一、選擇題1．設記號*表示求、算術平均數的運算，即，則下列等式中對于任意實數，，都成立的是（）．①；②；③；④．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④2．一列數，，，……，其中=﹣1，=，=，……，=，則×××…×=（）A．1 B．-1 C．2017 D．-20173．已知邊長為的正方形面積為8，則下列關于的說法中，錯誤的是（）A．是無理數 B．是8的算術平方根C．滿足不等式組 D．的值不能在數軸表示4．下列說法中，錯誤的有（）①符號相反的數與為相反數；②當時，；③如果，那么；④數軸上表示兩個有理數的點，較大的數表示的點離原點較遠；⑤數軸上的點不都表示有理數．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．如圖，四個有理數m，n，p，q在數軸上對應的點分別為M，N，P，Q，若n+p=0，則m，n，p，q四個有理數中，絕對值最大的一個是（）A．p B．q C．m D．n6．設n為正整數，且n＜＜n+1，則n的值為（）A．5 B．6 C．7 D．87．任何一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q都是正整數，且p≤q），如果p×q在n的所有分解中兩個因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的黃金分解，并規定：F(n)=，例如：18可以分解為1×18；2×9；3×6這三種，這時F(18)=，現給出下列關于F(n)的說法：①F(2)=；②F(24)=；③F(27)=3；④若n是一個完全平方數，則F(n)=1，其中說法正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．按如圖所示的運算程序，能使輸出y值為1的是（）A． B． C． D．9．已知(取的末位數字)，(取的末位數字)，(取的末位數字)，…，則的值為（）A．4036 B．4038 C．4042 D．404410．數軸上有O、A、B、C四點，各點位置與各點所表示的數如圖所示．若數線上有一點D，D點所表示的數為d，且|d﹣5|＝|d﹣c|，則關于D點的位置，下列敘述正確的是？（）A．在A的左邊 B．介于O、B之間C．介于C、O之間 D．介于A、C之間二、填空題11．對于正數x規定，例如：，則f(2020)＋f(2019)＋……＋f(2)＋f(1)＋＝___________12．請先在草稿紙上計算下列四個式子的值：①；②；③；④，觀察你計算的結果，用你發現的規律直接寫出下面式子的值__________．13．觀察下列等式：1﹣＝，2﹣＝，3﹣＝，4﹣＝，…，根據你發現的規律，則第20個等式為_____．14．a※b是新規定的這樣一種運算法則：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，則x的值是_____．15．在研究“數字黑洞”這節課中，樂樂任意寫下了一個四位數（四數字完全相同的除外），重新排列各位數字，使其組成一個最大的數和一個最小的數，然后用最大的數減去最小的數，得到差:重復這個過程，……，樂樂發現最后將變成一個固定的數，則這個固定的數是__________．16．我們可以用符號f(a)表示代數式．當a是正整數時，我們規定如果a為偶數，f(a)＝0.5a；如果a為奇數，f(a)＝5a+1．例如：f(20)＝10，f(5)＝26．設a1＝6，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)…；依此規律進行下去，得到一列數：a1，a2，a3，a4…(n為正整數)，則2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2013﹣a2014+a2015＝_____．17．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值時，張紅發現：從第二個加數起每一個加數都是前一個加數的3倍，于是她假設：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的兩邊都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1，所以S=．得出答案后，愛動腦筋的張紅想：如果把“3”換成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正確答案是______．18．將1，，，按如圖方式排列．若規定（m，n）表示第m排從左向右第n個數，如（5，4）表示的數是（即第5排從左向右第4個數），那么（2021，1011）所表示的數是___．19．將1，，，按如圖方式排列．若規定，表示第排從左向右第個數，則所表示的數是___________．20．定義：如果將一個正整數寫在每一個正整數的右邊，所得到的新的正整數能被整除，則這個正整數稱為“魔術數”．例如：將2寫在1的右邊得到12，寫在2的右邊得到22，……，所得到的新的正整數的個位數字均為2，即為偶數，由于偶數能被2整除，所以2是“魔術數”．根據定義，在正整數3，4，5中，“魔術數”為____________；若“魔術數”是一個兩位數，我們可設這個兩位數的“魔術數”為，將這個數寫在正整數的右邊，得到的新的正整數可表示為，請你找出所有的兩位數中的“魔術數”是_____________．三、解答題21．閱讀材料：求的值．解：設①，將等式①的兩邊同乘以2，得②，用②－①得，即．即．請仿照此法計算：（1）請直接填寫的值為______；（2）求值；（3）請直接寫出的值．22．數學中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的運算，記為，如，則，則．①根據定義，填空：_________，__________．②若有如下運算性質：．