專題01勾股定理中的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數學中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內問題的關鍵是將立體圖形轉化為平面問題求解，然后構造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計算跟圓柱有關的最短路徑問題時，要注意圓柱的側面展開圖為矩形，利用兩點之間線段最短結合勾股定理進行求解，注意展開后兩個端點的位置，有時候需要用底面圓的周長進行計算，有時候需要用底面圓周長的一半進行計算。注意：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開—定點—連線—勾股定理的步驟進行計算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數。【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023春·山東臨沂·八年級統考期末）如圖，已知圓柱底面的周長為，圓柱高為，在圓柱的側面上，過點和點嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果，在求線段長時，根據勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖，把圓柱的側面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為的長度．

圓柱底面的周長為，圓柱高為，，，，，這圈金屬絲的周長最小為．故選：D．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，圓柱的側面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．例2．（2023·湖北十堰·統考一模）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的形池，該形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計），點在上，一滑板愛好者從點滑到點，則他滑行的最短距離為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】滑行的距離最短，即是沿著的線段滑行，我們可將半圓展開為矩形來研究，展開后，、、三點構成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，寫出和的長，根據題意，由勾股定理即可得出的距離．【詳解】解：將半圓面展開可得：米，米，

在中，（米）．即滑行的最短距離為米．故選：C．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，型池的側面展開圖是一個矩形，此矩形的寬是半圓的弧長，矩形的長等于本題就是把型池的側面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．例3．（2023春·四川德陽·八年級?？计谥校┤鐖D，圓柱底面半徑為，高為，點A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點順著圓柱側面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為___________cm．【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【詳解】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B的運動最短路線是：；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：；又∵圓柱高為，∴小長方形的一條邊長是；根據勾股定理求得；∴；故答案為：15．【點睛】本題主要考查了平面展開--路徑最短問題．圓柱的側面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．模型2.長方體中的最短路徑模型【模型解讀】長方體中最短路徑基本模型如下：計算跟長方體有關的最短路徑問題時，要熟悉長方體的側面展開圖，利用兩點之間線段最短結合勾股定理進行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。注意：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進行討論；2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2022·貴州貴陽·八年級?？茧A段練習）如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點出發繞三棱柱側面兩圈到達點，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正三棱柱展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【詳解】∵一只螞蟻從A點出發繞三棱柱側面兩圈到達點，∴如圖所示，將正三棱柱展開2次，∴，∵正三棱柱的高∴．故選：D．【點睛】此題考查了最短路徑問題．解決本題的關鍵是熟練掌握用勾股定理的應用，要注意數形結合思想的應用．例2．（2023·廣東·八年級?？计谥校┤鐖D，長方體的長、寬、高分別為．如果一只小蟲從點開始爬行，經過兩個側面爬行到另一條側棱的中點處，那么這只小蟲所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根據題意把圖形展開，連接，得出的長就是從處爬到處的最短路程，分為三種情況展開，根據勾股定理求出的長，再比較即可.【詳解】如圖將正面與右面展開在同一平面，連接，由勾股定理得：，

如圖將下底面與后面展開在同一平面，連接，由勾股定理得：，如圖將下底面與右面展開在同一平面，連接，由勾股定理得：，∴從處爬到處的最短路程是，故選：．【點睛】此題考查了立方體側面展開圖最短路徑問題，解題關鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意要進行分類討論．例3．（2023秋·綿陽市·八年級專題練習）如圖，一個長方體盒子，其中，，為上靠近的三等分點，在大長方體盒子上有一個小長方體盒子，，，，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點爬行到點，它爬行的最短路程為．

【答案】10【分析】如圖，將面、、展開在同一個平面內，連接，則為最短路徑，由題意知，，，，則，由勾股定理得，，計算求解即可．【詳解】解：如圖，將面、、展開在同一個平面內，連接，則為最短路徑，由題意知，，，，∴，由勾股定理得，，故答案為：10．【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，勾股定理最短路徑的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．例4．（2023·湖北十堰·統考模擬預測）如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點在墻面上，若米，點到的距離是6米，有一只螞蟻要從點爬到點，它的最短行程是（

