專題3-2三角函數求w類型及三角換元應用歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01平移型求w 1題型02單調區間及單調性求w 3題型03對稱中心（零點）求w 5題型04對稱軸型求w 8題型05對稱軸及單調性型求w 11題型06“臨軸”型求w 13題型07“臨心”型求w 16題型08區間內有“心”型求w 19題型09區間內無“心”型求w 22題型10區間內最值點型求w 24題型11多可能性分析型求w 28題型12三角應用：三角雙換元 32題型13三角應用：無理根號型 34題型14三角應用：圓代換型 36題型15三角應用：向量型換元 38高考練場 41題型01平移型求w【解題攻略】平移型求w，可以借助代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，或者利用單調區間，再結合圖形解出值或者范圍。【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，將的圖像向右平移個單位長度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意是周期的整數倍，求出的表達式，從而求出其最小值.【詳解】,的周期為,將的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像與原圖像重合，是周期的整數倍，，，，的最小值等于.故選：B【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖像向右平移個單位長度后與原函數圖像重合，則實數的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】由題意可知是的周期的倍數，即，從而可求得答案【詳解】解：因為函數的圖像向右平移個單位長度后與原函數圖像重合，所以是的周期的倍數，設，所以，因為，所以當時，最小，故選：C【變式1-1】（2021春·浙江杭州·高三學軍中學校考開學考試）將函數的圖像向左平移2個單位長度后，與函數的圖象重合，則的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】平移函數圖象后得，根據與重合可求解.【詳解】函數的圖像向左平移2個單位長度后可得，，與函數的圖象重合，所以，由，所以.故選：A.【變式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學校考一模）將函數（）的圖象向右平移個單位長度后與函數的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】由正弦函數的平移法則以及周期性可得，結合即可求解.【詳解】由題意可得，∴，，解得，，又，∴當時，取得最小值為5．故選：D.【變式1-3】（2023·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）將的圖象向左平移個單位長度后與函數的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圖象變換可得，根據題意結合誘導公式可得，運算求解即可得結果.【詳解】將的圖象向左平移個單位長度后，得到，則，解得，所以當時，的最小值為.故選：C.題型02單調區間及單調性求w【解題攻略】正弦函數在每一個閉區間（k∈Z）上都單調遞增，在每一個閉區間（k∈Z）上都單調遞減余弦函數在每一個閉區間[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都單調遞增，在每一個閉區間[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上都單調遞減【典例1-1】（上海市川沙中學2021-2022學年高三下學期數學試題）設，若函數在上單調遞增，則的取值范圍是________【答案】【解析】根據正弦函數的單調性，求出函數的單增區間，由（），可得：，所以，整理即可得解.【詳解】根據正弦函數的單調性，可得：（），所以：，解得：，整理可得：，當有解，解得.故答案為：.【典例1-2】（廣西玉林市育才中學2022屆高三12月月考數學試題）已知函數的圖象關于直線對稱，且，在區間上單調，則的值為_____________.【答案】2或6.【詳解】因為的圖象關于直線對稱,故,...①又,故或,...②①-②可得或,,.解得或,,又在區間上單調,故周期滿足,且,所以故當時有滿足條件.故答案為：2或6【變式1-1】函數,若在區間上是單調函數,且則的值為（）A． B．或 C． D．或【答案】B分析：由在區間是有單調性，可得范圍，從而得；由，可得函數關于對稱，又，有對稱中心為；討論與是否在同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心即可．詳解：因為在單調，∴，即，而；若，則；若，則是的一條對稱軸，是其相鄰的對稱中心，所以，∴.故選B.【變式1-2】若函數在上是增函數，則的取值范圍是____________.【答案】【分析】首先對函數的解析式進行恒等變形，然后結合三角函數的性質得到關于的不等式，求解不等式即可確定的取值范圍.【詳解】整理函數的解析式有：結合題意可知函數的最小正周期：,即，求解不等式可得的取值范圍是.【變式1-3】（2022-2021學年度下學期高三數學備考總動員C卷）若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是________.【答案】【分析】先由題意可知，得到，再由整體法得到單調減區間為，顯然是其子集，由此可得，檢驗的值易得，得解.【詳解】由題意可得函數的最小正周期,∴，∵函數的最小正周期為，單調減區間為，又，由，得，∴函數的單調減區間為．∵函數在區間上單調遞減，∴，∴，解得．