2025屆甘肅省蘭州市七里河區蘭州五十五中高二數學第一學期期末統考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（）A. B.C. D.2．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，以為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點，直線與雙曲線的右支交于點，點恰好為線段的三等分點(靠近點)，則雙曲線的離心率等于（）A. B.C. D.3．一質點從出發，做勻速直線運動，每秒的速度為秒后質點所處的位置為（）A. B.C. D.4．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.5．直線過橢圓內一點，若點為弦的中點，設為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（）A. B.C. D.6．頂點在原點，關于軸對稱，并且經過點的拋物線方程為（）A. B.C. D.7．是等差數列，，，的第（）項A.98 B.99C.100 D.1018．拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，點在拋物線上，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.9．如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內，且，設異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.10．已知數據的平均數是，方差是4，則數據的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.411．在平面直角坐標系中，已知橢圓的上、下頂點分別為、，左頂點為，左焦點為，若直線與直線互相垂直，則橢圓的離心率為A. B.C. D.12．在的展開式中，的系數為（）A. B.5C. D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線：和：，且，則實數__________，兩直線與之間的距離為__________14．寫出一個數列的通項公式____________，使它同時滿足下列條件：①，②，其中是數列的前項和.（寫出滿足條件的一個答案即可）15．已知點，拋物線的焦點為，點是拋物線上任意一點，則周長的最小值是__________.16．已知數列{an}滿足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1=2，a2=3，則a2022的值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若在處取得極值，求在處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）若函數在上無零點，求實數的取值范圍.18．（12分）某公園有一形狀可抽象為圓柱的標志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米．在建筑物底面中心O的東北方向米的點A處，有一全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物的高度（1）在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監控范圍內？（2）求觀景直道不在該攝像頭的監控范圍內的長度19．（12分）已知數列滿足（1）求；（2）若，且數列的前n項和為，求證：20．（12分）已知橢圓的左焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過點作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點，點，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值21．（12分）已知數列滿足，（1）證明是等比數列，（2）求數列的前項和22．（10分）已知二次函數.（1）若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.（2）解關于的不等式（其中）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量的加減法、數乘運算推導即可.【詳解】.故選：B.2、C【解析】設，，根據雙曲線的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設，則，由雙曲線的定義可得：，，因為點在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題3、A【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】2秒后質點所處的位置為.故選：A【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，考查了基本知識掌握的情況以及學生的綜合素養，屬于基礎題.4、C【解析】取中點，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數計算的正弦值.【詳解】取中點，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C5、A【解析】設點與的坐標，進而可表示與，再結合兩點在橢圓上，可得的值.【詳解】設點與，則，，所以，，又點與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.6、C【解析】根據題意，設拋物線的方程為，進而待定系數求解即可.【詳解】解：由題，設拋物線的方程為，因為在拋物線上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C7、C【解析】等差數列，，中，，，由此求出，令，得到是這個數列的第100項【詳解】解：等差數列，，中，，令，得是這個數列的第100項故選：C8、B【解析】首先根據題意設出拋物線的方程，利用點在曲線上的條件為點的坐標滿足曲線的方程，代入求得參數的值，最后得到答案.