第52講立體幾何中的軌跡問題知識梳理立體幾何中的軌跡問題常用的五種方法總結：1、定義法2、交軌法3、幾何法4、坐標法5、向量法必考題型全歸納題型一：由動點保持平行求軌跡例1．（2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學校考開學考試）設正方體的棱長為1，點E是棱的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

①如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為；②如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；③如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；④如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為．其中正確的命題個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2024·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯考期末）在棱長為1的正方體中，E在棱上且滿足，點F是側面上的動點，且面AEC，則動點F在側面上的軌跡長度為．例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？计谀┤鐖D所示，在棱長為2的正方體中，E，F，G分別為所在棱的中點，P為平面內（包括邊界）一動點，且∥平面EFG，則P點的軌跡長度為

變式1．（2024·四川成都·高一成都市錦江區嘉祥外國語高級中學?？计谀┤鐖D，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．若側面的中心為，為側面內的一個動點，平面，且的軌跡長度為，則三棱柱的表面積為．

變式2．（2024·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，正方體的棱長為2，點是線段的中點，點是正方形所在平面內一動點，若平面，則點軌跡在正方形內的長度為.

變式3．（2024·江蘇泰州·高二泰州中學?？茧A段練習）正方體的棱長為3，點，分別在線段和線段上，且，，點是正方形所在平面內一動點，若平面，則點的軌跡在正方形內的長度為.變式4．（2024·全國·高三專題練習）在邊長為2的正方體中，點M是該正方體表面及其內部的一動點，且平面，則動點M的軌跡所形成區域的面積是．變式5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體的棱長為分別是棱的中點，點為底面四邊形內（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點在四邊形內運動所形成軌跡的長度為.變式6．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，正方體的棱長為分別為，的中點，點是正方體表面上的動點，若平面，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡長度為．變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知棱長為的正四面體，為的中點，動點滿足，平面經過點，且平面平面，則平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為.題型二：由動點保持垂直求軌跡例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習）在棱長為4的正方體中，點P、Q分別是，的中點，點M為正方體表面上一動點，若MP與CQ垂直，則點M所構成的軌跡的周長為.例5．（2024·湖南長沙·長郡中學校考二模）在正四棱柱中，，E為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌跡的長為.例6．（2024·全國·唐山市第十一中學?？寄M預測）已知為正方體的內切球球面上的動點，為的中點，，若動點的軌跡長度為，則正方體的體積是.變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知直三棱柱的所有棱長均為4，空間內的點滿足，且，則滿足條件的所形成曲線的軌跡的長度為.變式9．（2024·四川成都·三模）如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點，已知，，圓柱的高為5．若點D在圓柱表面上運動，且滿足，則點D的軌跡所圍成圖形的面積為．變式10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為．變式11．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，動點在內（包括邊界上），且始終滿足，則動點的軌跡長度是.變式12．（2024·山東棗莊·高一統考期末），分別是棱長為1的正方體的棱的中點，點在正方體的表面上運動，總有，則點的軌跡所圍成圖形的面積為.

變式13．（2024·四川廣元·高二廣元中學校考期中）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為．

變式14．（2024·陜西榆林·高二?？茧A段練習）如圖，正方體的棱長為，點是棱的中點，點是正方體表面上的動點．若，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡的長度為（

