2025屆山東省泰安市寧陽縣四中高二數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰，經歷發射入軌、地月轉移、近月制動、環月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉移、環月等待、月地轉移、再入回收等11個關鍵階段.在經過交會對接與樣品轉移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.822．若向量，，則（）A. B.C. D.3．已知函數的導數為，且滿足，則（）A. B.C. D.4．某機構通過抽樣調查，利用列聯表和統計量研究患肺病是否與吸煙有關，計算得，經查對臨界值表知，，現給出四個結論，其中正確的是（）A.因為，故有90%的把握認為“患肺病與吸煙有關"B.因為，故有95%把握認為“患肺病與吸煙有關”C.因為，故有90%的把握認為“患肺病與吸煙無關”D.因為，故有95%的把握認為“患肺病與吸煙無關”5．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題6．設，，若，其中是自然對數底，則（）A. B.C. D.7．下列關于命題的說法錯誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點，則”的逆命題為真命題8．已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.9．宋元時期數學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生"的問題，松長三尺，竹長一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.210．直線與直線的位置關系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直11．拋物線的焦點是A. B.C. D.12．復數的共軛復數是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線的一個法向量________.14．已知拋物線與直線交于D，E兩點，若（點O為坐標原點）的面積為16，則拋物線的方程為______；過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，則______15．有一組數據：，其平均數是，則其方差是________.16．已知點，點是直線上的動點，則的最小值是_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值18．（12分）已知點，圓.（1）若直線l過點M，且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程；（2）設O為坐標原點，點N在圓C上運動，線段的中點為P，求點P的軌跡方程.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，軸于點，是線段上的動點，軸于點，于點，與相交于點.（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；（2）過點作拋物線的切線交軸于點，過拋物線上的點作拋物線的切線交軸于點，……，以此類推，得到數列，求，及數列的通項公式.20．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個焦點與短軸的一個端點為頂點構成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點作直線l與橢圓C相切于點Q，且直線l斜率大于0，過線段PQ的中點R作直線交橢圓于A，B兩點（點A，B不在y軸上），連結PA，PB，分別與橢圓交于點M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請求出該定值21．（12分）如圖，在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD為BC邊上的中線，AE為∠BAC的角平分線（1）求及線段BC的長；（2）求△ADE的面積22．（10分）2020年8月，總書記對制止餐飲浪費行為作出重要指示，要求進一步加強宣傳教育，切實培養節約習慣，在全社會營造浪費可恥、節約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，大慶市某學校食堂從學生中招募志愿者，協助食堂宣傳節約糧食的相關活動．現已有高一63人、高二42人，高三21人報名參加志愿活動．根據活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動（1）第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學生中各抽取多少人？（2）現在要從第一期志愿者中的高二、高三學生中抽取2人粘貼宣傳標語，求抽出兩人都是高二學生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務是記錄學生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來衡量宣傳節約糧食的效果．在一個周期內，這組志愿者記錄的數據如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統計中的圖、表、數字特征等知識，分析宣傳節約糧食活動的效果（選擇一種方法進行說明即可）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C2、D【解析】由向量數量積的坐標運算求得數量積，模，結合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D3、C【解析】首先求出，再令即可求解.【詳解】由，則，令，則，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了基本初等函數的導數以及導數的基本運算法則，屬于基礎題.4、A【解析】根據給定條件利用獨立性檢驗的知識直接判斷作答.【詳解】因，且，由臨界值表知，，，所以有90%的把握認為“患肺病與吸煙有關”，則A正確，C不正確；.因臨界值3.841>3.305，則不能確定有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關”，也不能確定有95%的把握認為“患肺病與吸煙無關”，即B，D都不正確.故選：A5、B【解析】根據正弦函數的性質判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因為的值域為，所以命題為假命題因為，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B6、A【解析】利用函數的單調性可得正確的選項.