【詳解】解：根據題意設出拋物線的方程，因為點在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.9、D【解析】設線段的中點為，連接，過點在平面內作，垂足為點，證明出平面，然后以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設線段的中點為，連接，，為的中點，則，，則，，同理可得，，，平面，過點在平面內作，垂足為點，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點，平面，平面，則，，，平面，以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，則、、、，由于點在平面內，可設，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當的空間直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.10、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數據的方差為：.故選：B11、C【解析】依題意，直線與直線互相垂直，，，故選12、C【解析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.-4；②.2【解析】根據兩直線平行斜率相等求解參數即可；運用兩平行線間的距離公式計算兩直線之間的距離可得出答案.【詳解】解：直線和，，，解得；∴兩直線與間的距離是：.故答案為：；2.14、(答案合理即可)【解析】當時滿足，利用作差比較法即可證明.【詳解】解：當時滿足條件①②，證明如下：因為，所以；當時，；當時，；綜上，.故答案為：(答案合理即可).15、##【解析】利用拋物線的定義結合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點為，準線的方程為，過點作，垂足為，則，所以的周長為，當且僅當三點共線時等號成立.故答案為：.16、【解析】根據遞推關系求出數列的前幾項，得周期性，然后可得結論【詳解】由題意，，，，，，所以數列是周期數列，周期為6，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）.【解析】（1）根據在處取極值可得，可求得，驗證可知滿足題意；根據導數的幾何意義求得切線斜率，利用點斜式可求得切線方程；（2）求導后，分別在和兩種情況下討論導函數的符號，從而得到的單調性；（3）根據在上無零點可知在上的最大值和最小值符號一致；分別在，兩種情況下根據函數的單調性求解最大值和最小值，利用符號一致構造不等式求得結果.【詳解】（1）由題意得：在處取極值，解得：則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增為極小值點，滿足題意函數當時，由得：在處的切線方程為：，即：（2）由題意知：函數的定義域為，①當時若，恒成立，恒成立在內單調遞減②當時由，得：；由得：在內單調遞減，在內單調遞增綜上所述：當時，在內單調遞減；當時，在內單調遞減，在內單調遞增（3）①當時，在上單調遞減在上無零點，且②當時（i）若，即，則在上單調遞增由，知符合題意（ii）若，即，則在上單調遞減在上無零點，且（iii）若，即，則在上單調遞減，在上單調遞增，，符合題意綜上所述，實數的取值范圍是【點睛】本題考查導數在研究函數中的應用問題，涉及到導數幾何意義、極值與導數的關系、討論含參數函數的單調性、根據區間內零點個數求解參數范圍問題.本題的關鍵是能夠通過分類討論的方式，確定導函數的符號，從而判斷出函數的單調性以及最值.18、（1）不在（2）17.5米【解析】（1）以O為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標系，求出直線AB方程，判斷直線AB與圓O的位置關系即可；（2）攝像頭監控不會被建筑物遮擋，只需求出過點A的直線l與圓O相切時的直線方程即可.【小問1詳解】以O為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標系則，觀景直道所在直線的方程為依題意得：游客所在點為則直線AB的方程為，化簡得，所以圓心O到直線AB的距離，故直線AB與圓O相交，所以游客不在該攝像頭監控范圍內.【小問2詳解】由圖易知：過點A的直線l與圓O相切或相離時，攝像頭監控不會被建筑物遮擋，所以設直線l過A且恰與圓O相切，①若直線l垂直于x軸，則l不可能與圓O相切；②若直線l不垂直于x軸，設，整理得所以圓心O到直線l的距離為，解得或，所以直線l的方程為或，即或，設這兩條直線與交于D，E由，解得，由，解得，所以，觀景直道不在該攝像頭的監控范圍內的長度為17.5米.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求得，猜想，然后利用數學歸納法進行證明.（2）利用放縮法證得結論成立.【小問1詳解】依題意，，，，猜想，下面用數學歸納法進行證明：當時，結論成立，假設當時結論成立，即，由，，所以當時，有，結論成立，所以當時，.【小問2詳解】由（1）得，且為單調遞增數列，所以.所以.20、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點可得c，再根據離心率可得a，即得b；（2）先設直線方程x=ty+m，根據向量數量積表示，將直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理代入化簡可得為定值的條件，解出m；根據點到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據面積公式可得關于t的函數，最后根據基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：（1）設F1（﹣c，0），∵拋物線y2=﹣4x的焦點坐標為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，∴c=1，又橢圓E的離心率為，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故橢圓Γ的標準方程為：（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣要使為定值，則，解得m=1或m=（舍）當m=1時，|AB|=|y1﹣y2|=，點O到直線AB的距離d=，△OAB面積S=∴當t=0，△OAB面積的最大值為.21、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個與n無關的非零常數，從而得出結論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項為，公比為的等比數列,，所以，（2）由（1）知的通項公式為；則所以【點睛】本題主要考查等比數列的證明以及分組求和法，屬于基礎題22、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1