）

A． B．C． D．題型三：由動點保持等距（或定長）求軌跡例7．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）在棱長為1的正方體中，點Q為側面內一動點（含邊界），若，則點Q的軌跡長度為．例8．（2024·湖北武漢·高一湖北省水果湖高級中學校聯考期末）已知正方體的棱長為3，動點在內，滿足，則點的軌跡長度為.例9．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學?？茧A段練習）已知正方體的棱長為1，點P在該正方體的表面上運動，且則點P的軌跡長度是．變式15．（2024·貴州銅仁·統考模擬預測）已知正方體的棱長為4，點P在該正方體的表面上運動，且，則點P的軌跡長度是．變式16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考二模）表面積為36π的球M表面上有A，B兩點，且為等邊三角形，空間中的動點P滿足，當點P在所在的平面內運動時，點P的軌跡是；當P在該球的球面上運動時，點P的軌跡長度為.變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點，是側棱上的動點，直線交平面于點，則動點的軌跡長度的最小值為．變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知棱長為8的正方體中，平面ABCD內一點E滿足，點P為正方體表面一動點，且滿足，則動點P運動的軌跡周長為．變式19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知棱長為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內（包括邊界）的動點，滿足PM=PD，則點P的軌跡長度為．變式20．（2024·河南許昌·高三統考階段練習）三棱錐的體積為，底面三角形是邊長為的正三角形且其中心為，三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，則點的軌跡長度為.變式21．（2024·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，二面角的大小為，在側面內(含邊界)有一動點，滿足到的距離與到平面的距離相等，則動點的軌跡的長度為．題型四：由動點保持等角（或定角）求軌跡例10．（2024·山東·高三專題練習）如圖所示，在平行四邊形中，E為中點，，，.沿著將折起，使A到達點的位置，且平面平面.設P為內的動點，若，則P的軌跡的長度為.例11．（2024·全國·高三專題練習）在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方形（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為.例12．（2024·湖北省直轄縣級單位·統考模擬預測）已知正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為底面正方形ABCD上一動點，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡的長度為．變式22．（2024·陜西·高三陜西省榆林中學校聯考階段練習）已知正方體的棱長為2，點為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點的軌跡所圍成的周長為．變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知點P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，若使的點P的軌跡長度為a；使直線平面BDC的點P的軌跡長度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為c．則a，b，c的大小關系為．（用“＜”符號連接）變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知正方體中，，點E為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點E的軌跡所圍成的面積為．變式25．（2024·山西大同·高一統考期中）已知是半徑為2的球面上的四點，且．二面角的大小為，則點形成的軌跡長度為．變式26．（2024·貴州銅仁·高二統考期末）粽子是端午節期間不可缺少的傳統美食，銅仁的粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門，有竹筒形、長方體形、圓錐形等，但最常見的還是“四角粽子”，其外形近似于正三棱錐．因為將粽子包成這樣形狀，既可以節約原料，又不失飽滿，而且十分美觀．如圖，假設一個粽子的外形是正三棱錐，其側棱和底面邊長分別是8cm和6cm，是頂點在底面上的射影．若是底面內的動點，且直線與底面所成角的正切值為，則動點的軌跡長為．

變式27．（2024·廣東佛山·高二校聯考期中）如圖，正方體的棱長為1，點P為正方形內的動點，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點P的軌跡長度為（

）

A． B． C． D．變式28．在正方體中，動點M在底面內運動且滿足，則動點M在底面內的軌跡為（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個答案都不對題型五：投影求軌跡例13．（2024·安徽滁州·高三?？茧A段練習）如圖，在中，，，，D為線段BC（端點除外）上一動點.現將沿線段AD折起至，使二面角的大小為120°，則在點D的移動過程中，下列說法錯誤的是（）A．不存在點，使得B．點在平面上的投影軌跡是一段圓弧C．與平面所成角的余弦值的取值范圍是D．線段的最小值是例14．（2024·江蘇徐州·高二徐州市第一中學?？茧A段練習）如圖，在等腰中，，，為的中點，為的中點，為線段上一個動點（異于兩端點），沿翻折至，點在平面上的投影為點，當點在線段上運動時，以下說法不正確的是（

）．A．線段為定長 B．C． D．點的軌跡是圓弧例15．（2024·江西贛州·高二南康中學?？茧A段練習）在等腰直角中，，，為中點，為中點，為邊上一個動點，沿翻折使，點在平面上的投影為點，當點在上運動時，以下說法錯誤的是A．線段為定長 B．C．線段的長 D．點的軌跡是圓弧變式29．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率．變式30．（2024·浙江嘉興·高三嘉興一中?？计谥校┤鐖D，在中，，，.過的中點的動直線與線段交于點.將沿直線向上翻折至，使得點在平面內的投影落在線段上.則點的軌跡長度為.變式31．（2024·北京·高三專題練習）如圖，在矩形中，，，為線段上一動點，現將沿折起得到，當二面角的平面角為，點在平面上的投影為，當從運動到，則點所形成軌跡的長度為.題型六：翻折與動點求軌跡例16．（2024·全國·高三專題練習）在矩形中，是的中點，，將沿折起得到，設的中點為，若將繞旋轉，則在此過程中動點形成的軌跡長度為.例17．（2024·全國·高三專題練習）矩形ABCD中，，E為AB中點，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當θ在范圍內變化時，點A'的軌跡長度為例18．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在平行四邊形中，為中點，，，.沿著將折起，使到達點的位置，且平面平面.若點為內的動點，且滿足，則點的軌跡的長度為.變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知菱形ABCD的邊長為2，.將菱形沿對角線AC折疊成大小為60°的二面角.設E為的中點，F為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點F軌跡的長度為.變式33．（2024·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）在矩形ABCD中，，，點E在CD上，現將沿AE折起，使面面ABC，當E從D運動到C，求點D在面ABC上的射影K的軌跡長度為（

）A． B． C． D．變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知菱形的各邊長為．如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時．是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持，則點的軌跡的周長為（

）A． B． C． D．變式35．（2024·全國·高三專題練習）已知△ABC的邊長都為2，在邊AB上任取一點D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD