24.2.2課時2切線的判定與性質第二十四章圓直線和圓的位置關系有哪幾種？d

r;d

r;直線和圓相切直線和圓相離d

r.●O●O相交●O相切相離rrr┐dd┐d┐<=>直線和圓相交1.理解圓的切線的判定定理及性質定理;2.能運用圓的切線的判定定理和性質定理解決問題.轉動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？都是沿切線方向飛出的.如何判斷一條直線是否為切線呢？思考一如圖，⊙O的半徑為r,在⊙O上任意取一點A，連接OA，過點A作直線l⊥OA.(1)圓心O到直線l的距離d與r的關系是______(2)直線l和⊙O的位置關系是______d=r相切知識點一：切線的判定切線的判定定理：經過半徑的________并且________于這條半徑的直線是圓的切線.外端垂直∵OA為⊙O的半徑，l

⊥

OA于A，∴l為⊙O的切線.符號語言：定理成立的依據：圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線，定理是此方法的另一種表述方式.歸納小結判一判：下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？O.AO.AAO(1)(2)(3)(1)不是，因為不是垂直關系.(2)，(3)不是，因為沒有經過半徑的外端點.注意：在此定理中，“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線.2.數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切.3.判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd歸納小結例1

如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D.求證：AC是⊙O的切線.分析：要證AC是⊙O的切線，只要證明由點O向AC所作的垂線段OE是＿＿＿＿＿＿＿就可以了.而OD是⊙O的半徑，則只要證OE=OD.⊙O的半徑證明：過點O作OE⊥AC，垂足為E,連接OD,OA.∵AB與⊙O相切于點D,∴________.又∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點,∴AO是∠BAC的平分線,∴__________,即OE是⊙O的半徑,∴AC經過⊙O的半徑OE的外端E，OE⊥AC,∴AC是⊙O的切線．OD⊥ABOE=OD例2

已知：直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.分析：由于AB過⊙O上的點C，所以連接OC，只要證明AB⊥OC即可.證明：連接OC(如圖).

∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.OBAC(1)有交點，連半徑,證垂直;(2)無交點，作垂直,證半徑.證切線時輔助線的添加方法例2例1方法點撥知識點二：切線的性質思考二如圖，⊙O的半徑為r，如果直線l是⊙O的切線，切點為A，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？為什么？解：OA⊥l,理由如下：假設OA與直線l不垂直，則OA不是點O到直線l的垂線段.過點O作OM⊥l于點M,OM的長為點O到直線l的距離d,根據垂線段最短的性質，有OM<OA，即d<r直線l與⊙O相交,與已知矛盾,故假設不成立,所以OA⊥l.此為反證法切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.∵直線l是⊙O

的切線，A是切點，∴直線l⊥OA.符號語言：歸納小結例3如圖,⊙O切PB于點B,PB=4,PA=2,則⊙O的半徑多少？解：連接OB，則∠OBP=90°.設⊙O的半徑為r,則OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中，OB2+PB2=OP2，即r2+42=(2+r)2.解得r=3.OPBA利用切線的性質解題時，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點，構造直角三角形，再利用直角三角形的相關性質或建立方程解題.∴⊙O的半徑為3.1.下列命題中，真命題是()A.垂直于半徑的直線是圓的切線B.經過半徑外端的直線是圓的切線C.經過切點的直線是圓的切線D.圓心到某直線的距離等于半徑，那么這條直線是圓的切線D2.如圖，AB是

⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB．求證：AT是

⊙O的切線．證明：∵∠ABT=45°，AT=AB，∴∠T=∠ABT=45°.∴∠BAT=90°.∵AB是

⊙O的直徑，∴AT是

⊙O的切線．3.如圖，⊙O切PB于點B，PB=4，PA=2，則⊙O的半徑是多少？OPBA解：如圖，連接OB，易知∠OBP=90°.設⊙O的半徑為r，則OA=OB=r，OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中，OB2

+PB2

=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得r=3，即⊙O的半徑為3.OABCEP4.如圖，在△ABC

中，AB

=

AC，以

AB

為直徑的⊙O

交邊

BC

于

P，PE⊥AC

于

E.求證：PE

是⊙O

的切線.證明：連接

OP，如圖.∵

AB

=

AC，∴∠B

=∠C.

∵

OB

=

OP，∴∠B