當時，，不合題意；當時，，符合題意；當時，，顯然矛盾，不合題意.∴實數的取值范圍是．故答案為：.題型03對稱中心（零點）求w【解題攻略】正弦函數對稱中心(kπ，0)(k∈Z)余弦函數對稱中心(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)正切函數對稱中心(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）設函數的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正切函數的對稱中心得到，，再對各選項逐一檢驗分析即可.【詳解】根據題意得，，則，又，則，，對于A，若是的最小正周期，則，得，與矛盾，故A錯誤；對于B，由得，滿足條件，故B正確；對于C，由得，與矛盾，故C錯誤；對于D，由得，與矛盾，故D錯誤.故選：B.【典例1-2】（2022秋·重慶·高三統考期中）若存在實數，使得函數的圖象的一個對稱中心為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，則，再根據，，即可得出答案.【詳解】解：由題意知，存在在使得的一個對稱中心為，即存在使得時，，代入，則，即，即，因為，，所以，則，由不等式性質知時，取到最小值，又由于無法取到，故，所以的取值范圍為.故選：C..故選：C.【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）已知，周期是的對稱中心，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據條件，列出方程即可求得，然后根據對稱中心以及周期范圍求出，即可得到的解析式，從而得到結果.【詳解】因為，由可得，且，所以，又因為是的對稱中心，故解得且，即所以，當時，即，所以故選:D【變式1-2】（2022秋·高三課時練習）已知函數的部分圖象如圖，的對稱中心是，則（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】可得，根據輔助角公式可得，由對稱中心可得最小正周期為，故根據可求，從而可求.【詳解】，由的對稱中心是，知的最小正周期，故故解得.故.故選:D.【變式1-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三校考階段練習）設函數的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切型函數的對稱性可得出的表達式，再利用正切型函數的周期公式可求得結果.【詳解】因為函數的圖象的一個對稱中心為，所以，，可得，，則，故函數的最小正周期為，當時，可知函數的一個最小正周期為.故選：C.題型04對稱軸型求w【解題攻略】正弦函數對稱軸（k∈Z）時，ymax＝1；（k∈Z）時，ymin＝－1余弦函數對稱軸x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）時，ymin＝－1【典例1-1】（2022秋·山西長治·高三山西省長治市第二中學校校考階段練習）已知函數的部分圖象如圖，的對稱軸方程為，則（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【分析】根據給定的對稱軸方程可得的周期，進而求出，再借助函數性質及給定圖象求出A值作答.【詳解】由給定的圖象知，，，即，因函數圖象的對稱軸方程為，則的最小正周期，，而，顯然有，即，解得，所以.故選：A【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）若是函數圖象的對稱軸，則的最小正周期的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據對稱軸可求的值，從而可求最小正周期.【詳解】因為是函數圖象的對稱軸，所以，故，所以，故的最小正周期的最大值為，故選：D.【變式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中學校考階段練習）已知函數的圖像關于對稱，則函數的圖像的一條對稱軸是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由函數的圖像關于對稱，求出，再對化簡即可求出.【詳解】函數變為，（令）.因為函數的圖像關于對稱，所以,解得：.所以.所以函數，其中,其對稱軸方程,所以.因為，所以，所以.當時，符合題意.對照四個選項，D正確.故選：D.【變式1-2】（“超級全能生”高考全國卷26省9月聯考乙卷數學試題）已知向量，函數，且，若的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區間，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】,,由，得，,由對稱軸,假設對稱軸在區間內，可知當k=1,2，3時，，現不屬于區間，所以上面的并集在全集中做補集，得，選B.【變式1-3】已知向量，函數，且，若的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區間，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【詳解】，又，，，所以，由的任何一條對稱軸與軸的交點的橫坐標都不屬于區間，則得，，當，，顯然不符合題意；當，符合題意；當，，符合題意；當，，顯然不符合題意，綜上的取值范圍是，故選B題型05對稱軸及單調性型求w【典例1-1】（2021屆重慶市南開中學高考沖刺二數學試題）已知函數，對任意的，都有，且在區間上單調，則的值為___________.【答案】【分析】根據，得函數的對稱軸為，所以有可得，解得，再分類討論又在區間上單調遞增和遞減兩種情況，對每一種情況列出關于的不等式組，解之可求得的值.