第11講實際問題與二次函數【知識梳理】一．二次函數的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．二．根據實際問題列二次函數關系式根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．三．二次函數的應用（1）利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數模型解決實際問題利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【考點剖析】一．二次函數的最值（共8小題）1．（2023春?錢塘區月考）已知一個二次函數圖象經過P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y4，則y1，y2，y3中最值情況是（）A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大 C．y2最小，y3最大 D．無法判斷2．（2023春?樂清市月考）已知函數y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣83．（2023?越城區三模）二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤04．（2023?紹興）在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形．例如：如圖，函數y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形OABC．若二次函數圖象的關聯矩形恰好也是矩形OABC，則b＝．5．（2023?啟東市二模）在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點．已知二次函數的圖象上有且只有一個完美點（2，2），且當0≤x≤m時，函數y＝ax2+5x+c﹣（a≠0）的最小值為﹣，最大值為1，則m的取值范是．6．（2023?九臺區校級模擬）已知拋物線y＝x2﹣2ax+a﹣1圖象上有A、B兩點，我們把A、B兩點間的圖象記為圖象G，點A的橫坐標為a+2，點B的橫坐標為2a+1，當﹣3≤a≤﹣1時，圖象上最高點的縱坐標與最低點的縱坐標的差為．7．（2023?蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．點P從點A出發，以1cm/s的速度沿AB運動：同時，點Q從點B出發，2cm/s的速度沿BC運動．當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設動點運動的時間為t（s）．（1）當t為何值時，△PBQ的面積為2cm2；（2）求四邊形PQCA的面積S的最小值．8．（2023?莒南縣二模）已知函數y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當﹣4≤x≤0時，求y的最大值與最小值的差．（3）當m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．二．根據實際問題列二次函數關系式（共10小題）9．（2022秋?南關區校級期末）如圖，某農場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各面用木材圍成柵欄，該農場計劃用木材圍成總長24m的柵欄，設面積為s（m2），垂直于墻的一邊長為x（m）．則s關于x的函數關系式：（并寫出自變量的取值范圍）10．（2022秋?濟南期末）學校準備將一塊長20m，寬14m的矩形綠地擴建，如果長和寬都增加xm，設增加的面積是ym2．（1）求x與y之間的函數關系式．（2）若要使綠地面積增加72m2，長與寬都要增加多少米？11．（2022秋?濟南期末）如圖．有一座拋物線形拱橋．在正常水位時橋下水面AB的寬度為20m．這時．拱高（點O到AB的距離）為4m．（1）你能求出在圖（a）的坐標系中．拋物線的函數表達式嗎？（2）如果將直角坐標系建成如圖（b）所示，拋物線的形狀、表達式有變化嗎？12．（2023?南海區模擬）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價40元，銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為y個，銷售單價為x元（x＞44），商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）13．（2022秋?大連期末）一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數關系式為（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x C．y＝100（1+x） D．y＝100（1﹣x）214．（2022秋?撫松縣期末）用長為8m的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，設AB為x（m），則窗框的透光面積y（m2）關于x（m）的函數表達式為（）A．y＝x（4﹣x） B．y＝x（8﹣3x） C．y＝x（8﹣3x） D．y＝x（8﹣3x）15．（2023?浦東新區模擬）如圖，用長為12米的籬笆圍成一個矩形花圃，花圃一面靠墻（墻的長度超過12米），設花圃垂直于墻的一邊長為x米，花圃面積為y平方米，那么y關于x的函數解析式為．（不要求寫出定義域）16．（2022秋?黃浦區期末）在一塊底邊長為20厘米的等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮，如果矩形的一邊與等腰三角形的底邊重合且長度為x厘米，矩形另兩個頂點分別在等腰直角三角形的兩腰上，設矩形面積為y平方厘米，那么y關于x的函數解析式是．（不必寫定義域）17．（2022秋?岳普湖縣校級期末）如圖，有一座拱橋洞呈拋物線形狀，這個橋洞的最大高度為16m，跨度為40m，現把它的示意圖放在如圖的平面直角坐標系中，則拋物線對應的函數關系式為．18．（2023?金水區校級模擬）將一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形（鐵絲全部用完且無損耗）如圖所示，設這個長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數關系式為（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25三．二次函數的應用（共8小題）19．（2023?晉中模擬）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標系，得到函數，在正常水位時水面寬AB＝30米，當水位上升5米時，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米20．（2023?吉州區校級二模）地理學上把兩翼指向上風方向，迎風坡平緩前進，背風坡陡呈弧線凸出，平面呈拋物線的沙丘叫做“拋物線型沙丘”．如圖1是我國最大沙漠塔克拉瑪干沙漠某處的拋物線型沙丘，以拋物線型沙丘最頂端為O點，建立如圖示所示的坐標系，若點A的坐標為（﹣15，﹣100），點B（a，﹣144）是圖1中沙丘左側兩個端點，則a的值為（）A．15 B．18 C．24 D．3621．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水距離也為3m，那么水管的設計高度應為．22．（2023?陳倉區三模）如圖，某動物園的大門由矩形ABCD和拋物線形DMC組成，分別以AB、AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，AD＝米，拋物線頂點M的坐標為．（1）求此拋物線對應的函數表達式；（2）近期需對大門進行裝修，工人師傅搭建一三角形木架OPE方便施工，點P正好在拋物線上且在點M右側，支撐桿PE⊥x軸于點E，PE＝3米，求支撐桿PE與大門最右側的水平距離BE．23．（2023?靖邊縣二模）物理課上我們學習了物體的豎直上拋運動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動的時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①小球在空中經過的路程是40m；②h與t之間的函數關系式為；③小球的運動時間為6s；④小球的高度h＝20m時，t＝1.5s．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個24．（2023?宜昌）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝m．25．（2023?順平縣模擬）如圖，這是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．現將噴灌架置于坡度為1：10的坡地底部點O處，草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為2.375米的石榴樹AB．（1）噴射出的水流與坡面OA之間的最大鉛直高度是米；（2）若要對這棵石榴樹進行噴灌，則需將噴灌架向后移動米．26．（2023?橫山區三模）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）OC＝1m，當噴射出的水流與噴灌架的水平距離為12m時，達到最大高度7m，草坡上距離O的水平距離為18m的點A處有一棵高米的小樹，小樹垂直水平地面且點A到水平地面的距離為3m．?（1）請判斷水流能否澆灌到小樹后面的草地？并說明理由；（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．【過關檢測】一、單選題1．（2023·浙江·九年級假期作業）某炮兵部隊實彈演習發射一枚炮彈，經x秒后的高度為y米，且時間x與高度y的關系為．若此炮彈在第5秒與第16秒時的高度相等，則在下列哪一個時間段炮彈的高度達到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒2．（2023·福建·統考中考真題）根據福建省統計局數據，福建省年的地區生產總值為億元，年的地區生產總值為億元．設這兩年福建省地區生產總值的年平均增長率為x，根據題意可列方程（）A． B．C． D．3．（2023春·安徽安慶·九年級統考期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢洶洶，為了更好地讓顧客做好防護，某商場銷售一款升級版的KN95口罩，市場信息顯示，銷售這種口罩，每天所獲的利潤y（元）與售價x（元/個）之間關系式滿足，第一天將售價定為16元/個，當天獲利132元，第二天將售價定為20元/個，當天獲利180元．則這種口罩的成本價是多少元/個？（單位利潤=售價?成本價）（

）A．10 B．12 C．14 D．154．（2023·全國·九年級假期作業）廊橋是我國古老的文化遺產，如圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數表達式為，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點E，F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米5．（2023·天津·統考中考真題）如圖，要圍一個矩形菜園，共中一邊是墻，且的長不能超過，其余的三邊用籬笆，且這三邊的和為．有下列結論：①的長可以為；②的長有兩個不同的值滿足菜園面積為；③菜園面積的最大值為．其中，正確結論的個數是（

）

A．0 B．1 C．2 D．36．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考三模）西安大雁塔音樂噴泉是西安的一張名片，許多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖出立坐標系后，可由函數確定，其中1為實數．若其中某個噴泉水柱的最大高度是4，則此時對應的t值為（）A．2 B．4 C．2或 D．4成7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）如圖，在正方形中，，動點M，N分別從點A，B同時出發，沿射線，射線的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接，，．設點M運動的路程為，的面積為，下列圖像中能反映與之間函數關系的是（

）

A．

B．

C．

D．

8．（2023·全國·九年級假期作業）如圖，利用一個直角墻角修建一個的四邊形儲料場，其中．若新建墻與總長為，則該儲料場的最大面積是（

）

A． B． C． D．9．（2023·河北唐山·二模）如圖是一款拋物線型落地燈筒示意圖，防滑螺母為拋物線支架的最高點，燈罩距離地面米，最高點距燈柱的水平距離為米，燈柱為米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離為多少米．（

）

A． B． C． D．10．（2023春·廣東梅州·九年級統考期中）利用長為的墻和長的籬笆來圍成一個矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長不小于，則這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為（

）A．， B．， C．， D．，二、填空題11．（2023·吉林長春·統考二模）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風景，現計劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是______米．

12．（2023·湖北襄陽·統考模擬預測）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用表示．在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，如果燈離地面的高度為，那么兩排燈的水平距離是________________米．13．（2023·湖北宜昌·統考中考真題）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是，則鉛球推出的距離_________m．

14．（2023春·江西宜春·九年級江西省宜豐中學校考階段練習）一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：米）關于水平距離x（單位：米）的函數解析式是，則該男生鉛球推出的距離是_______米．15．（2023·上海·九年級假期作業）如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為厘米和厘米，現在長寬上分別剪去寬為厘米（）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積關于的函數關系式為____________．

16．（2023·山東聊城·統考二模）某超市購進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發現，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數關系，則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為______元（利潤＝總銷售額－總成本）．

17．（2023·山東臨沂·統考二模）一塊三角形材料如圖所示，，，，用這塊材料剪出一個矩形，其中，點D，E，F分別在上，能夠剪出的矩形的面積最大為________．

18．（2023春·北京通州·九年級統考開學考試）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面，水面寬．如圖建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是________．

三、解答題19．（2023·河南駐馬店·統考三模）鄭州市彩虹橋新橋將于2023年9月底建成通車．新橋采用三跨連續單拱肋鋼箱系桿拱橋，既保留了歷史記憶，又展示出鄭州的開放與創新．新橋的中跨大拱的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，測得拱肋的跨度為120米，與中點O相距30米處有一高度為27米的系桿．以所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標系．

(1)求拋物線的解析式；(2)正中間系桿的長度是多少米？若相鄰系桿之間的間距均為3米（不考慮系桿的粗細），是否存在一根系桿的長度恰好是長度的？請說明理由．20．（2023·內蒙古·統考中考真題）隨著科技的發展，掃地機器人已廣泛應用于生活中，某公司推出一款新型掃地機器人，經統計該產品2022年每個月的銷售情況發現，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化、設該產品2022年第（為整數）個月每臺的銷售價格為（單位：元），與的函數關系如圖所示（圖中為一折線）．

(1)當時，求每臺的銷售價格與之間的函數關系式；(2)設該產品2022年第個月的銷售數量為（單位：萬臺），m與的關系可以用來描述，求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺的銷售價格銷售數量）21．（2023·云南昆明·云大附中校考三模）網絡銷售是一種重要的銷售方式．某鄉鎮農貿公司新開設了一家網店，銷售當地農產品．其中一種當地特產在網上試銷售，其成本為每千克10元．公司在試銷售期間，調查發現，每天銷售量與銷售單價（元）滿足如圖所示的函數關系（其中）

(1)求出與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)當時，設每天銷售該特產的利潤為元，則銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?22．（2023·山東聊城·統考三模）如圖，是學校灌溉草坪用到的噴水設備，噴水口C離地面垂直高度為1.5米，噴出的水流都可以抽象為平面直角