第一章有理數單元專項提升

6章節重難點考察/_

模塊一章節思維導圖

模塊二章節重難點考察考點1.有理數相關概念辨析及簡單應用

考點2.數軸相關綜合考察

考點3.絕對值的非負性考察【高效學】有學習視頻哦

考點4.絕對值的幾何意義考察【高效學】有學習視頻哦

模塊三鏈接新中考1.新考向：數學史

2.新考向：新定義

3.新考向：問題探究

4章節思維導圖

試卷第1頁，共6頁

正負數的概念辨析

0的意義

1.1正數和負數

正負數表示相反意義的?

正負數的實際應用

有理數的概念與分類

帶"非"字問題的理解

血的儂辨析

數軸與有理數的對應關系

122數軸數軸上整數點問題

數軸上點的距離問題

折會數軸問題

有理數數軸上點的移動問題

相反數的概念與求值

1.2有理數及其大小比較123顆數相反數的性質

相反數物簡

絕對值的定義

絕對值含字母問題

絕對值的非負性

絕對值的實際應用

絕對值的幾何意義

利用數軸比較有理數的大小

125WSM09大小tt?

利用絕對值比較有理數的大小

考點1有埋數相關概念辨析及間單應用

（17—18七年級上?江蘇泰州?期末）

1.對于任何有理數a,下列各式中一定為負數的是（）

A.-（-3+a）B.-同-lC.D.-a

（22-23七年級上?福建龍巖?階段練習）

2.已知。力為有理數，且。>0,6<0,。<同，則。也-。，-6的大小順序是（）

A.b<-a<a<-bB.-a<a<-b<bC.-a<b<a<-bD.-b<a<—a<b

（23-24七年級上?內蒙古鄂爾多斯?階段練習）

3.下列說法錯誤的有（）

①絕對值是它本身的數是正數；②任何有理數都有倒數；③有理數分為正有理數和負有理

數；④在數軸上7與9之間的有理數是8；⑤數軸上表示一。的點一定在原點的左邊.

A.2個B.3個C.4個D.5個

（21-22七年級上?湖南長沙?期末）

4.下列結論：①若a",那么/"2；②若同>何，那么a>b；③若。>回，那么

試卷第2頁，共6頁

a2>b2;④若/>應那么a>b；⑤同+網=卜+同，貝！J〉0,其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（23-24七年級上?湖北武漢?階段練習）

5.若。，6互為相反數，c,d互為倒數，加的絕對值為2.

(1)直接寫出6=_,cdm=.

（2）求加一cd+"2的值.

m

考點2數軸相關綜合考祭

（20-21七年級上,山東濱州,期中）

6.在數軸上，到表示-1的點的距離等于6的點表示的數是—.

（15—16七年級上?山東臨沂?階段練習）

7.將一刻度尺如圖所示放在數軸上（數軸的單位長度是1cm）,數軸上的兩點/、8恰好與

刻度尺上的“0cm”和“7cm”分別對應，若點”表示的數為-2.3,則點8表示的數應

為.

4.1

-TnTnm|nnnm^nmrnnr|TirmTnr[mT「nin『TmimymimrnjrrnTmr'nT「L

（23—24七年級上?山東德州?期中）

8.有理數〃，6在數軸上的對應點如圖所示，則下面式子中正確的是（）

——?------------1~?-----------------?

b0a

①6<0<a；@\b\<\a\.③ab>0；@a-b>a+b.

A.①②B.①④C.②③D.③④

（2024七年級上?江蘇?專題練習）

9.操作與探索：

（1）如圖，寫出數軸上點/,B,C,。表示的數.

ABCD

--------1—1—^-1—I——I——I——I——>

-3-2-10123

（2）請你自己畫出數軸并表示有理數：-：，3.

（3）如圖，觀察數軸，回答下列問題：

_____1111111A

-3-2-10123

試卷第3頁，共6頁

①大于-3并且小于3的整數有哪幾個?

②在數軸上表示到-1的點的距離等于2個單位長度的點表示的數是什么？

考點3絕對值的非負性考祭

（23-24七年級上?四川成都?開學考試）

10.已知有理數x,y滿足|x-3|+（y-2）2=0,則代數式（》-#2。23的值為

（2022七年級上?浙江?專題練習）

11.若|x-y_3z|+,-l|+|2x-引=0,則x=_,y=z=

（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱,期中）

12.已知。為有理數，則|。-2|+4的最小值為.

絕對值的幾何意義考察

（2024六年級下?上海?專題練習）

13.求|x-2|+|x-7|的最小值是

（23-24六年級上?山東煙臺?期中）

14.閱讀理解：數軸上表示有理數的點到原點（有數數0表示的點）的距離，叫做這個有理

數的絕對值例如：|2|-|2-0|,它表示數軸上有理數2表示的點到原點0的距離，從數軸上

容易發現，有理數2表示的點到原點0的距離是2個單位長度，即|2|=|2-0|=2（如圖

1）.