【詳解】因為，所以函數的對稱軸為，所以即，解得，,又在區間上單調，所以（1）若在區間上單調遞增，則∵，∴，∴，即，解得，所以，且，所以當時，滿足題意；（2）若在區間上單調遞減，則∵，∴，∴，即，解得，所以，且，此時無解，綜上可得滿足題意；故答案為：.【典例1-2】（2020屆百校聯考高考百日沖刺金卷全國Ⅱ卷?數學（二）試題）已知函數的一條對稱軸為，且在上單調，則的最大值為（）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】函數的對稱軸可表示為：，在上單調可得，使得，然后可得，即可分析出答案.【詳解】函數的對稱軸可表示為：，在上單調可得，使得，解得又.，∴當3時，可取最大值為【變式1-1】（四川省成都市新都區2020-2021學年高三診斷測試數學試題）已知函數滿足，，且在區間上單調，則的最大值為________．【答案】【分析】根據函數在區間上單調得，再由，得到區間的長度恰好為，再根據的范圍求得的最大值，進而得到的最大值.【詳解】因為在區間上單調，所以，因為，，所以，所以，當，所以.故答案為：.【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知函數在上是單調函數，其圖象的一條對稱軸方程為，則的值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用正弦函數的圖象與性質，列出不等式組，結合選項，即可求解.【詳解】由題意，函數在上是單調函數，則滿足，可得，結合選項可得，可能的值為和.故選：B.【變式1-3】（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數在區間[0，]上不單調，則的最小值為（

）A．9 B．7 C．11 D．3【答案】C【分析】根據給定條件，求出的關系式，再求出函數含有數0的單調區間即可判斷作答.【詳解】因直線是曲線的一條對稱軸，則，即，由得，則函數在上單調遞增，而函數在區間上不單調，則，解得，所以的最小值為11.故選：C題型06“臨軸”型求w【解題攻略】若的圖像關于直線對稱,則或.【典例1-1】（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考開學考試）已知函數的最大值為4，最小值為0，且該函數圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，直線是該函數圖象的一條對稱軸，則該函數的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據函數的最大值為4，最小值為0，求得A，m，再由該函數圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，求得，然后由直線是該函數圖象的一條對稱軸求解.【詳解】因為函數的最大值為4，最小值為0，所以，所以，又因為該函數圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，所以，則，所以函數，又直線是該函數圖象的一條對稱軸，所以，則，因為，所以，所以該函數的解析式是，故選：B【典例1-2】（2023秋·高三課時練習）已知函數，是函數的一個零點，是函數的一條對稱軸，若在區間上單調，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設函數的最小正周期為，根據題意分析得出，其中，可得出，利用函數的單調性可得出的取值范圍，可得出的可能取值，然后對的值由大到小進行檢驗，可得結果.【詳解】設函數的最小正周期為，因為是函數的一個零點，是函數的一條對稱軸，則，其中，所以，，，因為函數在區間上單調，則，所以，.所以，的可能取值有：、、、、.（i）當時，，，所以，，則，，，所以，，當時，，所以，函數在上不單調，不合乎題意；（ii）當時，，，所以，，則，，，所以，，當時，，所以，函數在上單調遞減，合乎題意.因此，的最大值為.故選：A.【變式1-1】（2023秋·河南洛陽·高三洛寧縣第一高級中學校考階段練習）已知，是函數圖象上兩條相鄰的對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數的對稱性和周期性計算即可.【詳解】由題意得：，故，則當時，，又，故.故選：A.【變式1-2】（2023春·廣東佛山·高三校考階段練習）已知函數，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.若將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，且當時，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得的解析式，再得到的解析式，并求得在上的最小值，進而構造關于的不等式，解之即可求得的取值范圍.【詳解】又圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，則的周期為，則，則將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，則當時，，當時，不等式恒成立，則恒成立，解之得故選：B【變式1-3】（2023春·四川成都·高三校聯考階段練習）已知直線是函數圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，則的單調遞增區間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題知，進而得，再求解函數單調區間即可.【詳解】解：直線是函數圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，，即，令，解得，的單調遞增區間是.