【詳解】令，因為均為，故為上的增函數，由可得，故，故選：A.7、D【解析】根據命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構成關系,可知A正確；B,當a=2>1時,函數在定義域內是單調遞增函數，當函數定義域內是單調遞增函數時，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點，例如:函數,則=0，即x=0就不是極值點,所以“若為的極值點，則”的逆命題為假命題,故選D.【點睛】本題主要考查命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識，需牢記并靈活運用相關知識.8、A【解析】先根據雙曲線的離心率得到，然后由，得，即為所求的漸近線方程，進而可得結果【詳解】∵雙曲線的離心率，∴又由，得，即雙曲線（）的漸近線方程為，∴雙曲線的漸近線方程為故選：A9、B【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】解：當n＝1時，a＝3，b＝2，滿足進行循環的條件，當n＝2時，a，b＝4，滿足進行循環的條件，當n＝3時，a，b＝8，滿足進行循環的條件，當n＝4時，a，b＝16，不滿足進行循環的條件，故輸出的n值為4，故選：B【點睛】本題考查的知識點是程序框圖，當循環的次數不多，或有規律時，常采用模擬循環的方法解答10、C【解析】把直線化簡后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關系是重合.故選：C11、D【解析】先判斷焦點的位置，再從標準型中找出即得焦點坐標.【詳解】焦點在軸上，又，故焦點坐標為，故選D.【點睛】求圓錐曲線的焦點坐標，首先要把圓錐曲線的方程整理為標準方程，從而得到焦點的位置和焦點的坐標.12、B【解析】因,故其共軛復數.應選B.考點：復數的概念及運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】根據給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：14、①.②.1【解析】利用的面積列方程，化簡求得的值，從而求得拋物線方程.將的斜率分成存在和不存在兩種情況進行分類討論，結合根與系數關系求得.【詳解】依題意可知，，所以，解得.所以拋物線方程為.焦點，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，即，此時.當直線的斜率存在且不為時，設直線的方程為，由消去并化簡得，，設，則，結合拋物線的定義可知.故答案為：；15、2【解析】先按照平均數算出a，再按照方差的定義計算即可。【詳解】∵，所以，方差，故答案為：2.16、【解析】直接根據點到直線的距離公式即可求出【詳解】線段最短時，與直線垂直，所以，的最小值即為點到直線的距離，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因為點A、D分別為MB、MC中點，所以，又，所以，所以.因為，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】因為，，，所以兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，，則，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以，設直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.18、（1）或（2）【解析】（1）由直線被圓C截得的弦長為，求得圓心到直線的距離為，分直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，結合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.（2）設點，，根據線段的中點為，求得，結合在圓上，代入即可求解.【小問1詳解】解：由題意，圓，可得圓心，半徑，因為直線被圓C截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，此時直線的方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.【小問2詳解】解：設點，因為點，線段的中點為，可得，解得，又因為在圓上，可得，即，即點的軌跡方程為.19、（1）在拋物線上，理由見解析（2）,,.【解析】（1）根據直線的方程設出點的坐標，利用已知條件求出點的坐標即可判斷點是否在拋物線上；（2）設出直線的直線方程，與拋物線聯立，令，即可求出，同理可以求出，設出直線的直線方程，與拋物線聯立，令即可求出的方程，若令，，即，故數列是首項，公比為的等比數列，即可求出數列的通項公式.【小問1詳解】由已知條件得直線的方程為，設點，則，由直線的方程為可得點的坐標為，點滿足拋物線，則點是否在拋物線上；【小問2詳解】設的直線方程為，將直線與拋物線聯立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知，設的直線方程為，將直線與拋物線聯立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知設點，設直線方程為，將直線與拋物線聯立得，，其中，即，，解得，直線的方程為，即，令得，即直線過點，則直線的斜率為，直線的方程也可以表示為，即，令，，即，則，即數列是首項，公比為的等比數列，故.20、（1）（2）是，【解析】（1）根據離心率以及橢圓兩個焦點與短軸的一個端點為頂點構成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設出相關直線與相關點的坐標，直線與橢圓聯立，點的坐標配合斜率公式化簡，再運用韋達理化簡可證明.【小問1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標準方程為【小問2詳解】設切線PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點，則，因為PA，PB斜率都存在，不妨設，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點共線，則，化簡得，所以.21、（1），BC＝6（2）【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化簡已知條件，求得，結合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面積，結合角平分線、中線的性質求得三角形的面積.小問1詳解】∵，∴，∴，∴由余弦定理