同樣的，數軸上表示加和表示〃的兩個有理數之間的距離可以用來表示.例如：數軸

上表示-3的點到表示2的點的距離用卜3-2|表示，從數軸上容易發現，表示-3的點到表示2

的點的距離是5個單位長度，即卜3-2|=5（如圖2）.

-3-2-10123-3-2-10123

圖1圖2

以上這種借助直觀的數軸來解決問題的方法就是研究數學問題常用的“數形結合”的方法.請

你根據以上學到的方法完成下列任務解答：

任務一：

請根據以上閱讀列式并計算（不必在卷面上畫數軸）：數軸上表示2的點和表示-7的點之間

試卷第4頁，共6頁

的距離；

任務二：

根據絕對值的意義求字母的值：

（1）若卜-3|=2,求x所表示的有理數.

根據絕對值的意義，“卜-3|=2”指數軸上表示x的點到表示3的點的距離是2個單位長度,

x表示的有理數是.

（2）若|尤+1|=4,求無所表示的有理數.

根據絕對值的意義，“卜+1|=4”指數軸上表示》的點到表示的點的距離是4個單位

長度，x表示的有理數是.

任務三：

設點P在數軸上表示的有理數是x,借助數軸解答下列問題：

-6-5-4-3-2-10123456

（1）當x取哪些有理數時，,-4|+歸+1|的值最小？最小值是多少？

（2）若k一4|+歸+1|=8,求x所表示的有理數;

（3）若,-2|-忖+3|=0,求x所表示的有理數.

_____________?>鏈接新中考?>_____________

【新考向：數學史】（2024?云南文山?一模）

15.我國古代數學名著《九章算術》中對正負數的概念注有“今兩算得失相反，要令正負以

名之”.例如，糧庫把運進30噸糧食記為“+30”，則運出30噸糧食記為（）

A.-30B.+30C.-60D.+60

【新考向：數學史】（23—24七年級上?浙江溫州?期中）

16.如圖所示，算籌是我國古代的計算工具之一，擺法有縱式和橫式兩種.古人在個位數上

劃上斜線以表示負數.如“開=歌”表示-723.貝T、”所表示的數是（）

縱式：1IIIII1111muTTITTTTTT

橫式：—====_L±心

123456789

試卷第5頁，共6頁

A.223B.-223C.263D.-262

【新考向：新定義】（21—22七年級上?湖北?階段練習）

17.規定一種新運算：a/\b=a-b+\,如3Z^4=3-4+l=0,那么2漢-3）的值是_.

【新考向：新定義】（2024?廣西欽州?三模）

18.設。，x為有理數，定義新運算：族》=-"國.例如：2X3=-2X|3|=-6,若3派

（a+1）=-4,則。的值為.

【新考向：問題探究】（23—24七年級上?河南周口?階段練習）

19.李老師善于通過知識遷移，對問題進行拓展探究，培養同學們用數學的思維思考現實世

界的能力.下面李老師在“數軸的實際應用”主題下設計的問題，請你解答.

⑴知識回顧

如圖1,數軸上有一個表示數a的點“，已知點M在數軸上向右移動3個單位長度后表示

的數是5,那么。的值是」

M

-----i----->

圖1

（2）探究遷移

如圖2,有一根木尺尸。放置在數軸上，它的兩端尸，0分別落在/、8兩點處.將木尺在數

軸上水平移動，當點尸移動到點2時，點。所對應的數為24；當點0移動到點/時，點尸

所對應的數為6（單位：cm）.利用所學知識求出點/、點8所表示的數及木尺尸。的長；

06AB24

圖2

（3）拓展應用

一天，小明去問爺爺的年齡.爺爺說：“我若是你現在這么大，你還要40年才出生呢；你若

是我現在這么大，我已經是116歲了！”請你利用（2）的方法，請直接寫出小明和爺爺的年

齡.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】根據正負數的定義、非負數的性質來一一判斷即可.

【詳解】解：A.-（-3+。）=3-。，當〃=3時，-（-3+。）=0,故此選項不符合題意；

B.在一同-1中，無論。取何值，-同為非正數，非正數加一個負數仍為負數，故此選項符

合題意；

c.在中，當。=-1時，-|。+”=0,故此選項不符合題意；

D.在一。中，當Q=0時-Q=0,都不是負數，故此選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了正負數的定義、絕對值、非負數的性質，關鍵要掌握這些定義與性

質.

2.A

【分析】根據。〉0,b<0,a<\b\,推出一〃<0,-b>0,-b>a,-a>b,即可得出答

案.

