第七章復(fù)數(shù)章末小結(jié)及測(cè)試考法一復(fù)數(shù)的相關(guān)概念【例1-1】（2024上·浙江紹興）若復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋缘奶摬繛椋蔬x：D【例1-2】（2024上·安徽亳州）已知復(fù)數(shù)，則“”是“的實(shí)部小于0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)槿羝鋵?shí)部小于0，則，即，顯然是的必要不充分條件，則“”是“的實(shí)部小于0”的必要不充分條件，故選：B.【例1-3】（2024·四川成都）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以的虛部是.故選：A考法二復(fù)數(shù)的分類【例2-1】（2024上·浙江杭州·高二校考期末）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知：,可得，所以,根據(jù)虛部的概念，可得的虛部為.故選：A【例2-2】（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為實(shí)數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由，為實(shí)數(shù)，，解得．故選：B．【例2-3】（2024下·云南昆明）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，即.故選：B．【例2-4】（2024·廣東汕頭）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題是真命題的為（

）A．若，則是純虛數(shù)B．若，則是純虛數(shù)C．若，則且D．若、為虛數(shù)，則【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，取，則，所以，，此時(shí)，不是純虛數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則成立，但不是純虛數(shù)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，但且，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若、為虛數(shù)，設(shè)，，則，，所以，，D對(duì).選：D.考法三復(fù)數(shù)的幾何意義【例3-1】（2024·山西晉城）設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意得，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．故選：C【例3-2】（2024·吉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】設(shè)，由得，即，即對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，故選：B【例3-3】（2024下·陜西）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，在第三象限.故選：C.【例3-4】（2024下·北京）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．-3【答案】A【解析】依題意，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則，，所以.故選：A.考法四復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)【例4-1】（2024下·天津）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A．3 B． C．5 D．【答案】D【解析】由，則，所以.故選：D【例4-2】（2024·江西）已知為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?所以，則.故選：B.【例4-3】（2024·四川成都·成都七中模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，故選：A.【例4-4】（2024下·江蘇泰州）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】令，為實(shí)數(shù)由，所以，因此當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：B考法五復(fù)數(shù)的計(jì)算【例5-1】（2023北京）已知是虛數(shù)單位，則.【答案】【解析】，故答案為：【例5-2】（2023·河南）若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，且，.故選：.【例5-3】（2023云南）計(jì)算：（1）_______．（2）_______．【答案】（1）（2）0【解析】(1)===(2)故答案為：，0【例5-4】．（2024河北）已知為虛數(shù)單位，則集合中元素的個(gè)數(shù)為___________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為．故答案為：．【例5-5】（2024全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）513；（2）．【解析】（1）由于考法六復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【例6-1】（2023下·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若復(fù)數(shù)為方程（m，）的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的虛根成共軛復(fù)數(shù)可知，另一個(gè)復(fù)數(shù)根為.故選：B．【例6-2】（2024·河南安陽）定義：若，則稱復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的平方根.根據(jù)定義，復(fù)數(shù)的平方根為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，則，化簡(jiǎn)，所以，，解得，或，，即復(fù)數(shù)的平方根為或，故選：C【例6-3】（2024下·青海西寧）已知為方程（a，）的一個(gè)根，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】因?yàn)闉榉匠痰囊粋€(gè)根，則，可得，解得.故選：A.單選題1．（2024下·內(nèi)蒙古赤峰）復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【解析】由，所以虛部為2.故選：B.2．（2023·河南）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得.故選：A3．（2024·江西·新余市第一中學(xué)校聯(lián)考一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因?yàn)椋覐?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在第三象限.故選：C4（2024下·北京西城）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足方程，則所對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕瑒t，所以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為.故選：B5．（2023上·全國(guó)校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．2 D．8【答案】B【解析】，，因此．故選：B6．（2024下·山東菏澤）已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），且z的虛部為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，有，即，由的虛部為，設(shè)，則有，解得，則.故選：B7．（2024下·山西晉城·）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（

）A． B．1 C．5 D．【答案】D【解析】因?yàn)椋势鋵?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故，故選：D.8．（2024下·浙江）已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)，其中且，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在直線上，的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，其最小值為點(diǎn)到直線的距離，最小值為.故選：D多選題9（2024·湖南長(zhǎng)沙9）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C．D．為純虛數(shù)【答案】ABC【解析】，故，故，故A正確，而在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第四象限，故B正確.，故C正確.，它不為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.10．（2024下·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若z滿足，則（