）米A．16 B． C．15 D．14【答案】B【分析】可將教室的墻面與地面展開，連接，根據兩點之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過P作于G，連接，∵米，米，∴米，∴（米），∴（米）∴這只螞蟻的最短行程應該是米，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了平面展開-最短路徑問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉換為平面圖形的兩點間的線段長來進行解決．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開—定點—連線—勾股定理【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023秋·四川宜賓·八年級統考期末）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個臺階上兩個相對的頂點，A點處有一只螞蟻，它想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是________米．【答案】5【分析】先將臺階展開，再根據勾股定理求解即可．【詳解】將三級臺階展開，如圖所示．可知（米），（米），根據兩點之間線段最短，可知為最短路徑，根據勾股定理得（米）．故答案為：5．【點睛】本題考查了根據兩點之間線段最短求最短路徑，勾股定理等，勾股定理是求線段長的常用方法．例2．（2023春·四川成都·九年級校考階段練習）如圖所示，是長方形地面，長，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點爬到點，它必須翻過中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出的長，再把中間的墻平面展開，使原來的長方形長度增加而寬度不變，求出新長方形的對角線長即可得到范圍．【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加，原圖長度增加，則，連接，四邊形是長方形，，寬，，螞蚱從點爬到點，它要走的路程．故答案為：．【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據題意畫出圖形是解答此題的關鍵．例3．（2023春·重慶八年級課時練習）在一個長為米,寬為米的長方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱長平行且大于場地寬，木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【分析】如圖，將木塊展開，相當于長方形草地的長多了正三角形的一個邊長，長方形的長為米，因為長方形的寬為3米，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是對角線，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將木塊展開，相當于長方形草地的長多了正三角形的一個邊長，長方形的長為米，長方形的寬為3米，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是對角線，米，故答案為．【點睛】本題主要考查勾股定理的應用，根據題意將木塊展開，再利用兩點之間線段最短是解題關鍵．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據兩點之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側到內側最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結合勾股定理求解?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023春·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．【詳解】把玻璃杯的側面展開，如圖，把點A向上平移6cm到點C，連接，過點B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為．故選：B【點睛】本題考查了勾股定理的應用，根據題意把圓柱展開，化曲為直是解決問題的關鍵．例2.（2022·陜西·八年級期中）有一個如圖所示的長方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內壁處有一粒食物，且，一只小蟲想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內的處吃掉食物．（1）你認為小蟲應該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標注．（2）求小蟲爬行的最短路線長（不計缸壁厚度）．【答案】（1）見解析；（2）100cm【分析】(1)做出A關于BC的對稱點A’，連接A’G，與BC交于點Q，由兩點之間線段最短，此時A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G為直角△A’EG的斜邊，根據勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)如下圖所示，作點A關于BC所在直線的對稱點，連接，與交于點，由兩點之間線段最短，此時A’G最短，則為最短路線．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由對稱性可知，∴．故小蟲爬行的最短路線長為100cm．【點睛】本題考查的是利用勾股定理求最短路徑問題，本題的關鍵是根據對稱性作出A的對稱點A’，再根據兩點之間線段最短，從而可找到路徑求出解．例3．（2023春·河北保定·八年級統考期中）如圖，高速公路的同一側有A，B兩城鎮，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮到P的距離之和最小，則這個最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意畫出圖形，再利用軸對稱求最短路徑的方法得出點位置，進而結合勾股定理得出即可．【詳解】解：如圖所示：作點關于直線的對稱點，再連接，交直線于點則此時最小，過點作延長線于點，，，，，則，在中，，則的最小值為：．故選：B．【點睛】此題主要考查了應用與設計作圖，兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題．課后專項訓練1．（2023·遼寧沈陽·八年級?？计谥校┯幸粋€如圖所示的上底面是敞口的長方體透明玻璃魚缸，其長，高，寬，在頂點處有一塊面包屑，一只螞蟻想從魚缸外的點沿魚缸側面吃面包屑，螞蟻爬行的最短路線長是（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】把長方體玻璃魚缸側面展開在平面上，螞蟻爬行的最短路線長是線段的長，求出線段的長即可．【詳解】解：把長方體玻璃魚缸側面展開在平面上，螞蟻爬行的最短路線長是線段的長，，．故選：B．【點睛】本題考查最短路徑問題，關鍵是掌握兩點之間線段最短，從而可找到最短路徑．2．（2023春·廣西玉林·八年級統考期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處的最短距離（杯壁厚度不計）為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖（見解析），將杯子側面展開，作關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將杯子側面展開，作關于的對稱點，連接，作，交延長線于點，則，

由兩點之間線段最短可知，當點、F、B在同一條直線上時，取得最小值，最小值為的長度，由題意可知，，，則，即螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為，故選：D．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，將立體圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創造性思維能力．3．（2023春·山西呂梁·八年級統考階段練習）如圖，正方體的棱長為，已知點B與點C之間的距離為，一只螞蟻沿著正方體的表面從點A爬到點C，需要爬行的最短距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】要求正方體中兩點之間的最短距離，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答即可．【詳解】解：按照正面和右面展開，如下：∴，，∴；按照正面和下面展開，如下：∴，，∴，按照上面和右面展開，如下：∴，，∴，∵，∴需要爬行的最短距離為．故選：B．【點睛】本題考查平面展開—最短路線問題，涉及到勾股定理，將正方體側面展開，利用兩點之間線段最短是解題的關鍵．4．（2023·四川成都·八年級?？计谥校┯幸粓A柱體如圖，高，底面周長，處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到處，求螞蟻爬行的最短距離為(