【詳解】解：〈。〉。，b<0,a<\b\,

—Q<0,~b〉0,—b〉a,—ci>b,

b<-a<a<-b.

故選：A.

【點睛】本題考查了相反數和有理數的大小比較的應用，關鍵是能根據已知得出-。<0,

—b>0,-b>a,-a>b,題型較好，但是一道比較容易出錯的題目.

3.D

【分析】本題主要考查了絕對值和倒數的定義，有理數的分類，有理數與數軸等等，熟知相

關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：①絕對值是它本身的數是正數和0,原說法錯誤；

②任何有理數（0除外）都有倒數，原說法錯誤；

③有理數分為正有理數，負有理數和0,原說法錯誤；

④在數軸上7與9之間的有理數有無數個，原說法錯誤；

⑤數軸上表示一。的點不一定在原點的左邊，例如。=-1時，-a=l在原點右邊，原說法錯

誤.

???說法錯誤的有5個，

答案第1頁，共9頁

故選：D.

4.A

【分析】舉出符合已知條件的反例，求出后判斷即可.

【詳解】解：①當。=3,6=-3時，a*b,此時1=62,故①說法錯誤；

②當a=-3,6=-2時，1d>|耳，此時.<6,故②說法錯誤；

③若。>何，那么/>/,此說法正確；

④當。=一3,6=-2時，a2>b2,此時a<b,故④說法錯誤；；

⑤當a=6=0時，即06=0,此時|4+網=|a+J,故⑤說法錯誤;；

所以，正確的緒論有1個

故選：A

【點睛】本題考查了絕對值，有理數的乘方，有理數的大小等知識點的應用，是一道比較容

易出錯的題目.

5.(1)0,1,±2

⑵1或-3

【分析】(1)根據互為相反數的兩個數之和為0,互為倒數的積為1,絕對值的意義即可解

答；

(2)將(1)的相關數據代入計算即可.

【詳解】(1)解：?.“，6互為相反數，c,d互為倒數，%的絕對值為2,

?*cib—0,cd—1,tn—±2,

故答案為：0,l,±2.

(2)當a+b=0,cd=1,加=2時，m-cd+a+^=2-l+0=l；

m

當a+b=0,cd=1,加=-2時，m-cd+=-2-1+0=-3；

m

：.m-cd+"2的值為1或一3.

m

【點睛】本題主要考查了相反數、絕對值、倒數、代數式求值等知識點，掌握分類討論思想

是解答本題的關鍵.

6.-7或5.

【分析】結合數軸進行求解，從表示的點向左向右利用有理數的加減法分別計算，即可

答案第2頁，共9頁

得出結果.

【詳解】在-1的左邊時，-1-6=-7,

在-1的右邊時，-1+6=5,

所以，表示的數是-7或5.

故答案為：-7或5.

【點睛】本題考查數軸，與有理數的加減法，解題的關鍵是明確數軸的特點，知道到一個點

的距離相等的點有兩個.結合數軸進行求解，從表示-1的點向左用減法，向右用加法分別

計算.

7.4.7.

【分析】根據兩點間的距離關系可得結果.

【詳解】-23+7=4.7,

故答案為4.7.

【點睛】考點：數軸.理解數軸意義是關鍵.

8.B

【分析】本題考查了數軸，學會根據點在數軸上的位置來判斷數的正負以及代數式的值的符

號.

在數軸上，右邊的數總大于左邊的數.原點右邊的表示正數，原點左邊的表示負數.

【詳解】解：由圖知，b<O<a,故①正確，

因為6點到原點的距離遠，所以也故②錯誤，

因為b<O<tz,所以“6<0,故③錯誤，

由①知a-6>a+6,所以④正確.

故選B.

9.（1）-3,-1.5,0,2

⑵見解析

⑶①-2,-1,0,1,2；②-3,1

【分析】本題考查數軸、有理數，關鍵是能利用數軸表示各數的大小.

（1）根據數軸的知識，準確的讀出數軸上的點/、B、C、。表示的數；

（2）根據數軸上數的特點，原點左邊的點表示的是負數，原點右邊的點表示的是正數，準

答案第3頁，共9頁

確的畫出數值-g，3在數軸上的位置；

（3）①根據數軸的知識，從數軸上找到大于-3并且小于3的整數；②到表示-1的點的距

離等于2個單位長度的點可能在-1的左邊也可能在-1的右邊，從而找到這些點表示的數.

【詳解】⑴解:/、B、C、。表示的數分別是一3,-1.5,0,2；

（2）解：如圖所不：

ABCD3

-----」????——x——?——x——I_>

-31-2-10123

~2

（3）解：①由數軸得，大于-3并且小于3的整數有5個：-2,-1,0,1,2；

②在數軸上到表示到-1的點的距離等于2個單位長度的點表示的數是-1-2=-3；

-1+2=1.