故選：B.題型07“臨心”型求w【解題攻略】函數的性質：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，由求對稱中心.(4)由求增區間；由求減區間.【典例1-1】（2023春·廣東珠海·高三校考）已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角化簡函數解析式為，分析可知，函數的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數圖象對稱中心的橫坐標，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.【詳解】因為，因為函數的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，所以，函數的最小正周期滿足，即，則，由可得，因為函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，則，可得，又因為且存在，則，解得，因為，則，所以，，故選：B.【典例1-2】（2023上·天津東麗·高三天津市第一百中學校考階段練習）函數，的最大值為2，其圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為，且的圖象關于直線對稱，則下列判斷正確的是（

）A．函數在上單調遞減B．將圖象向右平移個單位與原圖象重合C．函數圖象關于點對稱D．函數的圖象關于直線對稱【答案】D【分析】依題意可求得,從而可求得的解析式，從而可以對函數的單調區間、對稱中心、對稱軸、平移一一判斷.【詳解】函數，的最大值為2，即，所以，又圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為，由的圖象關于直線對稱，所以，即，當時，，函數不單調，故選項A錯誤；將圖象向右平移個單位，得，其圖象與原圖象不重合，故選項B錯誤；令，可得，圖象關于點對稱，故選項C錯誤；當時，為最小值，函數的圖象關于直線對稱，故選項D正確.故選：D.【變式1-1】（2023下·河南焦作·高三統考）已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角化簡函數解析式為，分析可知，函數的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數圖象對稱中心的橫坐標，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.【詳解】因為，因為函數的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，所以，函數的最小正周期滿足，即，則，由可得，因為函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，則，可得，又因為且存在，則，解得，因為，則，所以，，故選：B.【變式1-2】（2023·云南紅河·統考二模）已知函數（）的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】由正切函數的性質得出，繼而由周期公式得出.【詳解】解：設的最小正周期為，由函數（）的圖象上相鄰兩個對稱中心之間的距離為，知，，又因為，所以，即，則．故選：B．【變式1-3】（2021上·四川雅安·高三統考期末）已知函數，點和是其相鄰的兩個對稱中心，且在區間內單調遞減，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正切函數的圖象性質，得出相鄰兩個對稱中心之間的距離為半個周期，可求出T，然后由求出，然后再代點討論滿足題意的，即可得出答案.【詳解】由正切函數圖象的性質可知相鄰兩個對稱中心的距離為，得.則由得，即得.由，且在區間內單調遞減，則可得，∴.由得，因，可得或，當時，，由，得，則函數的單調減區間為，令，由，得函數在上不是單調遞減，所以不滿足題意；當時，，由，得，則函數的單調減區間為，令，由，得函數在上單調遞減，所以滿足題意；綜上可得：滿足題意.故選：A.題型08區間內有“心”型求w【解題攻略】求w的表達式時，中不要把寫成k,因為后面還有一個k,中不要把寫成k，否則不好研究w的最小值.它們本身就不一定相等.【典例1-1】（天津市部分區2020屆高考二模數學試題）若函數()在區間上單調遞減，且在區間上存在零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結合余弦函數的單調區間可得，由余弦函數的零點可得，即可得解.【詳解】當時，，又，，函數()在區間上單調遞減，，即，解得；令，則，即，由，可得當且僅當時，，又函數()在區間上存在零點，，解得；綜上，的取值范圍是.故選：D.【典例1-2】（2021春?商洛）已知函數在，上恰有6個零點，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：當時，；當時，．因為在，上恰有6個零點，且，所以，解得．故選：．【變式1-1】（2022?湖北模擬）已知函數在區間，上恰有三個零點，則的取值范圍是．【解答】解：由題意：轉化為與函數在區間，上恰有三個交點問題，，上，．當，可得．根據余弦函數的圖象：可得，解得：的取值范圍是，故答案為：，．【變式1-2】（云南省2020屆高三適應性考試數學試題）若函數（，）圖象過點，在上有且只有兩個零點，則的最值情況為（

