2025屆四川省成都市高新區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是面對(duì)角線與的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.2．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A. B.C. D.3．設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，為原點(diǎn)，若直線平分線段，則橢圓的離心率為A. B.C. D.4．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.5．已知為原點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.6．圓與的公共弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.7．圓心為的圓，在直線x﹣y﹣1＝0上截得的弦長(zhǎng)為，那么，這個(gè)圓的方程為（）A. B.C. D.8．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的方程為A B.C. D.9．函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.2411．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線PA對(duì)稱(chēng)，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.12．曲線在點(diǎn)處的切線方程是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度最短時(shí)，則三角形ABC的面積為_(kāi)_______14．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則p的值為_(kāi)_____15．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則_______16．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知，是經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)且與相切的兩條直線，斜率分別為，，直線的斜率為，求證：為定值.18．（12分）如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.（1）設(shè)面PAB面PDC=l，證明:l//平面ABCD；（2）線段PC內(nèi)是否存在一點(diǎn)E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ=的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù)的圖像為曲線，點(diǎn)、.（1）設(shè)點(diǎn)為曲線上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)（用表示）；（2）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求證：為常數(shù)；（3）由（2）可知，曲線為雙曲線，請(qǐng)研究雙曲線的性質(zhì)（從對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率四個(gè)角度進(jìn)行研究）.20．（12分）著名的“康托爾三分集”是由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造的，是人類(lèi)理性思維的產(chǎn)物，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長(zhǎng)度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長(zhǎng)度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長(zhǎng)度總和為，若使不大于原來(lái)的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）21．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.22．（10分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由空間向量運(yùn)算法則得,利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是面對(duì)角線與的中點(diǎn)，，，，所以故選:D.2、B【解析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程來(lái)確定點(diǎn)在圓上，然后求出過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上，所以過(guò)點(diǎn)的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因?yàn)橹本€與切線垂直，所以，解得.故選：B.3、B【解析】如上圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M,連OM，則OM為的中位線，易得∽，且,即可得，選B.點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，本題的關(guān)鍵是利用中位線定理和相似三角形定理4、B【解析】由可得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，由此比較函數(shù)值的大小確定正確選項(xiàng).【詳解】∵∴，當(dāng)時(shí)，，∴，故∴在內(nèi)單調(diào)遞增，又，∴，所以故選：B5、A【解析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒6、D【解析】已知兩圓方程，可先讓兩圓方程作差，得到其公共弦的方程，然后再計(jì)算圓心到直線的距離，再結(jié)合勾股定理即可完成弦長(zhǎng)的求解.【詳解】已知圓，圓，兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，而圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以，所以.故選：D.7、A【解析】由垂徑定理，根據(jù)弦長(zhǎng)的一半及圓心到直線的距離求出圓半徑，即可寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心到直線x﹣y﹣1＝0的距離弦長(zhǎng)，設(shè)圓半徑為r，則故r=2則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，將代入橢圓方程，結(jié)合離心率為以及性質(zhì)列方程組求得與的值，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，以及橢圓離心率的應(yīng)用，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于中檔題.9、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式相關(guān)計(jì)算求出公差，進(jìn)而求出首項(xiàng).【詳解】設(shè)公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B11、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C12、D【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程.【詳解】，選D.點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由于直線過(guò)定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，然后先求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，從而可求出三角形ABC的面積【詳解】因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心，半徑為，所以當(dāng)時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，因?yàn)椋?，所以三角形ABC的面積為，故答案為：14、3【解析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概念求解【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)為，所以焦點(diǎn)在y軸上，所以故答案：315、【解析】代入，展開(kāi)整理得，①化為，與①式相加得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.16、1【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，從而可求其體積.【詳解】據(jù)三視圖分析知，該幾何體為直三棱柱，且底面為直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，所以其體積故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義可得答案；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的的切線方程為，聯(lián)立此直線與雙曲線的方程消元，然后由可得，即可得到，然后可證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所以，，所以，所以的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立可得由可得，所以所以18、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由線面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?所以，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，因?yàn)槠矫妫移矫婷?，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，【小?wèn)2詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椤鱌DC是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，且平面面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，由已知得，則，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，則所以，整理得，解得（舍去），或，所以19、（1）；（2）具體見(jiàn)解析；（3）具體見(jiàn)解析.【解析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求出距離，進(jìn)而將式子化簡(jiǎn)即可；（2）求出，進(jìn)而討論兩種情況，然后結(jié)合基本不等式即可證明問(wèn)題；（3）根據(jù)為雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關(guān)性質(zhì).【小問(wèn)1詳解】由題意，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由（1），.若x>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，，所以.若x<0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，，所以.綜上：，為常數(shù).【小問(wèn)3詳解】易知函數(shù)：為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).由（2）可知，曲線為雙曲線，為雙曲線的焦點(diǎn)，則它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，還關(guān)于與垂直且過(guò)原點(diǎn)的直線對(duì)稱(chēng).，則，易得.綜上：雙曲線關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).容易知道，直線是雙曲線C的漸近線.易知線段是雙曲線的實(shí)軸，將代入雙曲線解得頂點(diǎn)：.于是實(shí)軸長(zhǎng)為焦距為，則離心率.20、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長(zhǎng)度的和，求得其通項(xiàng)公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，結(jié)合題意，得到，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問(wèn)2詳解】解：將定義的區(qū)間長(zhǎng)度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長(zhǎng)后組成的數(shù)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)為，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，第2次操作去掉兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，第3次操作去掉四個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，第4次操作去掉個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，第次操作去掉個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長(zhǎng)度和為；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)定義區(qū)間，則區(qū)間長(zhǎng)度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長(zhǎng)度之和不大于，則滿足，即，即，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槿庵侵比庵?，且，所以?xún)蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，所以，所以，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線BF與平面DEF所成角為，則，所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為22、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.