）A．z的實(shí)部為3 B．z的虛部為1C． D．z對(duì)應(yīng)的向量與實(shí)軸正方向夾角的正切值為3【答案】AB【解析】設(shè)，因?yàn)椋裕裕獾茫裕訟，B正確；，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)閦對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為，所以z對(duì)應(yīng)的向量與實(shí)軸正方向夾角的正切值為，所以D錯(cuò)誤．故選：AB．11．（2023廣東）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小B．在復(fù)數(shù)集內(nèi)，的平方根是C．是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是D．若是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的虛部為0時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可以比較大小，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在復(fù)數(shù)集內(nèi)，，故的平方根是，B正確；C選項(xiàng)，不妨設(shè)，此時(shí)為實(shí)數(shù)，則，滿足，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，不妨設(shè)，，不是純虛數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ACD12（2024下·湖南長(zhǎng)沙）已知為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則或【答案】ABD【解析】設(shè)，，因?yàn)椋裕蔄正確；又，，，所以，故B正確；取，，可得，故C錯(cuò)誤；若，由B選項(xiàng)知，所以或，可得或，故D正確；故選：ABD．填空題13．（2024上·天津南開）設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為，則．【答案】/【解析】，所以，解得，故答案為：.14．（2022下·陜西咸陽·高二咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題，是真命題的是．（填序號(hào)）①；②若，則；③若，則是純虛數(shù)；④對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有是虛數(shù)．【答案】①②④【解析】對(duì)于①，，①正確；對(duì)于②，由，設(shè)，則，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，而是實(shí)數(shù)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此是虛數(shù)，④正確，所以真命題的是①②④.故答案為：①②④15（2024·上海虹口），若，則．【答案】【解析】因?yàn)椋裕瑒t，故所以.故答案為：.16．（2023安徽）關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+4x+m=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為a?β，且|a﹣β|=2，則m=.【答案】3或5【解析】對(duì)于方程x2+4x+m=0，∴α+β=﹣4，αβ=m，①當(dāng)△=16﹣4m<0時(shí)，設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)根為a?β，且設(shè)，a，b∈R，所以2a=﹣4，|2bi|=2，∴a=﹣2，b=±1故，或，∴αβ=(﹣2)2﹣i2=5.②△=16﹣4m≥0時(shí)，設(shè)兩根為x1，x2.易知x1+x2=﹣4，x1x2=m，∴，解得m=3.綜上可知，m的值為3或5.故答案為：3或5.解答題17．（2023·河南焦作）計(jì)算：(1)；(2).(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)0【解析】（1）.（2）.（3）.；（4）..（5）（6）（7）（8）；（9）原式；（10）原式，.18．（2023·高一單元測(cè)試）已知復(fù)數(shù).(1)求復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模長(zhǎng)及表示復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若，試求實(shí)數(shù)、的值.【答案】(1)復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模長(zhǎng)為，坐標(biāo)為(2)【解析】（1）因?yàn)?則復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，模長(zhǎng)為，表示復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）將代入方程得：，∴，∴.19．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)，若點(diǎn)Z的位置滿足下列要求，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并寫出你的求解思路：(1)不在實(shí)軸上；(2)在虛軸上；(3)在實(shí)軸下方（不包括實(shí)軸）；(4)在虛軸右側(cè)（不包括虛軸）；(5)第三象限．【答案】(1)且.(2)(3)(4)(5)【解析】（1）由復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)數(shù)不在實(shí)軸上，則滿足，解得且.（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)數(shù)在虛軸上，則滿足，解得.（3）因?yàn)閺?fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)數(shù)在實(shí)軸下方（不包括實(shí)軸），則滿足，解得.（4）因?yàn)閺?fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)數(shù)在虛軸右側(cè)（不包括虛軸），則滿足，解得.（5）因?yàn)閺?fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)數(shù)第三象限，則滿足，解得.20．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求實(shí)數(shù)的值，使復(fù)數(shù)分別是：(1)實(shí)數(shù)；(2)純虛數(shù)；(3)零．【答案】(1)或(2)(3)【解析】（1）復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，所以復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，解得或.（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得；（3）若復(fù)數(shù)為，則，解得；21．（2023安徽·課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)、滿足.(1)若、滿足，求、；(2)若，則是否存在常數(shù)，使得等式恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)、或、(2)存在，【解析】（1