)

A．3 B． C．8 D．5【答案】D【分析】圓柱展開就是一個長方形，根據兩點之間線段最短可求出結果．【詳解】解：的長就是螞蟻爬行的最短距離．，分別是，的中點．

，．．故選：D．【點睛】本題考查了平面展開圖最短路徑問題，解題的關鍵是將圖形展開，轉化為直角三角形利用勾股定理解答．5．（2023·陜西榆林·八年級?？计谥校┤鐖D，圓柱的底面周長為，是底面圓的直徑，在圓柱表面的高上有一點，且，．一只螞蟻從點出發，沿著圓柱體的表面爬行到點的最短路程是．

【答案】10【分析】首先畫出圓柱的側面展開圖，根據底面周長為，求出的值；再在中，根據勾股定理求出的長，即為所求．【詳解】解：圓柱側面展開圖如圖所示，

∵圓柱的底面周長為，∴．∵，．∴，在中，，∴，即螞蟻從A點出發沿著圓柱體的表面爬行到點D的最短距離是10cm．故答案為10．【點睛】此題主要考查了平面展開圖，以及勾股定理的應用，做題的關鍵是畫出圓柱的側面展開圖．6．（2023·江蘇·八年級專題練習）如圖是一個長為6cm、寬為3cm、高為4cm的長方體木塊．一只螞蟻要沿著長方體的表面從左下角的點A處爬行至右上角的點B處，那么這只螞蟻所走的最短路線的長為cm．【答案】【分析】把此長方體的一面展開，然后在平面內，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得．【詳解】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得；（2）展開前面上面由勾股定理得；（3）展開左面上面由勾股定理得．∵，∴最短路徑的長為．故答案為：．【點睛】本題考查的是平面展開?最短路徑問題，解題的關鍵是正確理解兩點之間，線段最短．并在平面圖形上構造直角三角形解決問題．7．（2023春·湖南永州·八年級校考階段練習）如圖，有一個長方體，長、寬、高分別為6，4，4，在長方體的底面A處，有一螞蟻，它想吃長方體上面與A相對的B點處的食物，那么最短需要爬行的路程是．

【答案】10【分析】將長方體展開，把這個長方體中螞蟻所走的路線放到一個平面內，在平面內線段最短，根據勾股定理即可計算．【詳解】解：第一種情況∶把我們所看到的前面和上面組成一個平面，

則這個長方形的長和寬分別是8和6，則所走的最短線段是；第二種情況∶把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是10和4，所以走的最短線段是；第三種情況∶把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，

則這個長方形的長和寬分別是10和4，所以走的最短線段是；三種情況比較而言，第一種情況最短，故答案為∶10．【點睛】考查了平面展開—最短路徑問題，此題的關鍵是明確兩點之間線段最短這一知識點，然后把立體的長方體放到一個平面內，求出最短的線段．8．（2023春·陜西西安·八年級統考期末）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高厘米，底面周長厘米，在杯口內壁離杯口厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的內壁，的相對方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是厘米．

【答案】【分析】將杯子側面展開，作關于杯口的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求，再結合勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示：將杯子側面展開，作關于杯口的對稱點，連接，最短距離為的長度，

厘米，最短路程為厘米．故答案為：．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．9．（2023春·重慶江津·八年級?？茧A段練習）如圖，圓柱的底面周長為10，，動點從A點出發，沿著圓柱的側面移動到點，則移動的最短距離為

【答案】【分析】先把圓柱的側面展開，連接，利用勾股定理即可得出的長．【詳解】解：如圖所示，

∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是平面展開一最短路徑問題,根據題意畫出圓柱的側面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．10．（2023春·吉林·八年級統考期中）如圖，已知圓柱底面直徑，高．小蟲在圓柱表面爬行，先從點C爬行到點A．再沿另一面爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為．

