[在此處鍵入]第4講基本不等式及其應用知識梳理1、基本不等式如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數，叫作的幾何平均數．即正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．基本不等式1：若，則，當且僅當時取等號；基本不等式2：若，則（或），當且僅當時取等號．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續使用不等式要注意取得一致．【解題方法總結】1、幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則（當且僅當“”時取“”）．特例：（同號）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關系式）③（溝通兩積與兩和的不等關系式）④重要不等式串：即調和平均值幾何平均值算數平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見求最值模型模型一：，當且僅當時等號成立；模型二：，當且僅當時等號成立；模型三：，當且僅當時等號成立；模型四：，當且僅當時等號成立．必考題型全歸納題型一：基本不等式及其應用【解題方法總結】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進行驗證．例1．（2024·遼寧·校聯考二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖知：，在中，，所以，即，故選：C例2．（2024·全國·高三專題練習）已知x，y都是正數，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】x，y都是正數，由基本不等式，，，，這三個不等式都是當且僅當時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；中當且僅當時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．故選：D．例3．（2024·江蘇·高三專題練習）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數的最小值；解答過程：可化得；設，求的最小值；解答過程：，當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】對：基本不等式適用于兩個正數，當，均為負值，此時，當且僅當，即時等號成立，故的用法有誤，故錯誤；對：，當且僅當，即時取等號，但，則等號取不到，故的用法有誤；對：，，，當且僅當，即時取等號，故的用法有誤；故使用正確的個數是0個，故選：.題型二：直接法求最值【解題方法總結】直接利用基本不等式求解，注意取等條件．例4．（2024·河北·高三學業考試）若，，且，則的最大值為______．【答案】【解析】由題知，，，且因為，所以，所以，即，當且僅當，即時，取等號，故答案為：例5．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）若，，且，則的最小值是____________．【答案】【解析】因為（當且僅當時，等號成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值為.故答案為：例6．（2024·天津南開·統考一模）已知實數，則的最小值為___________.【答案】【解析】∵，，，∴，當且僅當即時取等號.故答案為：.題型三：常規湊配法求最值【解題方法總結】1、通過添項、拆項、變系數等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗證取得條件．例7．（2024·全國·高三專題練習）若，則的最小值為___________.【答案】0【解析】由，得，所以，當且僅當即時等號成立.故答案為：0例8．（2024·全國·高三專題練習）已知，則的最小值為__________.【答案】3【解析】，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：3.例9．（2024·全國·高三專題練習）若，則的最小值為______【答案】/【解析】由，則.因為，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.例10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習）若關于x的不等式的解集為，則的最小值為_________．【答案】8【解析】因為不等式的解集為，則，因為，所以，∴．當且僅當，即時，取到等號．故答案為：8題型四：消參法求最值【解題方法總結】消參法就是對應不等式中的兩元問題，用一個參數表示另一個參數，再利用基本不等式進行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！例11．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】由，得，所以，當且僅當，即取等號.故選：B.例12．（2024·全國·高三專題練習）若，，則的最小值為___________.【答案】【解析】因為且，則兩邊同除以，得，又因為，當且僅當，即時等號成立，所以.故答案為:例13．（2024·全國·高三專題練習）已知，，滿足，則的最小值是______．【答案】.【解析】由，得，所以.當且僅當即時等號成立，所以的最小值是.故答案為：.題型五：雙換元求最值【解題方法總結】若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分母為兩個參數，轉化為這兩個參數的不等關系．1、代換變量，統一變量再處理．2、注意驗證取得條件．例14．（2024·浙江省江山中學高三期中）設，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）設，則，條件，所以，即.故選：D.法二：（三角換元）由條件，故可設，即，由于，，故，解得所以，，所以,當且僅當時取等號.故選：D.例15．（2024·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．【答案】【解析】由題意，，，，得：，設，則，故，當且僅當，即時取得等號，故的最小值為，故答案為：例16．（2024·全國·高三專題練習）已知，，，則取到最小值為________．【答案】．【解析】令，∴，∴，當且僅當時，等號成立，即的最小值是．題型六：“1”的代換求最值【解題方法總結】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形．1、根據條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、注意驗證取得條件．例17．（2024·安徽蚌埠·統考二模）若直線過點，則的最小值為______．【答案】/【解析】∵直線過點，．，當且僅當，即，時取等號．的最小值為．故答案為：．例18．（2024·河北·高三校聯考階段練習）已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】，，當且僅當時取等號，則的最小值為.故答案為：例19．（2024·湖南衡陽·高三?？计谥校┮阎?，且，則的最小值為______.【答案】1【解析】因為，所以，即，因為，，所以，，當且僅當，即時取等號.所以的最小值為1.故答案為：1例20．（2024·山東青島·高三山東省青島第五十八中學校考階段練習）已知正實數滿足，則的最小值為___________.【答案】8【解析】因為，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為8.故答案為：8.題型七：齊次化求最值【解題方法總結】齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉化為運用基本不等式進行求解．例21．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數a，b，c，，則的最小值為_______________．【答案】/【解析】由正實數a，b，，可得，所以而，當且僅當即時取等號，故，當且僅當時，即時取等號，故答案為：例22．（2024·全國·高三專題練習）已知a，b為正實數，且，則的最小值為______．【答案】6【解析】由已知條件得，，當且僅當，即，時取等號．故答案為：6.例23．（2024·天津紅橋·高三天津市復興中學校考階段練習）已知，則的最大值是____________.【答案】【解析】，設，所以原式=，令所以原式=.(函數在上單調遞增)故答案為：題型八：利用基本不等式證明不等式【解題方法總結】類似于基本不等式的結構的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得證明．例24．（2024·全國·高三專題練習）利用基本不等式證明：已知都是正數，求證：【解析】都是正數，（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號），即.例25．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知x，y，z為正數，證明：(1)若，則；(2)若，則．【解析】（1）因為，所以，同理可得，，所以，故，當且僅當時等號成立．（2），因為，所以，當且僅當時等號成立．例26．（2024·四川廣安·高三校考開學考試）已知函數，若的解集為．(1)求實數，的值；(2)已知均為正數，且滿足，求證：．【解析】（1）因為的解集為，所以，即，所以，又，所以，即.所以，當時，,得，則，當時，，得，當時，，得，不成立，綜上所述：的解集為，因為的解集為．所以.（2）由（1）知，，所以，所以，當且僅當，時，等號成立，所以，所以，當且僅當，時，等號成立.題型九：利用基本不等式解決實際問題【解題方法總結】1、理解題意，設出變量，建立函數模型，把實際問題抽象為函數的最值問題．2、注意定義域，驗證取得條件．3、注意實際問題隱藏的條件，比如整數，單位換算等．例27．（2024·全國·高三專題練習）首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節能減排，綠色生態”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數關系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？【解析】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當且僅當，即時等號成立，故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.（2）不獲利，設該單位每個月獲利為S元，則，因為，則，故該當單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.例28．（2024·貴州安順·高一統考期末）某企業采用新工藝，把企業生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為．(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？(2)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？【解析】（1）該單位每月的月處理成本：，因，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，從而得當時，函數取得最小值，即.所以該單位每月處理量為200噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元.（2）由題意可知：，每噸二氧化碳的平均處理成本為：當且僅當，即時，等號成立.所以該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低，為200元．例29．（2024·湖北孝感·高一統考開學考試）截至年月日，全國新型冠狀病毒的感染人數突破人疫情嚴峻，請同學們利用數學模型解決生活中的實際問題.(1)我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時間（單位：）.的變化用指數模型描述，假定某藥物的消除速率常數（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內的血藥含量不低于時才會對新冠肺炎起療效，現給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有療效的時長大約為多少小時？（精確到，參考數據：，）(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側面長為米，且不超過，房高為米.房屋正面造價元平方米，側面造價元平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側面長為多少時，總價最低？【解析】（1）由題意得，，設該藥在病人體內的血藥含量變為時需要是時間為，由，得，故，．該新藥對病人有療效的時長大約為．（2）由題意，正面長為米，故總造價，即.由基本不等式有，當且僅當，即時取等號.故當，即，時總價最低；當，即時，由對勾函數的性質可得，時總價最低；綜上，當時，時總價最低；當時，時總價最低.題型十：與、平方和、有關問題的最值【解題方法總結】利用基本不等式變形求解例30．（多選題）（2024·重慶·統考模擬預測）若實數，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】,當時，，當且僅當或時等號成立，得，當時，，當且僅當或時等號成立，得，當時，由可得或綜合可得，故C正確，D錯誤；，當時，，故A錯誤，B正確；故選：BC.例31．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，且，則（

）A．的最小值為4 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【解析】，當且僅當，即時取等號，則正確；，即，當且僅當，即時取等號，則B錯誤；，當，即時，，則C正確；，當且僅當時取等號，則D正確.故選：ACD例32．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A：由，得，