根據運算性質填空，填空：若，則__________；___________；③下表中與數x對應的有且只有兩個是錯誤的，請直接找出錯誤并改正．x1.5356891227錯誤的式子是__________，_____________；分別改為__________，_____________．23．（閱讀材料）數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：“39”．鄰座的乘客十分驚奇，忙間其中計算的奧妙．你知道怎樣迅速準確的計算出結果嗎？請你按下面的步驟試一試：第一步：∵，，，∴．∴能確定59319的立方根是個兩位數．第二步：∵59319的個位數是9，∴能確定59319的立方根的個位數是9．第三步：如果劃去59319后面的三位319得到數59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數是3，因此59319的立方根是39．（解答問題）根據上面材料，解答下面的問題（1）求110592的立方根，寫出步驟．（2）填空：__________．24．探究與應用：觀察下列各式：1+3＝21+3+5＝21+3+5+7＝21+3+5+7+9＝2……問題：（1）在橫線上填上適當的數；（2）寫出一個能反映此計算一般規律的式子；（3）根據規律計算：（﹣1）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）+…+（﹣2019）．（結果用科學記數法表示）25．閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數，而無理是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部寫出來，于是小明用來表示的小數部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是的小數部分，又例如：∵，即，∴的整數部分為2，小數部分為。請解答（1）的整數部分是______，小數部分是_______。（2）如果的小數部分為a，的整數部分為b，求的值。（3）已知x是的整數部分，y是其小數部分，直接寫出的值.26．規定：求若千個相同的有理數（均不等于）的除法運算叫做除方，如等，類比有理數的乘方，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”，一般地，把記作，讀作“”的圈次方．（初步探究）（1）直接寫出計算結果：；；（2）關于除方，下列說法錯誤的是（）A．任何非零數的圈次方都等于B．對于任何正整數C．D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數（深入思考）我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（3）試一試：，依照前面的算式，將，的運算結果直接寫成冪的形式是，；（4）想一想：將一個非零有理數的圓次方寫成冪的形式是：；（5）算一算：．27．[閱讀材料]∵，即，∴，∴的整數部分為1，∴的小數部分為[解決問題]（1）填空：的小數部分是__________；（2）已知是的整數部分，是的小數部分，求代數式的平方根為______．28．規律探究，觀察下列等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：請回答下列問題：（1）按以上規律寫出第5個等式：=___________=___________（2）用含n的式子表示第n個等式：=___________=___________(n為正整數）（3）求29．數學中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的運算，記為，如，則，則．①根據定義，填空：_________，__________．②若有如下運算性質：．根據運算性質填空，填空：若，則__________；___________；③下表中與數x對應的有且只有兩個是錯誤的，請直接找出錯誤并改正．x1.5356891227錯誤的式子是__________，_____________；分別改為__________，_____________．30．（概念學習）規定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n個a（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．（初步探究）（1）直接寫出計算結果：2③＝，（﹣）⑤＝；（深入思考）我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成乘方的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝．（2）想一想：將一個非零有理數a的圈n次方寫成乘方的形式等于；【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【詳解】①中，，所以①成立；②中，，所以②成立；③中，所以③不成立；④中，，所以④成立．故選B.2．B解析：B【詳解】因為=﹣1,所以=,=,=,通過觀察可得:,,,……的值按照﹣1,,三個數值為一周期循環,將2017除以3可得672余1,所以的值是第673個周期中第一個數值﹣1,因為每個周期三個數值的乘積為:,所以×××…×=故選B.3．D解析：D【分析】根據題意求得，根據無理數的定義，算術平方根的定義，無理數的估算，實數與數軸一一對應逐項分析判斷即可【詳解】解：根據題意，，則A.是無理數，故該選項正確，不符合題意；B.是8的算術平方根，故該選項正確，不符合題意；C.即，則滿足不等式組，故該選項正確，不符合題意；D.的值能在數軸表示，故該選項不正確，符合題意；故選D【點睛】本題考查了無理數的定義，算術平方根的定義，無理數的估算，實數與數軸一一對應，是解題的關鍵．無理數的定義：“無限不循環的小數是無理數”，平方根：如果一個數的平方等于，那么這個數就叫的平方根，其中屬于非負數的平方根稱之為算術平方根．4．D解析：D【分析】根據相反數、絕對值、數軸表示數以及有理數的乘法運算等知識綜合進行判斷即可．【詳解】解：符號相反，但絕對值不等的兩個數就不是相反數，例如5和-3，因此①不正確；a≠0，即a＞0或a＜0，也就是a是正數或負數，因此|a|＞0，所以②正確；例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正確；例如-5表示的點到原點的距離比1表示的點到原點的距離遠，但-5＜1，因此④不正確；數軸上的點與實數一一對應，而實數包括有理數和無理數，因此⑤正確；綜上所述，錯誤的結論有：①③④，故選：D．【點睛】本題考查相反數、絕對值、數軸表示數，對每個選項進行判斷是得出正確答案的前提．5．B解析：B【分析】根據n+p=0可以得到n和p互為相反數，原點在線段PN的中點處，從而可以得到絕對值最大的數．【詳解】解：∵n+p=0，∴n和p互為相反數，∴原點在線段PN的中點處，∴絕對值最大的一個是Q點對應的q．故選B．【點睛】本題考查了實數與數軸及絕對值．解題的關鍵是明確數軸的特點．6．D解析：D【分析】首先得出＜＜，進而求出的取值范圍，即可得出n的值．【詳解】解：∵＜＜，∴8＜＜9，∵n＜＜n+1，∴n=8，故選；D．【點睛】此題主要考查了估算無理數，得出＜＜是解題關鍵．7．B解析：B【分析】將2，24，27，n分解為兩個正整數的積的形式，再找到相差最少的兩個數，讓較小的數除以較大的數進行排除即可．【詳解】解：∵2=1×2，∴F（2）=，故①正確；∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差絕對值最小∴F（24）=，故②是錯誤的；∵27=1×27=3×9，且3和9的絕對值差最小∴F（27）=，故③錯誤；∵n是一個完全平方數，∴n能分解成兩個相等的數的積，則F（n）=1，故④是正確的.正確的共有2個．故答案為B．【點睛】本題考查有理數的混合運算與信息獲取能力，解決本題的關鍵是弄清題意、理解黃金分解的定義．8．D解析：D【分析】逐項代入，尋找正確答案即可.【詳解】解：A選項滿足m≤n，則y=2m+1=3；B選項不滿足m≤n，則y=2n-1=-1；C選項滿足m≤n，則y=2m-1=3；D選項不滿足m≤n，則y=2n-1=1；故答案為D；【點睛】本題考查了根據條件代數式求值問題，解答的關鍵在于根據條件正確的所代入代數式及代入得值.9．C解析：C【分析】先計算部分數的乘積，觀察運算結果，發相規律，每運算5次后結果重復出現，求出++++和，再求2021次運算重復的次數，用除數5，商和余數表示2021=5×404+1，說明重復404次和的結果，（++++）×10+2計算結果即可．【詳解】解：，，，，，，，，，，，每5次運算一循環，++++=2+6+2+0+0=10，2021=5×404+1，=10×404+2=4040+2=4042．故選：C．【點睛】本題考查新定義運算，讀懂題目的含義與要求，掌握運算的方法，觀察部分運算結果，從中找出規律，用規律解決問題是解題關鍵．10．B解析：B【分析】借助O、A、B、C的位置以及絕對值的定義解答即可．【詳解】解：-5＜c<0，b=5，|d﹣5|＝|d﹣c|∴BD=CD，∴D點介于O、B之間．故答案為B．【點睛】本題考查了實數、絕對值和數軸等相關知識，掌握實數和數軸上的點一一對應是解答本題的關鍵．二、填空題11．5【分析】由已知可求，則可求．【詳解】解：，，，，故答案為：2019.5【點睛】本題考查代數值求值，根據所給條件，探索出是解題的關鍵．解析：5【分析】由已知可求，則可求．【詳解】解：，，，，故答案為：2019.5【點睛】本題考查代數值求值，根據所給條件，探索出是解題的關鍵．12．351【分析】先計算題干中四個簡單式子，算出結果，找出規律，根據規律得出最后式子的的值．【詳解】=1=3=6=10發現規律：1+2+3+∴1+2+3=351故答案為：351【點解析：351【分析】先計算題干中四個簡單式子，算出結果，找出規律，根據規律得出最后式子的的值．【詳解】=1=3=6=10發現規律：1+2+3+∴1+2+3=351故答案為：351【點睛】本題考查找規律，解題關鍵是先計算題干中的4個簡單算式，得出規律后再進行復雜算式的求解．13．20﹣．【分析】觀察已知等式，找出等式左邊和右邊的規律，再歸納總結出一般規律，由此即可得出答案．【詳解】觀察已知等式，等式左邊的第一個數的規律為，第二個數的規律為：分子為，分母為等式右邊的解析：20﹣．【分析】觀察已知等式，找出等式左邊和右邊的規律，再歸納總結出一般規律，由此即可得出答案．【詳解】觀察已知等式，等式左邊的第一個數的規律為，第二個數的規律為：分子為，分母為等式右邊的規律為：分子為，分母為歸納類推得：第n個等式為（n為正整數）當時，這個等式為，即故答案為：．【點睛】本題考查了實數運算的規律型問題，從已知等式中歸納類推出一般規律是解題關鍵．14．4【解析】根據題意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，進而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案為：4．點睛：此題是一個閱讀理解型的新運算法則題，解題關鍵是明確新運算法則的特點，然后直接根解析：4【解析】根據題意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，進而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案為：4．點睛：此題是一個閱讀理解型的新運算法則題，解題關鍵是明確新運算法則的特點，然后直接根據新定義的代數式計算即可.15．6174【分析】任選四個不同的數字，組成個最大的數和一個最小的數，用大數減去小數，如1234，4321-

