函數取得極小值，滿足條件.所以.故選：A6、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為.對照選項可知：焦距相等.故選：D.7、A【解析】由題意可得，利用空間向量數量積的坐標表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量，，所以，解得，所以的值為，故選：A.8、B【解析】由漸近線方程，設出雙曲線方程，結合與橢圓有相同的焦點，求出雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線：的一條漸近線方程為：∴設雙曲線：∵雙曲線與橢圓有相同的焦點∴，解得：∴雙曲線的方程為.故選：B.9、C【解析】通過樣本中心點來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C10、A【解析】根據可知，數列具有周期性，即可解出【詳解】因為，所以，即，所以數列中的項具有周期性，，由，，依次對賦值可得，，一個周期內項的和為零，而，所以數列的前2022項和故選：A11、C【解析】由，結合兩直線一般式有列方程求解即可.【詳解】由知：,解得：或故選：C.12、C【解析】根據題圖分析數據，對選項逐一判斷【詳解】對于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質量指數為“良”，故A正確對于B，從2日到5日空氣質量指數越來越高，故空氣質量越來越差，故B正確對于C，14個數據中位數為：，故C錯誤對于D，觀察折線圖可知D正確故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析可知，由可求得結果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，.故答案為：.14、【解析】由條件可得存在實數，使得，再用向量表示出向量，即可得出答案.詳解】P，A，B，C四點共面,則存在實數，使得所以即所以，解得故答案為：15、【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齊次式，化簡即可求出離心率【詳解】設雙曲線：，，不妨設為雙曲線右支上一點因為線段的垂直平分線恰好經過點，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化簡得，，即，而，解得故答案為：16、11【解析】由題設可得，結合等比數列的定義知從第二項開始是公比為2的等比數列，進而寫出的通項公式，即可求使成立的最小值n.【詳解】因為，所以，兩式相除得，整理得.因為，故從第二項開始是等比數列，且公比為2，因為，則，所以，則，由得：，故故答案為：11.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據題意得到等量關系，求出，，進而求出圓的方程；（2）結合第一問求出的圓心和半徑，及題干條件得到圓心到直線的距離為，列出方程，求出的值，進而得到直線方程【小問1詳解】由題意得：直線過圓心，即，且，解得：，，所以圓C的方程為；【小問2詳解】的圓心為，半徑為2，由題意得：，圓心到直線的距離為，即，解得：或，所以直線的方程為：或.18、(1)；(2).【解析】(1)將代入即可求解；(2)首先結合已知條件分別求出命題和的解，寫出，然后利用充分不必要的特征即可求解.【詳解】(1)由題意可知，，解得，故實數的取值范圍為；(2)由，解得或，由，解得，故命題：或；命題：，從而：或，因為是的充分不必要條件，所以或或，從而，解得，故實數的取值范圍為.19、（1）在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數的導函數，再令、，分別求出函數的單調區間；（2）先求出，構造函數，求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的最小值，從而證明結論【小問1詳解】解：當時，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調遞減，，而，即，20、（1）（2）【解析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數單調區間，整體代入即可求解.（2）根據三角函數的單調性即可求解.【小問1詳解】，，解得，所以函數的單調遞增區間為【小問2詳解】由（1），解得函數的單調遞減區間為，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，，，所以函數的最大值為.21、（1）（2）【解析】（1）直接運用圓錐的表面積公式計算即可；