）A．最小值為，最大值為 B．無最小值，最大值為C．無最小值，最大值為 D．最小值為，最大值為【答案】C【分析】由圖象過點求出，然后解，得，再分析在上有且只有兩個時，的取值只能是，從而可得的范圍，【詳解】由題可知，即，∴，又∵，，∴.令，得，解得又∵，在上有且只有兩個零點，∴只能取1，2，故，解得，∴，∴，沒有最小值．故選：C.【變式1-3】（2021年全國高考甲卷數學（理）試題變式題16-20題）設函數，若對于任意實數，在區間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是________．【答案】【分析】原問題轉化為在區間上至少有2個，至多有3個t，使得，求得取值范圍，作出可知，滿足條件可最短區間長度為，最長區間長度為，由此建立關于的不等式，解出即可．【詳解】令，則，令，則，則原問題轉化為在區間上至少有2個，至多有3個t，使得，求得取值范圍，作出與的圖象，如圖所示，由圖可知，滿足條件可最短區間長度為，最長區間長度為，∴，解得．故答案為：．題型09區間內無“心”型求w【解題攻略】無“心”型求w，可以采用正難則反的策略把無交點問題轉化為有交點的問題，利用補集思想得到最終的結果，對于其他否定性問題經常這樣思考.【典例1-1】已知函數，若函數在區間內沒有零點，則的取值范圍為_________.【答案】【分析】先把化為，求出其零點的一般形式后利用函數在區間內沒有零點構建關于的不等式組，通過討論的范圍可得的取值范圍.【詳解】因為，故，令，則，故函數的零點為.因為函數在內無零點，故存在整數，使得，故，因為正實數，故，故，又，故，故或.當時，，當時，.故.故答案為.【典例1-2】（天津市南開中學2022屆高三下學期統練二數學試題）已知函數，，若在區間內沒有零點，則的取值范圍是______.【答案】【分析】化簡變形，根據三角函數的性質求出的零點，根據條件得出區間內不存在整數，再根據可得為或的子集，從而得出的范圍．【詳解】．令，可得，．令，解得，∵函數在區間內沒有零點，∴區間內不存在整數．又，∴，又，∴或．∴或，解得或．∴的取值范圍是，故答案為．【變式1-1】函數，且，，若的圖像在內與軸無交點，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】∵的圖像在內與軸無交點∴∵∴∵由對稱中心可知∴∵假設在區間內存在交點，可知∴當時，∴以上并集在全集中做補集，得故答案為【變式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜豐中學校考階段練習）將函數的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上沒有零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由三角函數圖象平移規則求得函數，再利用正弦曲線的零點即可求得的取值范圍【詳解】將函數的圖象先向右平移個單位長度，得到再把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數由函數在上沒有零點，則，則由，可得假設函數在上有零點，則，則由，可得又，則則由函數在上沒有零點，且，可得故選：A【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上沒有零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據圖象變換求出的解析式，利用周期縮小的范圍，再從反面求解可得結果.【詳解】將函數的圖象先向右平移個單位長度，得到的圖象，再把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數，周期，因為函數在上沒有零點，所以，得，得，得，假設函數在上有零點，令，得，，得，，則，得，，又，所以或，又函數在上有零點，且，所以或.故選：A題型10區間內最值點型求w【解題攻略】極值點最大值最小值的問題，可以轉化為區間對稱軸的個數，利用對稱軸公式求解。【典例1-1】.已知函數（，），，，在內有相鄰兩個最值點，且最小值點距離軸近，則的最小正整數值為（

）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】C【分析】由結合已知條件可得，由可求出，再由，可知，結合，可求出，從而可選出正確答案.【詳解】解析：因為，結合已知，知（），又因為，所以，所以．因為，所以，，解得，．又因為，可得，所以當時，的最小正整數值為9．故選:C.【典例1-2】已知函數的圖象關于點及直線對稱，且在不存在最值，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據對稱得到，根據沒有最值得到，得到，，再根據對稱中心得到，得到答案.【詳解】函數的圖象關于點及直線對稱.則.在不存在最值，則，故時滿足條件，，.，則.當時滿足條件，故.故選：.【變式1-1】（2022年全國高考乙卷數學（理）試題變式題13-16題）已知函數，若且在區間上有最小值無最大值，則_______．【答案】4或10##10或4【分析】根據可求出f(x)的一條對稱軸，根據該對稱軸可求出ω的表達式和可能取值，結合y＝sinx的圖像，根據在區間上有最小值無最大值判斷ω的取值范圍，從而判斷ω的取值.【詳解】∵f(x)滿足，∴是f(x)的一條對稱軸，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.當時，，y＝sinx圖像如圖：要使在區間上有最小值無最大值，則：或，此時ω＝4或10滿足條件；區間的長度為：，當時，f(x)最小正周期，則f(x)在既有最大值也有最小值，故不滿足條件.綜上，ω＝4或10.故答案為：4或10.