第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南師大附中大聯考高三（上）月考數學試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知A={x|x2+x?6≤0}，B={x|lg(x?1)<0}A.{x|?3≤x≤2} B.{x|?3≤x<2} C.{x|1<x≤2} D.{x|1<x<2}2.若復數z滿足z(1+i)=?3+i(i是虛數單位)，則|z|等于(

)A.102 B.54 C.3.已知平面向量a=(5,0),b=(2,?1)，則向量a+b在向量A.(6,?3) B.(4,?2) C.(2,?1) D.(5,0)4.記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3+aA.21 B.19 C.12 D.425.某校高二年級下學期期末考試數學試卷滿分為150分，90分以上為及格.閱卷結果顯示，全年級1200名學生的數學成績近似服從正態分布，試卷的難度系數(難度系數=平均分/滿分)為0.49，標準差為22，則該次數學考試及格的人數約為(????)附：若X～N(μ,σ2)，記p(k)=P(μ?kσ≤X≤μ+kσ)，則p(0.75)≈0.547，p(1)≈0.683A.136人 B.272人 C.328人 D.820人6.已知α,β∈(0,π2),cos(α?β)=A.π6 B.π4 C.π37.已知F1，F2是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，以F2A.(1,263) B.(1,38.已知函數f(x)=a?2x,x≤0,log2x,x>0,若A.(0,1) B.(?∞,0)∪(0,1) C.[1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D中，E，F，M，N分別為棱AA1，A1D1，A.E，F，M，P四點共面B.平面PEF被正方體截得的截面是等腰梯形

C.EF//平面PMND.平面MEF⊥平面PMN

10.已知函數f(x)=2cos(2x+A.f(x)的一個對稱中心為(38π,0)

B.f(x)的圖象向右平移3π8個單位長度后得到的是奇函數的圖象

C.f(x)在區間[5π8,7π8]上單調遞增

D.11.已知定義在R上的偶函數f(x)和奇函數g(x)滿足f(2+x)+g(?x)=1，則(

)A.f(x)的圖象關于點(2,1)對稱 B.f(x)是以8為周期的周期函數

C.g(2024)=0 D.k=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x+3y?1)6的展開式中x13.已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，當x>0時，f′(?x)>2f(x)，且f(1)=0，則不等式f(x)>0的解集為______．14.已知點C為扇形AOB的弧AB上任意一點，且∠AOB=60°，若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2a+b=2ccosB．

(1)求角C；

(2)若角C的平分線CD交AB于點D,AD=313,DB=1316.(本小題15分)

已知x=1e為函數f(x)=xalnx的極值點．

(1)求a的值；

(2)設函數g(x)=kxex，若對?17.(本小題15分)

已知四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD//BC，AB⊥BC，PA=PB=22AB，AB=BC=2AD，E為AB的中點，F為棱PC上異于P，C的點．

(1)證明：BD⊥EF；

(2)試確定點F的位置，使EF與平面PCD18.(本小題17分)

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離等于橢圓C2：x2+16y2=1的短軸長，點P在拋物線C1上，圓E：(x?2)2+y2=r2(其中0<r<1)．

(1)若r=1219.(本小題17分)

入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”.南方游客紛紛北上，體驗東北最美的冬天.某景區為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務，并在購票平臺上推出了優惠券活動，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一，下表是該景區在購票平臺10天銷售優惠券情況．日期t12345678910銷售量y(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經計算可得：y?=110i=110yi=2.2，i=110tiyi=118.73，i=110ti2=385．

(1)由于同時在線人數過多，購票平臺在第10天出現網絡擁堵，導致當天顧客購買的優惠券數量大幅減少，現剔除第10天數據，求y關于t的回歸方程(精確到0.01)，并估計第10天的正常銷量；

(2)假設每位顧客選擇A套餐的概率為25，選擇B套餐的概率為35，其中A套餐包含一張優惠券，B套餐包含兩張優惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了n張優惠券，設其概率為Pn，求Pn；

(3)記(2)中所得概率Pn的值構成數列{Pn}(n∈N?)．

①求數列{Pn}的最值；參考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.BD

11.ABC

12.?180

13.(?1,0)∪(1,+∞)

14.[1,215.解：(1)由2a+b=2ccosB，根據正弦定理得2sinA+sinB=2sinCcosB，

即2sin(B+C)+sinB=2sinCcosB，可得2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2sinCcosB，

整理得(2cosC+1)sinB=0．

因為B為三角形內角，sinB≠0，所以cosC=?12，結合C∈(0,π)，可知C=2π3．

(2)CD是角C的平分線，AD=313,DB=13，

在△ACD和△BCD中，由正弦定理，可得ADsinπ3=CDsinA,BDsinπ3=CDsinB，

因此sinBsinA=ADBD=316.解：(1)f′(x)=axa?1lnx+xa?1x=xα?1(alnx+1)，

由f′(1e)=(1e)a?1(aln1e+1)=0，得a=1，

當a=1時，f′(x)=lnx+1，函數f(x)在(0,1e)上單調遞減，在(1e,+∞)上單調遞增，

所以x=1e為函數f(x)=xalnx的極小值點，

所以a=1．

(2)由(1)知f(x)min=f(1e)=?1e．

函數g(x)的導函數g′(x)=k(1?x)e?x．

①若k>0，對?x1∈(0,+∞),?x2=?1k，使得g(x2)=g(?1k)=?e1k<?1<?1e≤f(x1)17.解：(1)如圖，連接PE，EC，EC交BD于點G．

因為E為AB的中點，PA=PB，所以PE⊥AB．

因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，

所以PE⊥平面ABCD，

因為BD?平面ABCD，所以PE⊥BD．

因為△ABD?△BCE，所以∠CEB=∠BDA，所以∠CEB+∠ABD=90°，

所以BD⊥EC，

因為PE∩EC=E，PE，EC?平面PEC，

所以BD⊥平面PEC．

因為EF?平面PEC，所以BD⊥EF．

(2)如圖，取DC的中點H，以E為坐標原點，分別以EB，EH，EP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

設AB=2，則BC=2,AD=1,PA=PB=2，

則P(0,0,1)，C(1,2,0)，D(?1,1,0)，E(0,0,0)，

設F(x,y,z),PF=λPC(0<λ<1)，

所以(x,y,z?1)=λ(1,2,?1)，

所以x=λ，y=2λ，z=1?λ，即F(λ,2λ,1?λ)．

則DC=(2,1,0),PC=(1,2,?1),EF=(λ,2λ,1?λ)，

設平面PCD的法向量為m=(a,b,c)，則m⊥DC，m⊥PC，

所以m?DC=2a+b=0?m?PC=a+2b?c=0，令a=1，得m=(1,?2,?3)，

設EF與平面PCD所成的角為θ，

由cosθ=7014，得sinθ=31414．18.(1)解：由題意得橢圓的方程：x2+y2116=1，

所以短半軸b=14，

所以p=2b=2×14=12，

所以拋物線C1的方程是y2=x，

設點P(t2,t)，

則|PQ|≥|PE|?12=(t2?2)2+t2?12=(t2?32)2+74?12≥7?12，

所以當ι2=32時，線段PQ長度取最小值7?12．

(2)證明：∵D(1,t)是拋物線C1上位于第一象限的點，

∴t2=1，且t>0，

∴D(1,1)，

設M(a2,a)，19.解：(1)剔除第10天數據后的(y?)新=19i=19yi=2.2×10?0.49=2.4，(t?)新=1+2+???+99=5，(i=19tiyi)新=118.73?10×0.4