2025屆山東省濟南市歷城區歷城第二中學高二上數學期末監測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）A. B.2C. D.2．橢圓的一個焦點坐標為，則（）A.2 B.3C.4 D.83．如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.4．變量，之間有如下對應數據：3456713111087已知變量與呈線性相關關系，且回歸方程為，則的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.35．①直線在軸上的截距為；②直線的傾斜角為；③直線必過定點；④兩條平行直線與間的距離為.以上四個命題中正確的命題個數為（）A. B.C. D.6．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.7．已知直線過點，，則直線的方程為（）A. B.C. D.8．已知向量，，且，則實數等于（）A1 B.2C. D.9．已知兩個向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.810．拋物線的準線方程是，則實數的值為（）A. B.C.8 D.11．拋物線的焦點到直線的距離（）A. B.C.1 D.212．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準線與坐標軸的交點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.14．對于下面這個等式我們除了可以用等比數列的求和公式獲得，還可以用數學歸納法對其進行證明“”，那么在應用數學歸納法證明時，當驗證是否成立時，左邊的式子應該是_______15．已知數列，點在函數的圖象上，則數列的前10項和是______16．復數（其中i為虛數單位）的共軛復數______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求適合條件的橢圓的標準方程.（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點；（2）在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且焦距為6.18．（12分）圓心在軸正半軸上、半徑為2的圓與直線相交于兩點且.（1）求圓的標準方程；（2）若直線，圓上僅有一個點到直線的距離為1，求直線的方程.19．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，點A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點P，Q，求∠PFQ的大小20．（12分）已知數列的前n項和，（1）求數列的通項公式；（2）設，，求數列的前n項和21．（12分）在等差數列中，（1）求數列的通項公式；（2）設，求.22．（10分）命題存在，使得；命題對任意的，都有（1）若命題p為真時，求實數a的取值范圍；若命題q為假時，求實數a的取值范圍；（2）如果命題為真命題，命題為假命題，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據雙曲線的幾何性質和平面幾何性質，建立關于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項.【詳解】由題意可設右焦點為，因為，且圓：，所以點在以焦距為直徑的圓上，則，設的中點為點，則為的中位線，所以，則，又點在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點睛】方法點睛：(1)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉化為關于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對于焦點三角形，要注意雙曲線定義的應用，運用整體代換的方法可以減少計算量2、D【解析】由條件可得，，，，由關系可求值.【詳解】∵橢圓方程為：，∴，∴，，∵橢圓的一個焦點坐標為，∴，又，∴，∴，故選：D.3、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設是的中點，連接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以兩兩垂直.由此將三棱錐補形成正方體如下圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為.設正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故選：.4、D【解析】將樣本中心點代入回歸方程后求解【詳解】，，將樣本中心點代入回歸方程，得故選：D5、B【解析】由直線方程的性質依次判斷各命題即可得出結果.【詳解】對于①，直線，令，則，直線在軸上的截距為-，則①錯誤；對于②，直線的斜率為，傾斜角為，則②正確；對于③直線，由點斜式方程可知直線必過定點，則③正確；對于④，兩條平行直線與間的距離為，則④錯誤.故選：B.6、C【解析】由，可得存在實數，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因為，所以存在實數，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C7、C【解析】根據兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.【詳解】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即故選：C8、C【解析】利用空間向量垂直的坐標表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數等于.故選：C9、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標運算計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：B10、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.11、B【解析】由拋物線可得焦點坐標，結合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點坐標為，根據點到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點到直線的距離為.故選：B.12、B【解析】設直線的傾斜角為，設垂直于準線于，由拋物線的性質可得，則，當直線PA與拋物線相切時，最小，取得最大值，設出直線方程得到直線和拋物線相切時的點P的坐標，然后進行計算得到結果.【詳解】設直線的傾斜角為，設垂直于準線于，由拋物線的性質可得，所以則，當最小時，則值最大，所以當直線PA與拋物線相切時，θ最大，即最小，由題意可得，設切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標為1，即P的坐標，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質．解題的關鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關的小題，很多時可以應用結論來處理的；平時練習時應多注意拋物線的結論的總結和應用．尤其和焦半徑聯系的題目，一般都和定義有關，實現點點距和點線距的轉化二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、∪【解析】根據題意得出且與不共線，然后根據向量數量積的定義及向量共線的條件求出x的取值范圍.【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，即，且，解得，且，∴x的取值范圍是∪.故答案為：∪.14、【解析】根據已知條件，結合數學歸納法的定義，即可求解.【詳解】當，，故此時式子左邊=.故答案為：.15、【解析】將點代入可得，從而得，再由裂項相消法可求解.【詳解】由題意有，所以，所以數列的前10項和為：.故答案為：16、##【解析】根據共軛復數的概念，即可得答案.【詳解】由題意可知：復數（其中i為虛數單位）的共軛復數，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）待定系數法去求橢圓的標準方程即可；（2）待定系數法去求橢圓的標準方程即可.【小問1詳解】當橢圓焦點在x軸上時，方程可設為，將點代入得，解之得，則所求橢圓方程為當橢圓焦點在y軸上時，方程可設為，將點代入得，解之得，則所求橢圓方程為【小問2詳解】橢圓方程可設為，則，解之得，則橢圓方程為18、（1）；（2）或.【解析】（1）根據圓的弦長公式進行求解即可；（2）根據平行線的性質，結合直線與圓的位置關系進行求解即可.小問1詳解】因為圓的圓心在軸正半軸上、半徑為2，所以設方程為：，圓心，設圓心到直線的距離為，因為，所以有，或舍去，所以圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）可知：，圓的半徑為，因為直線，所以設直線的方程為，因為圓上僅有一個點到直線的距離為1，所以直線與該圓相離，當兩平行線間的距離為，于是有：，當時，圓心到直線的距離為：，符合題意；當時，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時直線的方程為.當兩平行線間的距離為，于是有：，當時，圓心到直線的距離為：，不符合題意；當時，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時直線的方程為.故直線方程為或.19、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當直線l的斜率不存在時，驗證，即∠PFQ＝90°．當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達定理，結合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數量積，轉化求解即可【小問1詳解】由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0聯立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，直線MA的方程為，令x＝4，得，即，同理可得所以，因為0，所以∠PFQ＝90°綜上，∠PFQ＝90°20、（1）；（2）【解析】（1）將代入可求得.根據通項公式與前項和的關系,可得數列為等比數列,由等比數列的通項公式即可求得數列的通項公式.（2）由（1）可得數列的通項公式,代入中,結合裂項法求和即可得前n項和.【詳解】（1）當時,由得；當時,由得是首項為3,公比為3的等比數列當,滿足此式所以（2）由（1）可知,【點睛】本題考查了通項公式與前項和的關系,裂項法求和的應用,屬于基礎題.21、（1）（2）1280【解析】（1）直接利用等差數列通項公式即可求解；（2）先判斷出數列單調性，由，則時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】設數列的公差為，由，可知，∴;【小問2詳解】由（1）知，數列為單調遞減數列