1234=

3087，8730-378=

8352

，8532一2358=

617解析：6174【分析】任選四個不同的數字，組成個最大的數和一個最小的數，用大數減去小數，如1234，4321-

1234=

3087，8730-378=

8352

，8532一2358=

6174，6174是符合條件的4位數中唯一會產生循環的(7641-1467=

6174)

這個在數學上被稱之為卡普耶卡(Kaprekar)猜想.【詳解】任選四個不同的數字，組成一個最大的數和一個最小的數，用大數減去小數，用所得的結果的四位數重復上述的過程，最多七步必得6174，如1234，4321-1234

=3087，8730

-378

=

8352，8532-2358=

6174，這一現象在數學上被稱之為卡普耶卡(Kaprekar)猜想，故答案為：6174.【點睛】此題考查數字的規律運算，正確理解題意通過計算發現規律并運用解題是關鍵.16．7【分析】本題可以根據代數式f（a）的運算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的值，根據規律找出部分an的值，進而發現數列每7個數一循環，根據數的變化找出變化規律，依照規律即可得出結論解析：7【分析】本題可以根據代數式f（a）的運算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的值，根據規律找出部分an的值，進而發現數列每7個數一循環，根據數的變化找出變化規律，依照規律即可得出結論．【詳解】解：觀察，發現規律：a1=6，a2=f（a1）=3，a3=f（a2）=16，a4=f（a3）=8，a5=f（a4）=4，a6=f（a5）=2，a7=f（a6）=1，a8=f（a7）=6，…，∴數列a1，a2，a3，a4…（n為正整數）每7個數一循環，∴a1-a2+a3-a4+…+a13-a14=0，∵2015=2016-1=144×14-1，∴2a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2013-a2014+a2015=a1+a2016+（a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2015-a2016）=a1+a7=6+1=7．故答案為7．【點睛】本題考查了規律型中的數字的變化類以及代數式求值，解題的關鍵是根據數的變化找出變換規律，并且巧妙的借助了a1-a2+a3-a4+…+a13-a14=0來解決問題．17．.【解析】試題分析：設S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…①，在①式的兩邊都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…②②一①得：解析：.【解析】試題分析：設S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…①，在①式的兩邊都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…②②一①得：mS―S＝m2017－1.∴S＝.考點：閱讀理解題；規律探究題.18．1【分析】所給一系列數是4個數一循環，看是第幾個數，除以4，根據余數得到相應循環的數即可．【詳解】解：前2020排共有的個數是：，表示的數是第個數，，第2021排的第1011個數為1．解析：1【分析】所給一系列數是4個數一循環，看是第幾個數，除以4，根據余數得到相應循環的數即可．【詳解】解：前2020排共有的個數是：，表示的數是第個數，，第2021排的第1011個數為1．故答案為：1．【點睛】本題考查算術平方根與規律型：數字的變化類，根據規律判斷出是第幾個數是解本題的關鍵．19．【分析】根據數的排列方法可知，第一排：1個數，第二排2個數．第三排3個數，第四排4個數，…第m-1排有（m-1）個數，從第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）個數，根據數的排列解析：【分析】根據數的排列方法可知，第一排：1個數，第二排2個數．第三排3個數，第四排4個數，…第m-1排有（m-1）個數，從第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）個數，根據數的排列方法，每四個數一個輪回，根據題目意思找出第m排第n個數到底是哪個數后再計算．【詳解】解：（7，3）表示第7排從左向右第3個數，可以看出奇數排最中間的一個數都是1，1+2+3+4+5+6+3=24，24÷4=6，則（7，3）所表示的數是，故答案為．【點睛】此題主要考查了數字的變化規律，這類題型在中考中經常出現．判斷出所求的數是第幾個數是解決本題的難點；得到相應的變化規律是解決本題的關鍵．20．10、20、25、50．【分析】①由“魔術數”的定義，分別對3、4、5三個數進行判斷，即可得到5為“魔術數”；②由題意，根據“魔術數”的定義通過分析，即可得到答案．【詳解】解：根據解析：10、20、25、50．【分析】①由“魔術數”的定義，分別對3、4、5三個數進行判斷，即可得到5為“魔術數”；②由題意，根據“魔術數”的定義通過分析，即可得到答案．【詳解】解：根據題意，①把3寫在1的右邊，得13，由于13不能被3整除，故3不是魔術數；把4寫在1的右邊，得14，由于14不能被4整除，故4不是魔術數；把5寫在1的右邊，得15，寫在2的右邊得25，……由于個位上是5的數都能被5整除，故5是魔術數；故答案為：5；②根據題意，這個兩位數的“魔術數”為，則，∴為整數，∵n為整數，∴為整數，∴的可能值為：10、20、25、50；故答案為：10、20、25、50．【點睛】本題考查了新定義的應用和整數的特點，解題的關鍵是熟練掌握新定義進行解題．三、解答題21．（1）15；（2）；（3）．【分析】（1）先計算乘方，即可求出答案；（2）根據題目中的運算法則進行計算，即可求出答案；（3）根據題目中的運算法則進行計算，即可求出答案；【詳解】解：（1）；故答案為：15；（2）設①，把等式①兩邊同時乘以5，得②，由②①，得：，∴，∴；（3）設①，把等式①乘以10，得：②，把①+②，得：，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了數字的變化規律，熟練掌握運算法則，熟練運用有理數乘法，以及運用消項的思想是解題的關鍵．22．①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3a-b+c-1，f（12）=2-b-2c．【分析】①根據定義可得：f（10b）=b，即可求得結論；②根據運算性質：f（mn）=f（m）+f（n），f（）=f（n）-f（m）進行計算；③通過9=32，27=33，可以判斷f（3）是否正確，同樣依據5=，假設f（5）正確，可以求得f（2）的值，即可通過f（8），f（12）作出判斷．【詳解】解：①根據定義知：f（10b）=b，∴f（10）=1，f（103）=3．故答案為：1，3．②根據運算性質，得：f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=0.3010×2=0.6020，f（5）=f（）=f（10）-f（2）=1-0.3010=0.6990．故答案為：0.6020；0.6990．③若f（3）≠2a-b，則f（9）=2f（3）≠4a-2b，f（27）=3f（3）≠6a-3b，從而表中有三個對應的f（x）是錯誤的，與題設矛盾，∴f（3）=2a-b；若f（5）≠a+c，則f（2）=1-f（5）≠1-a-c，∴f（8）=3f（2）≠3-3a-3c，f（6）=f（3）+f（2）≠1+a-b-c，表中也有三個對應的f（x）是錯誤的，與題設矛盾，∴f（5）=a+c，∴表中只有f（1.5）和f（12）的對應值是錯誤的，應改正為：f（1.5）=f（）=f（3）-f（2）=（2a-b）-（1-a-c）=3a-b+c-1，f（12）=f（）=2f（6）-f（3）=2（1+a-b-c）-（2a-b）=2-b-2c．∵9=32，27=33，∴f（9）=2f（3）=2（2a-b）=4a-2b，f（27）=3f（3）=3（2a-b）=6a-3b．【點睛】本題考查了冪的應用，新定義運算等，解題的關鍵是深刻理解所給出的定義或規則，將它們轉化為我們所熟悉的運算．23．（1）48；（2）28【分析】（1）根據題中所給的分析方法先求出這幾個數的立方根都是兩位數，然后根據第二和第三步求出個位數和十位數即可．（2）根據題中所給的分析方法先求出這幾個數的立方根都是兩位數，然后根據第二和第三步求出個位數和十位數即可．【詳解】解：（1）第一步：，，，，能確定110592的立方根是個兩位數．第二步：的個位數是2，，能確定110592的立方根的個位數是8．第三步：如果劃去110592后面的三位592得到數110，而，則，可得，由此能確定110592的立方根的十位數是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：，，，，能確定21952的立方根是個兩位數．第二步：的個位數是2，，能確定21952的立方根的個位數是8．第三步：如果劃去21952后面的三位952得到數21，而，則，可得，由此能確定21952的立方根的十位數是2，因此21952的立方根是28．即，故答案為：28．【點睛】本題主要考查了數的立方，理解一個數的立方的個位數就是這個數的個位數的立方的個位數是解題的關鍵，有一定難度．24．（1）2、3、4、5；（2）第n個等式為1+3+5+7+…+（2n+1）＝n2；（3）﹣1.008016×106．【分析】(1)根據從1開始連續n各奇數的和等于奇數的個數的平方即可得到.(2)根據規律寫出即可.(3)先提取符號，再用規律解題.【詳解】解：（1）1+3＝221+3+5＝321+3+5+7＝421+3+5+7+9＝52……故答案為：2、3、4、5；（2）第n個等式為1+3+5+7+…+（2n+1）＝（3）原式＝﹣（1+3+5+7+9+…+2019）＝﹣10102＝﹣1.0201×106．【點睛】本題考查數字變化規律，解題的關鍵是找到第一個的規律，然后加以運用即可.25．（1）3；﹣3；（2）4；（3）x﹣y=7﹣．【分析】（1）由3＜＜4可得答案；（2）由2＜＜3知a=﹣2，由6＜＜7知b=6，據此求解可得；（3）由2＜＜3知5＜3+＜6，據此得出x、y的值代入計算可得．【詳解】（1）∵3＜＜4，∴的整數部分是3，小數部分是﹣3；故答案為3；﹣3．（2）∵2＜＜3，∴a=﹣2，∵6＜＜7，∴b=6，∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4．（3）∵2＜＜3，∴5＜3+＜6，∴3+的整數部分為x=5，小數部分為y=3+﹣5=﹣2．則x﹣y=5﹣（﹣2）=5﹣+2=7﹣．【點睛】本題考查了估算無理數的大小，解決本題的關鍵是熟記估算無理數的大小．26．（1），；（2）C；（3），；（4）；（5）-5．【分析】概念學習：（1）分別按公式進行計算即可；（2）根據定義依次判定即可；深入思考：（3）由冪的乘方和除方的定義進行變形，即可得到答案；（4）把除法化為乘法，第一個數不變，從第二個數開始依次變為倒數，結果第一個數不變為a，第二個數及后面的數變為，則；（5）將第二問的規律代入計算，注意運算順序．【詳解】解：（1）；；故答案為：，；（2）A、任何非零數的圈2次方都等于1；所以選項A正確；B、因為多少個1相除都是1，所以對于任何正整數n，1?都等于1；