10.1

【分析】本題主要考查了代數式求值、絕對值和偶次方的非負性.根據絕對值和偶次方的非

負性求得x、y的值，然后代入求解即可.

【詳解】解：小-3|+（y-2）2=0,

x-3=0,y-2=0,

???x=3,歹=2,

.?.（X—y）2°23=（3—2）2°23=12023=I.

故答案為：1.

11.-##0.51--

26

【分析】直接根據絕對值的非負性求解即可.

【詳解】解：?Jx-y-3z|+|y-l|+|2x-y|=0,

；.\x-y-3z|=0.,|y-l|=0,\2x-y\=0,

y-1-0,2x-y=Q,x-y-3z=0.,

..）一］,x=—,z=——,

26

故答案為：g，1,.

26

【點睛】本題考查了絕對值的非負性，熟練掌握若。為有理數，則有同20是解答本題的關

答案第4頁，共9頁

鍵.

12.4

【分析】本題考查了絕對值的非負性，解題的關鍵是掌握正數的絕對值是它本身，負數的絕

對值是它的相反數，0的絕對值是0.根據絕對值的非負性即可解答.

【詳解】解：■.■|?-2|>0,

|cz-2|+4>4,

.?.|a-2|+4的最小值為4,

故答案為:4.

13.5

【分析】本題主要考查絕對值，一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反

數；0的絕對值是0.注意當x的值不明確時，要分情況討論是解題的關鍵.

根據絕對值均大于等于0的性質，對x的大小進行分情況討論，去掉絕對值后，再進行比較

大小，再求最小值.

【詳解】解：當x<2時，原代數式2-x+7-x=9-2x①；

當2VxV7時，原代數式x-2+7-x=5②；

當x>7時，原代數式x-2+x-7=2x-9③；

據以上可得①>②，且③〉②；

所以當2WX47時，原代數式取得最小值為5,

故答案為：5.

14.任務一：數軸上表示2的點和表示-7的點之間的距離為9個單位長度；任務二：（1）1

或5；（2）-1；3或-5；任務三：（1）x取-1與4之間（包含-1和4）的有理數時，

|x-4|+|x+l|的值最小；最小值是5；（2）x所表示的有理數是-2.5或5.5；（3）x所表示的

有理數的值是-0.5

【分析】此題主要考查了數軸上兩點間的距離的求法，以及相反數和絕對值的含義和求法,

熟練掌握數形結合是解題關鍵.

任務一，閱讀：數軸上表示加和表示"的兩個有理數之間的距離可以用|加一"|表示，

m=2n=-1,可求出.

任務二：（1）數軸上表示x的點到表示3的點的距離是2個單位長度，x有兩個值；（2）數

答案第5頁，共9頁

軸上表示必的點到表示-1的點的距離是4個單位長度，必有兩個值，計算即可.

任務三：(1),-4|+,+1|指數軸上表示必的點到表示4和-1的兩點的距離的和；(2)

卜-4|+,+1|=8指數軸上表示》的點到表示4和-1的兩點的距離的和等于8；(3)

,-2|-忖+3|=0指數軸上表示必的點到表示2和-3的兩點的距離相等.

【詳解】任務一：

|2-(-7)|=|2+7|=|91=9,

所以，數軸上表示2的點和表示-7的點之間的距離為9個單位長度；

任務二：

(1)|x-3|=2,

數軸上表示x的點到表示3的點的距離是2個單位長度，

x=3+2=5,

x=3—2=1,

故答案為：1或5

(2)|x+l|=4,

數軸上表示x的點到表示-1的點的距離是4個單位長度，

x=—1+4=3,

x=-1-4=-5,

故答案為：-1；3或-5

任務三：

(1),-4|+歸+［指數軸上表示了的點到表示4和-1的兩點的距離和，

；?x取-1與4之間(包含T和4),卜-4|+卜+1|的值最小;

最小值是|x-4|+|x+l|=4_x+x+l=5；

(2)①當點P在一1和4之間時，—4|+|x+1|=—x+4+x+1=5,

???點尸表示的數不在T和4之間，

②當點尸在-1左邊時,(8-5)4-2=1.5,—1—1.5=—2.5,

③當點尸在4右邊時，(8-5)+2=1.5,4+1.5=5.5,

所以x的值是-2.5或5.5,

答案第6頁，共9頁

(3)|x-2|-|x+3|=0即數軸上點P到2表示的點的距離與到-3表示的點的距離相等，

2到-3的距離是5個單位長度，

5+2=2.5,

—3+2.5=—0.5,

所以X