【變式1-2】（2022屆湖南省長沙市第一中學高考模擬數學試題）已知函數，，若，對任意恒有，在區間上有且只有一個使，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據的零點和最值點列方程組，求得的表達式（用表示），根據在上有且只有一個最大值，求得的取值范圍，求得對應的取值范圍，由為整數對的取值進行驗證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當時，，此時取可使成立，當時，，所以當或時，都成立，舍去；②當時，，此時取可使成立，當時，，所以當或時，都成立，舍去；③當時，，此時取可使成立，當時，，所以當時，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【變式1-3】（【全國百強校】河北衡水金卷2022屆高三12月第三次聯合質量測評數學試題）已知函數，兩個等式：對任意的實數均恒成立，且上單調，則的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】由函數的圖象關于直線和點對稱可得：，即，結合選項檢驗與即可.【詳解】因為兩個等式：對任意的實數x均恒成立，所以的圖象關于直線和點對稱，所以，因為，所以.因為在上單調，所以，所以，由選項知，只需要驗證.1.當時，，因為對任意的實數x均恒成立，所以，因為，所以，所以，可以驗證在上不單調，2.當時，，因為對任意的實數x均恒成立，所以，因為·所以·所以，可以驗證在上單調，所以w=1.故選A.題型11多可能性分析型求w【解題攻略】解決函數綜合性問題的注意點（1）結合條件確定參數的值，進而得到函數的解析式．（2）解題時要將看作一個整體，利用整體代換的方法，并結合正弦函數的相關性質求解．（3）解題時要注意函數圖象的運用，使解題過程直觀形象化．【典例1-1】.函數，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一條對稱軸和一個對稱中心可以得到或，由在上單調遞減可以得到，算出的大致范圍，驗證即可.【詳解】由題意知：或∴或∴或∵在上單調遞減，∴∴①當時，取知此時，當時，滿足在上單調遞減，∴符合取時，，此時，當時，滿足在上單調遞減，∴符合當時，，舍去，當時，也舍去②當時，取知此時，當時，，此時在上單調遞增，舍去當時，，舍去，當時，也舍去綜上：或2，.故選：A.【典例1-2】（北京市西城區北京師范大學附屬實驗中學2021-2022學年高三上學期12月月考數學試題）已知點，若三個點中有且僅有兩個點在函數的圖象上，則正數的最小值為__________.【答案】4【分析】由條件利用正弦函數的圖象特征，進行分類討論，求得每種情況下正數的最小值，再進行比較從而得出結論．【詳解】①若只有兩點在函數的圖象上，則有，，，則，即，求得無解．②若只有點在函數的圖象上，則有，，，故有，即，求得的最小值為4．③若只有點在函數的圖象上，則有，，，故有，即，求得的最小正值為10，綜上可得，的最小正值為4，故答案為：4．【變式1-1】（北京市東城區2021-2022學年高三上學期數學試題）已知函數，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則的所有可能值為__________．【答案】2或10【分析】令，解得或，根據存在相鄰兩個交點間的距離為，得到或，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數，曲線與直線相交，令，即，解得或，由題意存在相鄰兩個交點間的距離為，結合正弦函數的圖象與性質，可得，令，可得，解得.或，令，可得，解得.故答案為：或.【變式1-2】（上海市晉元高級中學2022屆高三數學試題）已知，若存在使得集合中恰有3個元素，則的取值不可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用賦值法逐項寫出一個周期中的元素，再結合三角函數誘導公式判斷是否存在符合題意即可.【詳解】解：對A，當，，函數的周期為在一個周期內，對賦值當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；令時，。。所以存在使得時的值等于時的值，時的值等于時的值，時的值等于時的值.但是當等于、、、時，不存在使得這個值中的任何兩個相等所以當時，集合中至少有四個元素，不符合題意，故A錯誤；對B，當，，函數的周期為在一個周期內，對賦值當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；令，。所以當時，符合題意，故B正確；對C，當，，函數的周期為在一個周期內，對賦值當時，；當時，；當時，；當時，；令，則，，所以當時，符合題意，故C正確；對D，當，，函數的周期為在一個周期內，對賦值當時，；當時，；當時，；令，，，所以當時，符合題意，故D正確.故選：A.【變式1-3】（2021?淮北二模）已知函數滿足，，且在區間上單調，則滿足條件的個數為A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：設函數的最小正周期為，由于函數滿足，，故，解得，所以，由于函數在區間上單調，故，故，，即，解得，由于，所以取0，1，2，3，4，5，6，7，8．故的取值為9個；故選：．題型12三角應用：三角雙換元【解題攻略】形如，等，均可以用三角換元來解決.在利用三角換元時，一定要注意角度限制，因為對于三角函數的值域都是[-1，1]，但其角度有多種形式，于是我們在設置角度時要抓住2點：設置的角度要使三角函數的范圍為[-1，1]，（2）根號要能直接開出來.就如本題來講，令，此時，于是.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）設、且，求的取值范圍是.【答案】【分析】解法一：利用條件，將轉化為二次函數，進而可確定的范圍．解法二：由得，設，則，再結合余弦函數及二次函數的性質計算可得.【詳解】解法一：，，可得．，令，，顯然函數在上單調遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設，即，則令，，，，顯然在上單調遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：【典例1-2】（2020·江西·校聯考模擬預測）若等差數列滿足，且，求的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，，根據求出的范圍，利用等差中項的性質得到，再利用同角公式可求得結果.