第三節幾何概型考點高考試題考查內容核心素養幾何概型2017·全國卷Ⅰ·T2·5分與面積有關的幾何概型數學運算2016·全國卷Ⅰ·T4·5分與長度有關的幾何概型數學運算2016·全國卷Ⅱ·T10·5分利用幾何概型的概率公式求解數學運算命題分析幾何概型的考查主要是幾何概型概念的理解以及如何把一個實際問題轉化為幾何概型，幾何概型所涉及的幾何度量一般是長度、面積、體積、角度等，難度不大，一般出現在選擇題中.(對應學生用書P147)1．幾何概型的定義如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現的結果有無限多個；(2)等可能性：每個結果的發生具有等可能性．3．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構成事件A的區域長度面積或體積,試驗的全部結果所構成的區域長度面積或體積).4．隨機模擬方法(1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法．(2)用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法．這個方法的基本步驟是：①用計算器或計算機產生某個范圍內的隨機數，并賦予每個隨機數一定的意義；②統計代表某意義的隨機數的個數M和總的隨機數個數N；③計算頻率fn(A)＝eq\f(M,N)作為所求概率的近似值．提醒：易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點是試驗中每個結果的發生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗結果的個數是無限的，古典概型中試驗結果的個數是有限的．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中的每一點被取到的機會相等．()(2)在幾何概型定義中的區域可以是線段、平面圖形、立體圖形．()(3)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關．()(4)利用計算機產生0～1之間的均勻隨機數a，則事件“3a－1＜0”發生的概率為eq\f(1,3).()(5)隨機模擬方法是以事件發生的頻率估計概率．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2．(教材習題改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是()答案：A3．(教材習題改編)已知A＝{(x，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}，B＝{(x，y)|eq\r(1－x2)≤y}．若在區域A中隨機地扔一粒豆子，則該豆子落在區域B中的概率為()A．1－eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,4)－1 D．eq\f(π,8)答案：A4．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)解析：選B不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B．(對應學生用書P147)與長度、角度有關的幾何概型問題[明技法](1)與長度有關的幾何概型如果試驗的結果構成的區域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為P(A)＝eq\f(構成事件A的區域長度,試驗的全部結果所構成的區域長度).(2)與角度有關的幾何概型當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區域問題時，應以角的大小作為區域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段．[提能力]【典例】(1)已知一只螞蟻在邊長分別為5,12,13的三角形的邊上隨機爬行，則其恰在離三個頂點的距離都大于1的地方的概率為()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(π,60) D．eq\f(π,3)解析：選A由題意可知，三角形的三條邊長的和為5＋12＋13＝30，而螞蟻要在離三個頂點的距離都大于1的地方爬行，則它爬行的區域長度為3＋10＋11＝24，根據幾何概型的概率計算公式可得所求概率為eq\f(24,30)＝eq\f(4,5).(2)在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為銳角三角形的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：選C如圖，當∠AD1B為直角時，BD1＝1，當∠D2AB為直角時，BD2＝4，所以當點D取在D1D2之間時，△ABD為銳角三角形．∴根據幾何概型公式得P＝eq\f(4－1,6)＝eq\f(1,2).[刷好題]1．(2017·江蘇卷)記函數f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域為D.在區間[－4,5]上隨機取一個數x，則x∈D的概率是________.解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區間[－4,5]的長度為9，定義域D的長度為5，∴P＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)2．在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C.(1)在斜邊AB上任取一點M，求AM＜AC的概率；(2)在∠ACB的內部，以C為端點任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率．解：(1)如圖所示，在AB上取一點C′，使AC′＝AC，連接CC′.由題意，知AB＝eq\r(2)AC.由于點M是在斜邊AB上任取的，所以點M等可能分布在線段AB上，因此基本事件的區域應是線段AB.所以P(AM＜AC)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,\r(2)AC)＝eq\f(\r(2),2).(2)由于在∠ACB內作射線CM，等可能分布的是CM在∠ACB內的任一位置(如圖所示)，因此基本事件的區域應是∠ACB，所以P(AM＜AC)＝eq\f(∠ACC′,∠ACB)＝eq\f(\f(π－\f(π,4),2),\f(π,2))＝eq\f(3,4).與面積、體積有關的幾何概型問題[明技法]解決與面積體積有關的幾何概型的方法求解與面積體積有關的幾何概型時關鍵是弄清某事件對應的幾何元素，必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解．[提能力]【典例】(1)如圖，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形．將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，則P(A)＝()A．eq\f(4,π) B．eq\f(1,π)C．2 D．eq\f(2,π)解析：選D豆子落在正方形EFGH內是隨機的，故可以認為豆子落在正方形EFGH內任一點是等可能的，屬于幾何概型．因為圓的半徑為1，所以正方形EFGH的邊長是eq\r(2)，則正方形EFGH的面積是2，又圓的面積是π，所以P(A)＝eq\f(2,π).(2)有一個底面半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________.解析：先求點P到點O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O為球心，1為半徑且在圓柱內部的半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π.則點P到點O的距離小于或等于1的概率為eq\f(\f(2,3)π,2π)＝eq\f(1,3)，故點P到點O的距離大于1的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)[刷好題]1．(2015·陜西卷)設復數z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為()A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)C．eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)解析：選B由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)為圓心，半徑為1的圓及其內部，滿足y≥x的部分為如圖陰影所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為：P＝eq\f(\f(1,4)π×12－\f(1,2)×12,π×12)＝eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).2．若在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內任取一點P，則點P到點A的距離不大于a解析：滿足條件的點在以A為球心，半徑為a的eq\f(1,8)球內，所以所求概率為P＝eq\f(\f(1,8)×\f(4,3)πa3,a3)＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)生活中的幾何概型問題[明技法]生活中的幾何概型度量區域的構造方法：(1)審題：通過閱讀題目，提煉相關信息．(2)解模：利用相關信息的特征，建立概率模型．(3)建模：求解建立的數學模型．(4)結論：將解出的數學模型的解轉化為題目要求的結論．[提能力]【典例】(2018·西安模擬)甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內到達該碼頭的時刻是等可能的．如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．解：這是一個幾何概型問題．設甲、乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y，A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0≤x≤24,0≤y≤24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當且僅當甲比乙早到達1h以上或乙比甲早到達2h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件構成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．A為圖中陰影部分，全部結果構成集合U為邊長是24的正方形及其內部．所求概率為P(A)＝eq\f(A的面積,U的面積)＝eq\f(24－12×\f(1,2)＋24－22×\f(1,2),242)＝eq\f(506.5,576)＝eq\f(1013,1152).[刷好題]1．某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________(用數字作答)．解析：設小張與小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘．根據題意可畫出圖形，如圖所示，則總事件所占的面積為(50－30)2＝400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為eq\f(1,2)×15×15＝eq\f(225,2)，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)＝eq\f(\f(225,2),400)＝eq\f(9,32).答案：eq\f(9,32)2．在長度為1的線段上任取兩點，將線段分成三段，試求這三條線段能構成三角形的概率．解：設x、y表示三段長度中的任意兩個．因為是長度，所以應有0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