所以選項B正確；C、，，則；故選項C錯誤；D、負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數，故D正確；故選：；（3）根據題意，，由上述可知：；（4）根據題意，由（3）可知，；故答案為：（5）．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，也是一個新定義的理解與運用；一方面考查了有理數的乘除法及乘方運算，另一方面也考查了學生的閱讀理解能力；注意：負數的奇數次方為負數，負數的偶數次方為正數，同時也要注意分數的乘方要加括號，對新定義，其實就是多個數的除法運算，要注意運算順序．27．（1）；（2）±3．【分析】（1）由于4＜7＜9，可求的整數部分，進一步得出的小數部分；（2）先求出的整數部分和小數部分，再代入代數式進行計算即可．【詳解】解：（1）∵4＜7＜9，∴，即，∴，∴的整數部分為2，∴的小數部分為；（2）∵是的整數部分，是的小數部分，9＜10＜16，∴，即，∴，∴的整數部分為3，的小數部分為，即有，，∴9的平方根為±3．∴的平方根為±3．【點睛】本題考查了估算無理數的大小：利用完全平方數和算術平方根對無理數的大小進行估算．28．（1）；；（2）；；（3）.【分析】（1）觀察前4個等式的分母先得出第5個式子的分母，再依照前4個等式即可得出答案；（2）根據前4個等式歸納類推出一般規律即可；（3）利用題（2）的結論，先寫出中各數的值，然后通過提取公因式、有理數