【詳解】設，，又∵，∴，即，∴，∴，∴，又∵，所以，所以，∴．故選：B【變式1-1】（2021·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習）已知，，求的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，設，，那么，結合三角函數的有界限，即可得到答案.【詳解】由題意知，且，設，，那么，其中，因為的取值范圍是，所以，即的取值范圍為.故選：B【變式1-2】（江西省撫州市金溪一中等七校2021-2022學年高三考試數學試題（B卷））已知滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，令，所以，所以，因為，所以所以

所以，故選D.【變式1-3】（浙江省嘉興市2022屆高三試數學試題）已知實數滿足,則的取值范圍是_______．【答案】【解析】設因此因為，所以，即取值范圍是點睛：利用三角函數的性質求范圍，先通過變換把函數化為的形式再借助三角函數圖象研究性質，解題時注意觀察角、函數名、結構等特征．題型13三角應用：無理根號型【解題攻略】無理根號型求范圍，可以通過換元求得：1.單根號，一般是齊次關系。2.雙根號，不僅僅是齊次關系，并且平方后能消去x。3.式子可能具有“輪換特征”4.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約。【典例1-1】.求函數的值域.【分析】遇到根號問題，通常我們都需要利用換元法就值域，但由于根號內有平方，則需要利用含平方的換元形式，于是我們利用三角換元．解析：令，則原式=其中.，【典例1-2】求函數的值域.【答案】【分析】可化為，令，結合輔助角公式及三角函數的性質求解.【詳解】可化為，令，則，，，∴,故函數的值域為.【變式1-1】若對任意，恒成立，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】由可得原不等式等價于，兩邊平方，利用均值不等式求解即可.【詳解】因為，所以，所以不等式可化為，設，，則，則，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，即，所以，故答案為：【變式1-2】（新疆莎車縣第一中學2022屆高三上學期第三次質量檢測數學試題）函數y=x?4?【答案】?2【分析】函數的定義域為?2,2，設x=2cosθ將原函數轉化為關于【詳解】由4?x2≥0可得?2≤x≤2，即函數的定義域為?2,2。所以設x=2則y=2cos因為θ∈0,π，所以θ+π4∈所以函數y=x?4?x2的值域為?2【變式1-3】（2020屆安徽省六安市第一中學高三下學期模擬卷（七）數學（理）試題）已知，則的最大值為_________.【答案】8【分析】設，不妨設，再利用三角換元，結合三角函數的有界性，即可得答案.【詳解】設，不妨設，則，故，所以，可設，，則，當且僅當時取等號即的最大值為8.故答案為：.題型14三角應用：圓代換型【解題攻略】圓代換型，利用圓的參數方程，注意盡量代換規范：余弦對應x，正弦對應y的參數方程是：【典例1-1】（上海市第二中學2020-2021學年高三下學期5月月考數學試題）知點A(2,0)，點P是以原點為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，將點P繞點逆時針旋轉90°得點Q，線段AP的中點為，則|MQ|的最大值是______【答案】1+【分析】設P(cosθ,sinθ)，則Q(?sinθ,【詳解】解：由題可知，設P(cosθ,sin因為A(2,0)，所以線段AP的中點得坐標為(2+cos所以|MQ|==9+4cosθ+8sinθ所以當sin(θ+φ)=1時，|MQ|取最大值為1+52【典例1-2】設圓O:x2+y2=1上兩點Ax【答案】15【解析】【分析】首先由數量積公式可得∠AOB=120°，再根據絕對值的幾何意義得?=x1?2y15+x2?2y25【詳解】由OA?OB=?設?=x1?2y15+取直線x?2y=0為軸重新建立直角坐標系后，則?表示兩點，分別到軸的距離之和.在新的直角坐標系下，設Acosθ,sinθ，由對稱性，不妨設點在軸上或上方，即?120°≤θ≤60°.所以?=sinθ+sin0°≤θ≤60得θ+60°∈當?120°≤θ<θ?30°∈綜上得32≤?≤3，從而得【變式1-1】已知是單位圓（圓心在坐標原點）上任一點，將射線繞點逆時針旋轉到交單位圓于點，則的最大值為________.【答案】【分析】設，則，代入要求的式子由三角函數的知識可得解．【詳解】設，則，，的最大值為，故答案為：【變式1-2】設圓上兩點，滿足：，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】首先由數量積公式可得，再根據絕對值的幾何意義得表示兩點，分別到直線的距離之和，再以直線為軸重新建立直角坐標系后，利用三角函數表示，根據角的范圍求值域.【詳解】由，得.設表示兩點，分別到直線的距離之和.取直線為軸重新建立直角坐標系后，則表示兩點，分別到軸的距離之和.在新的直角坐標系下，設，。則有.由對稱性，不妨設點在軸上或上方，即.所以，時，，得，則，當時，，，此時綜上得，從而得.故答案為：【變式1-3】（2020·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考一模）已知點為圓上任一點，，分別為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍.【答案】[80,120]【分析】由橢圓的標準方程可得焦點,,由點在圓上可設,求得,,進而利用三角函數的性質求解即可.【詳解】由題,橢圓的焦點為,,設點,則,,所以,,因為,所以,故答案為:題型15三角應用：向量型換元【解題攻略】向量中的三角換元原理之一，就是源于,實質是圓。所以模定值，可以用圓的參數方程代換。【典例1-1】（2022上·廣東佛山·高三統考）菱形中，，點E，F分別是線段上的動點（包括端點），，則，的最小值為.【答案】0/-0.25【分析】建立坐標系，用坐標表示向量，第一個空利用向量數量積坐標公式進行相應計算，第二個空設出，表達出，利用二次函數的性質求最小值，再結合求出最小值.【詳解】以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，故，，，，設，則，，則，，，；因為，所以，，故當時，取得最小值為，因為，所以當，即時，最小，最小值為故答案為：0，【典例1-2】（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學校考模擬預測）已知，，則向量的最小值為.【答案】【分析】，不失一般性，設，由知的終點在兩個圓上運動，設化簡放縮后得到得解.【詳解】，不妨設，所以在圓上運動，所以在圓上運動再令，當且僅當，時，等號成立，當且僅當時，等號成立.故答案為：【變式1-1】（2024上·重慶·高三重慶南開中學校考階段練習）平面向量，，滿足，，則的最大值為.【答案】4【分析】不妨設，，，則求的最大值，即求的最大值，將問題轉化為方程有解的問題，得到的軌跡為一個圓，最后利用投影向量的意義求出的最大值即可求解.【詳解】設，，向量，的夾角為，則，，設，由得：，即，化簡得：，上述方程一定有解，，即在一個圓上，而，所以轉化為求的最大值，當在上投影長度最大時，，令，，則，當時，.的最大值為.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則的最大值為.【答案】5【分析】令，坐標表示出、，應用坐標公式求出對應表達式中向量的模，構造函數并利用導數求最值.【詳解】令，，，，，令，設，則，，令，易知：在上，即遞增，所以在取得最大值，.故答案為：5.【變式1-3】（2023·上海·上海市七寶中學校考模擬預測）已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】建立平面直角坐標系，設，確定點A，B的軌跡，從而設，求出的表達式結合三角恒等變換化簡，再結合二次函數性質即可求得答案.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，令,

設則由可得，即點A軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，點B軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，則設，則，（為輔助角），令，則，則，又，而，故，故的取值范圍是，故答案為：高考練場1.（2023·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）設函數，將函數的圖象先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，所得的圖象與圖象重合，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據三角函數圖象的平移和伸縮變換可得到變化后的函數解析式，結合所得的圖象與圖象重合，求得參數，，即得答案.【詳解】將函數的圖象先向右平移個單位長度后，得到的圖象，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，由于得到的函數的圖象與圖象重合，故，，所以，又，所以，故選：C．2.（湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）數學試題）已知函數，其中，若在區間上單調遞減，則的最大值為__________．【答案】【詳解】，由，解得，是其子集，故，解得，由于，故令可求得的最大值為.3.（2022·四川綿陽·統考模擬預測）若存在實數，使得函數(>0)的圖象的一個對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據正弦型函數的對稱性進行求解即可.【詳解】由于函數的圖象的一個對稱中心為，所以，所以，由于，則，因為，所以可得：，故選：C4.（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考一模）已知直線是函數（）圖象的一條對稱軸，則在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由對稱軸求出，再求在上的值域即可.【詳解】∵直線是函數（）圖象的一條對稱軸，∴，，∴，，∵，∴時，，.當時，，∴當時，取最小值，當時，取最大值，∴，，∴在上的值域為.故選：D5.（2020屆百校聯考高考百日沖刺金卷全國Ⅱ卷?數學（理）（二）試題）已知函數的一條對稱軸為，且在上單調，則的最大值為（）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】函數的對稱軸可表示為：，在上單調可得，使得，然后可得，即可分析出答案.【詳解】函數的對稱軸可表示為：，在上單調可得，使得，解得又.，∴當3時，可取最大值為6.（2023·全國·統考高考真題）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區間單調遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.7.（2020·海南海口·高三海南中學校考階段練習）已知點，為曲線()(常數)的