第09講直接討論法證明不等式【典型例題】例1．已知函數，．（1）討論函數的單調性；（2）當時，證明：，．例2．已知函數，，若在處的切線為．（Ⅰ）求實數，的值；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）設，其中，，證明：．例3．設函數，．（1）討論函數的單調性；（2）當且時，證明：．例4．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當，，時，證明：．例5．已知函數（1）討論函數的單調性；（2）當，時，證明：．【同步練習】1．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，證明：．（注，2．已知函數（1）討論函數的單調性；（2）設，當時，證明：．3．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若，求證：對任意，；（3）設，若對任意給定的，，關于的方程在，上有兩個不同的實根，求實數的取值范圍（其中為自然對數的底數）．4．已知函數，（1）討論函數的單調性；（2）設，當時，證明：恒成立．5．已知函數，．（1）討論的單調性；（2）若，設，證明：，，，使．6．已知函數，其中．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，證明：（其中為自然對數的底數）．7．已知函數，．（1）討論的單調性；（2）當時，證明：．8．已知函數．（1）時，討論函數的單調性；（2）證明：當時，．

第09講直接討論法證明不等式【典型例題】例1．已知函數，．（1）討論函數的單調性；（2）當時，證明：，．【解析】解：（1），因，，①當時，，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；②當時，，函數在內單調遞增；③當時，，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；綜上：當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；當時，函數在內單調遞增；當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；（2）當時，由（1）得，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增，函數在內的最小值為，欲證不等式成立，即證，即證，因，所以只需證，令，則，所以，函數在，內單調遞減，（1），又因，即．所以，即當時，成立，綜上，當時，，．例2．已知函數，，若在處的切線為．（Ⅰ）求實數，的值；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）設，其中，，證明：．【解析】解：（Ⅰ）由，得，由，得（1），根據題意可得，解得；（Ⅱ）由不等式對任意恒成立知，恒成立，令，顯然為偶函數，故當時，恒成立，，令，則，令，則，顯然為上的增函數，故，即在上為增函數，，①當，即時，，則在上單調遞增，故，則在上為增函數，故，符合題意；②當，即時，由于，故存在，，使得，故在單調遞減，在，單調遞增，當時，，故在單調遞減，故，不合題意．綜上，；（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，，當且僅當時等號同時成立，故，，，，以上個式子相加得，．例3．設函數，．（1）討論函數的單調性；（2）當且時，證明：．【解析】解：（1）函數，定義域為，，①當時，，則在上單調遞減；②當時，令，解得，當時，，當，時，，所以的單調遞增區間為，，遞減區間為．綜上所述，當時，的單調遞減區間為；當時，的單調遞增區間為，，遞減區間為．（2）證明：當時，令，則，因為，則，所以在上單調遞減，故（1），則，故．例4．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當，，時，證明：．【解析】解：（1）函數的定義域為，，當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增，當時，由解得，由解得，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；（2）證明：令，則，（1），再令，則，當時，，，即，在，上單調遞增，（1）（1），（1），在，上單調遞增，（1），綜上可知，．例5．已知函數（1）討論函數的單調性；（2）當，時，證明：．【解析】（1）解：由，可得．當時，，則函數在上為增函數，當時，由，可得，由，可得．則函數在，上為增函數，在，上為減函數；（2）證明：令，令，則，，，又，，在上為增函數，則，即，由，可得，．【同步練習】1．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，證明：．（注，【解析】解：（1）定義域為，，，，，，當時，，，在上單調遞增，當時，，，在上單調遞減，即在上單詞遞增，在上單調遞減；證明：（2）由（1）知，在處取最小值，即（a），，，令（a），，，（a），（a）恒成立，（a）單調遞減，又，，存在，使，令（a），故（a）在，上單調遞增．（a），故（a）在，上單調遞減．（a）最小值在0處取或處取，，．（a），，即．2．已知函數（1）討論函數的單調性；（2）設，當時，證明：．【解析】解：（1），當時，，，當時，，，時，在上遞減，在遞增；時，在上遞增，在遞減；（2）證明：設，則，，時，，遞減，，遞增，，設，，則，時，時，遞增，，遞減，（1），（a）（a），，即得證．3．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若，求證：對任意，；（3）設，若對任意給定的，，關于的方程在，上有兩個不同的實根，求實數的取值范圍（其中為自然對數的底數）．【解析】解：（1）函數．，，當時，，在單調遞增．當時，，在單調遞增．當時，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減．證明：（2）由（1）得，當時，在單調遞增，當時，（1），，對任意，．解：（3），，，，單調遞增，時，，單調遞減，，時，的值域為，，由已知，由（e），得，，，，令，則單調遞增，而，時，，，綜上，實數的取值范圍．4．已知函數，（1）討論函數的單調性；（2）設，當時，證明：恒成立．【解析】解：（1）由題意可知，，①當時，，在上單調遞增，②當時，．當時，，所以在上單調遞減，．當時，，．當時，，所以在上單調遞增；（2）要證，所以只需證，設，則，當時，；當時，；當時，，在時取得極小值，即為最小值（a），令（a），則（a），當時，（a）；當時，（a）；當時，（a），（a）在時取得極小值，即最小值為（1），當時，恒成立，即恒成立．5．已知函數，．（1）討論的單調性；（2）若，設，證明：，，，使．【解析】（1）解：．①當時，恒成立，當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數．②當時，，．當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數．③當時，，則在上是減函數．④當時，，當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數．（2）證明：要證．，即證．由（1）可知，當，，時，，．令，，則故在上是減函數，有，所以，從而（2）．，，則，令，顯然在上是增函數，且，（1），所以存在使，且在上是減函數，在，上是增函數，，所以，所以，命題成立．6．已知函數，其中．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，證明：（其中為自然對數的底數）．【解析】解：（1）由題意，函數的定義域為，．當時，或；；當時，；當時，或；．綜上，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增；在上單調遞減．（2）證明：當時，由，只需證明，令，．設，則．當時，，單調遞減；當，時，，單調遞增，當時，取得唯一的極小值，也是最小值，的最小值是成立．故成立．7．已知函數，．（1）討論的單調性；（2）當時，證明：．【解析】解法一：（1）因為，定義域為，所以．當時，，在上單調遞增，當時，時，，單調遞增，時，，單調遞減．綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，在上單調遞減．所以．要證，只要證，即證．令，即證在上成立．令，即證．因為，所以在．上單調遞增，在上單調遞減．所以（1），命題得證．解法二：（1）同解法．（2）由（1）可知，當時，在單調遞增，在單調遞減，所以．要證，只要證，即證．因為，所以（a）在上單調遞增，在上單調遞減．所以（a），命題得證．8．已知函數．（1）時，討論函數的單調性；（2）證明：當時，