【答案】100【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：把圓柱側面展開，展開圖如圖所示，

點A．C的最短距離為線段的長．在中，，，為底面半圓弧長，，所以，∴從C點爬到A點，然后再沿另一面爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為．故答案為：100．【點睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題，解題的關鍵是會將圓柱的側面展開，并利用勾股定理解答．11．（2023春·安徽蕪湖·八年級校考階段練習）已知，且x，y均為正數，則的最小值是．【答案】【分析】將轉化為：，看作是平面直角坐標系中，x軸上一點到點，的距離之和，進而得到當三點共線時，的值最小，即為點和點之間的距離，進行求解即可．【詳解】解：∵，且x，y均為正數，∴，∴，∴可看作是平面直角坐標系中，x軸上一點到點，的距離之和，∴當三個點共線時，的值最小，即為點和點之間的距離，∴的最小值為：；故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理．解題的關鍵是將代數式的最值問題轉化為坐標系下兩點間的距離問題．12．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是寸．【答案】25【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計算，則根據兩點之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長度．【詳解】解：將臺階展開矩形，線段恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長分別為24寸，7寸，由勾股定理得寸．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，把立體幾何圖中的問題轉化為平面幾何圖中的問題是解題的關鍵．13．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點順著圓柱側面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為cm．【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【詳解】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B的運動最短路線是：；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：；又∵圓柱高為，∴小長方形的一條邊長是；根據勾股定理求得；∴；故答案為：15．【點睛】本題主要考查了平面展開--路徑最短問題．圓柱的側面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．14．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖是某滑雪場U型池的示意圖，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為3的半圓，其邊緣，點在上，．一名滑雪愛好者從點滑到點時，他滑行的最短路程約為（取3）．【答案】15【分析】要使滑行的距離最短，則沿著的線段滑行，先將半圓展開為長方形，展開后，A、D、E三點構成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，求出和的長，再據勾股定理求出的長度即可．【詳解】解：將半圓面展開可得，如圖所示：∵滑行部分的斜面是半徑為3的半圓∴，∵，，∴，在中，．故答案為：15．【點睛】本題考查了勾股定理的應用和兩點之間線段最短，解題關鍵是把U型池的側面展開成長方形，“化曲面為平面”，再利用勾股定理求解．15．（2023春·河北承德·九年級統考階段練習）如圖，長方體盒子的長、寬、高分別為4，3，5．（1）一根長7的木棒能否放人盒子里？__________（選填“能”或“不能”）（2）一只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂的B點，螞蟻爬行的最短行程為__________．【答案】能【分析】（1）利用勾股定理求出線段的長度與7比較大小即可；（2）將長方形的盒子按不同方式展開，得到不同的矩形，求出不同矩形的對角線，最短者即為正確答案．【詳解】如圖，長方體盒子的長、寬、高分別為4，3，5∴（1）在中，在中，∴一根長7的木棒能放人盒子里．故答案為：能；（2）①如圖1，展開后連接，則就是在表面上A到B的最短距離，在中，由勾股定理得：；②如圖2，展開后連接，則就是在表面上A到B的最短距離，在中，由勾股定理得：；③如圖3，展開后連接，則就是在表面上A到B的最短距離，在中，由勾股定理得：．∴螞蟻爬行的最短路程是.故答案為：．【點睛】本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理等知識點，關鍵是能畫出展開圖形并能求出符合條件的最短路線．16．（2023春·山東臨沂·八年級統考期中）如圖，透明圓柱的底面半徑為6厘米，高為12厘米，螞蟻在圓柱側面爬行．從圓柱的內側點爬到圓柱的外側點處吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．

【答案】30【分析】把圓柱的側面展開，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：∵透明圓柱的底面半徑為6厘米，∴透明圓柱的底面周長為厘米≈36厘米，作點A關于直線EF的對稱點，連接A′B，則的長度即為它爬行最短路程，∴厘米，厘米，

∴，故答案為：30．【點睛】本題考查平面展開-最短路徑問題，解題的關鍵是計算出圓柱展開后所得長方形的長和寬的值，然后用勾股定理進行計算．17．（2022·內蒙古包頭·九年級統考自主招生）圓柱的高為，底面半徑為，點B離地面，一只蜘蛛以的速度從底面上的點A處繞曲面到達點B捕食被網到的昆蟲，蜘蛛到昆蟲所在點B所用最短時間是多少？（π取3）

【答案】蜘蛛到昆蟲所在點B所用最短時間是2秒【分析】將圓柱的側面展開，先求出，再利用勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖，將圓柱的側面展開，∵底面半徑為，∴，由題意得，∴，∴，∴蜘蛛到昆蟲所在點B所用最短時間為：，答：蜘蛛到昆蟲所在點B所用最短時間是2秒．

【點睛】本題考查了常見幾何體的展開圖，勾股定理的應用，此類問題應先根據題意把立體圖形展開成平面圖形，再確定兩點之間的最短路徑；一般情況是利用的兩點之間線段最短，在平面圖形中構造直角三角形，用勾股定理求解．18．（2023春·廣西賀州·八年級統考期中）如圖，某工廠前面有一條筆直的公路，原來有兩條路，可以從工廠到達公路，經測量，，，現需要修建一條路，使工廠到公路的路程最短．請你用尺規作圖畫出最短路徑（不寫畫法，保留作圖痕跡），并求出新建路的長．

【答案】圖見解析，【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形