人教A版

數學

選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離自主預習新知導學一、點到直線的距離公式1.點到直線的距離(1)概念:過一點向直線作垂線,則該點與垂足之間的距離,就是該點到直線的距離.2.原點到直線x+2y-5=0的距離為(

)答案:D二、兩條平行直線間的距離1.兩條平行直線間的距離(1)概念:兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.(2)求法:兩條平行直線間的距離轉化為點到直線的距離.2.兩條平行直線l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0間的距離為(

)答案:C合作探究釋疑解惑探究一點到直線的距離【例1】

求點P0(-1,2)到下列直線的距離:(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.分析:對于(1)可用點到直線的距離公式求解,對于(2)(3)除了公式法求距離外還可以用數形結合法求解.解:(1)由點到直線的距離公式,(方法二)直線x=2與y軸平行,由圖①知d=|-1-2|=3.(方法二)直線y-1=0與x軸平行,由圖②知d=|2-1|=1.若點M(-2,1)到直線x+2y+C=0的距離為1,則C的值為

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反思感悟

1.在應用點到直線的距離公式時,首先把直線方程化為一般式,再利用公式求解.2.在已知點到直線的距離求參數時,只需根據公式列方程求解參數即可.【變式訓練1】

已知直線l經過點A(-1,2),且原點到l的距離等于,求直線l的方程.解:因為原點到直線x=-1的距離為1,所以直線l的斜率存在.設直線l的方程為y-2=k(x+1),則化成一般式為kx-y+2+k=0.故直線l的方程為y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1),即x+y-1=0或7x+y+5=0.探究二兩條平行直線間的距離【例2】

求兩條平行直線l1:6x+8y=20和l2:3x+4y-15=0間的距離.分析:思路一:直接應用兩條平行直線間的距離公式d=;思路二:先在直線l1上任取一點A(2,1),再求點A到直線l2的距離即為兩條平行直線間的距離.所以直線l1與l2間的距離為1.解法二:在直線l1上任取一點A(2,1),解法一:應用兩條平行直線間的距離公式求解.所以直線l1與l2間的距離為1.反思感悟

求兩條平行直線間的距離有兩種思路(1)直接利用兩條平行直線間的距離公式d=,但必須注意兩個直線方程中x,y的系數對應相等.(2)利用“化歸”法將求兩條平行直線的距離轉化為求一條直線上任意一點到另一條直線的距離.【變式訓練2】

已知直線l與直線3x+4y-1=0平行,且兩條直線間的距離為4,則直線l的方程為

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解析:設直線l的方程為3x+4y+C=0,所以直線l的方程為3x+4y+19=0或3x+4y-21=0.答案:3x+4y+19=0或3x+4y-21=0探究三距離公式的綜合應用【例3】

已知直線l經過點A(2,4),且被平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y-1=0所截的線段中點M在直線x+y-3=0上,求直線l的方程.分析:可先設出點M的坐標,利用點M到兩條平行直線的距離相等,求出點M的坐標,再用兩點式寫出直線l的方程,也可先求出與l1,l2平行且等距離的直線方程,再與方程x+y-3=0聯立求出點M的坐標,最后由兩點式寫出直線l的方程.解法一:∵點M在直線x+y-3=0上,∴可設點M坐標為(t,3-t).解法二:設與直線l1,l2平行且距離相等的直線l3的方程為x-y+C=0.反思感悟

應用距離公式解答有關問題時,要注意以下幾點(1)直線的方程是一般式,在應用兩條平行直線間的距離公式時,兩個直線方程中x,y的系數對應相等.(2)要結合圖形,幫助解答.(3)求直線方程時,要特別注意斜率不存在的情況.【變式訓練3】

求經過點M(-2,1),且與A(-1,2),B(3,0)兩點距離相等的直線l的方程.解法一:當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-2,與A,B兩點距離不相等,不符合題意;當直線l的斜率存在時,設l的方程為y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.故直線l的方程為y=1或x+2y=0.解法二:由平面幾何知識知,l∥AB或l經過線段AB的中點.若l經過線段AB的中點N(1,1),則直線l的方程為y=1.故直線l的方程為y=1或x+2y=0.【思想方法】

巧用數形結合思想求兩條平行直線間距離的最值問題【典例】

兩條互相平行的直線分別經過點A(6,2)和B(-3,-1),如果兩條平行直線間的距離為d,求:(1)d的變化范圍;(2)當d取最大值時,求兩條直線的方程.審題視角:解答本題可以利用運動變化的觀點,讓兩條直線分別繞定點轉動,觀察它們之間距離的變化情況,從而得到d的變化范圍.故所求的兩條直線的方程分別為y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0,3x+y+10=0.方法點睛

數形結合、運動變化的思想和方法是數學中常用的思想方法.當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況,進而可