2024年高一數學必修一知識點總結

高一數學必修一知識點總結1

知識點總結

本節知識包括函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性和

函數的圖象等知識點。函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱

性是學習函數的'圖象的基礎，函數的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數

的圖象就迎刃而解了。

一、函數的單調性

L函數單調性的定義

2、函數單調性的判斷和證明：⑴定義法(2)復合函數分析法⑶導數證明法(4)圖象法

二、函數的奇偶性和周期性

1、函數的奇偶性和周期性的定義

2、函數的奇偶性的判定和證明方法

3、函數的周期性的判定方法

三、函數的圖象

1、函數圖象的作法⑴描點法⑵圖象變換法

2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

常見考法

本節是段考和高考必不可少的考查內容，是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題

和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯合考查，多屬于

拔高題。多考查函數的單調性、最值和圖象等。

誤區提醒

1、求函數的單調區間，必須先求函數的定義域，即遵循"函數問題定義域優先的原則"。

2、單調區間必須用區間來表示，不能用集合或不等式，單調區間一般寫成開區間，不必考

慮端點問題。

3、在多個單調區間之間不能用"或"和""連接，只能用逗號隔開。

4、判斷函數的奇偶性，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱,

則函數一定是非奇非偶函數。

5、作函數的圖象，一般是首先化簡解析式，然后確定用描點法或圖象變換法作函數的圖象。

高一數學必修一知識點總結2

一、集合有關概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

Q)元素的確定性，

(2)元素的互異性，

(3)元素的無序性，

3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的籃球隊員｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋｝

Q)用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝力=｛123,4,5｝

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

?注意：常用數集及其記法：

非負整數集(即自然數集)記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1)列舉法：｛a,b,c……｝

2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。

{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn圖：

4、集合的分類：

Q)有限集含有有限個元素的集合

(2)無限集含有無限個元素的集合

⑶空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、集合間的基本關系

1."包含"關系一子集

注意：有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2."相等"關系:A=B(5>5,H5<5,則5=5)

實例：設人=僅僅2-1=0出={-11}"元素相同則兩集合相等"

即：①任何一個集合是它本身的子集。A?A

②真子集如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果A?B,B?C,那么A?C

④如果A?B同時B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為①

規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

?有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-l個真子集

三、集合的運算

運算類型交集并集補集

定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集.記作AB(讀作'A交B'),

即AB={x|xA，且xB}.

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A

并B'),即AB={x|xA,或xB}).

設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中

子集A的補集(或余集)

二、函數的有關概念

1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中

的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A-B為從集合A

到集合B的一個函數.記作：y=f(x),XGA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定

義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|xwA}叫做函數的值域.

注意：

1.定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

Q)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；

(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有

意義的x的值組成的集合.

(6)指數為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);②定義域一致(兩

點必須同時具備)

2.值域:先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

⑶代換法

3.函數圖象知識歸納

⑴定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(xeA)中的x為橫坐標，函數值v為縱坐標

的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(xeA)的圖象.C上每一點的'坐標(x,y)均滿足函數關系

y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.

⑵畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4.區間的概念

Q)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

(2)無窮區間

(3)區間的數軸表示.

5.映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的

任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素V與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A

到集合B的一個映射。記作f:A-B

6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.

補充：復合函數

如果y=f(u)(ueM),u=g(x)(xwA),則y=f[g(x)]=F(x)(xeA)稱為f、g的復合函數。

二.函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)

Q)增函數

設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量xl/2,

當xl

如果對于區間D上的任意兩個自變量的值xl,x2,當xlf(x2),那么就說f(x)在這個區間上

是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

注意：函數的單調性是函數的局部性質；

(2)圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格

的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

(3).函數單調區間與單調性的判定方法

(A)定義法:

ol任取xl,X2GD,且xl

。2作差f(xl)-f(x2);

。3變形(通常是因式分解和配方)；

。4定號(即判斷差f(xl)-f(x2)的正負);

。5下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數的單調性

復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關，其規律："同

增異減"

注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成其

并集.

8.函數的奇偶性(整體性質)

(1)偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數.

(2).奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數

(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.

利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

ol首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；

。2確定f(-x)與f(x)的關系;

。3作出相應結論若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=O則f(x)是偶函數若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=O,

則f(x)是奇函數.

(2)由f(-x)±f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l來判定;

(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.

9、函數的解析表達式

(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它

們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

(2)求函數的解析式的主要方法有：

1)湊配法

2)待定系數法

3)換元法

4)消參法

10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)

。:L利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值

02利用圖象求函數的最大(小)值

o3利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：

如果函數y=f(x)在區間［a,b］上單調遞增，在區間［b,c］上單調遞減則函數y=f(x)在x=b

處有最大值f(b);

如果函數y=f(x)在區間［a,b］上單調遞減，在區間［b,c］上單調遞增則函數y=f(x)在x=b

處有最小值f(b);

高一數學必修一知識點總結3

集合的運算

運算類型交集并集補集

定義域R定義域R

值域＞0值域＞0

在R上單調遞增在R上單調遞減

非奇非偶函數非奇非偶函數

函數圖象都過定點(0,1)函數圖象都過定點(0,1)

注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

(1)在[a,b]±，值域是或;

(2)若，貝;取遍所有正數當且僅當；

(3)對于指數函數，總有；

二、對數函數

(—)對數

1.對數的概念：

一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：(一底數，一真數，一對數式)

說明：O1注意底數的限制，且；

o2;

o3注意對數的書寫格式.

兩個重要對數：

01常用對數：以10為底的對數；

o2自然對數：以無理數為底的對數的對數.

指數式與對數式的互化

幕值真數

=N=b

底數

指數對數

（二）對數的運算性質

如果，且，，，那么：

O1+；

o2-;

o3.

注意：換底公式：（，且；，且；）.

利用換底公式推導下面的結論：（1）；（2）.

（3）、重要的公式①、負數與零沒有對數；②、，③、對數恒等式

（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0,+8）.

注意：。1對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數

函數，而只能稱其為對數型函數.

o2對數函數對底數的限制：，且.

2、對數函數的性質：

a>10定義域x>0定義域x>0

值域為R值域為R

在R上遞增在R上遞減

函數圖象都過定點（1,0）函數圖象都過定點（1,0）

（三）幕函數

L幕函數定義：一般地，形如的函數稱為幕函數，其中為常數.

2、幕函數性質歸納.

(1)所有的幕函數在(0,+8)都有定義并且圖象都過點(1,1)；

(2)時，幕函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數.特別地，當時，幕函數的圖象

下凸；當時，幕函數的圖象上凸；

(3)時，幕函數的'圖象在區間上是減函數.在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在

軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

第四章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。

即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

3、函數零點的求法：

ol(代數法)求方程的實數根；

o2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數

的性質找出零點.

4、二次函數的零點：

二次函數.

(1)△>0,方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.

(2)△=0,方程有兩相等實根，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重

零點或二階零點.

(3)0,方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點.

5.函數的模型

高一數學必修一知識點總結4

解三角形

Q)正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.

(2)應用

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.

數列

(1)數列的‘概念和簡單表示法

①了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).

②了解數列是自變量為正整數的一類函數.

(2)等差數列、等比數列

①理解等差數列、等比數列的概念.

②掌握等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式.

③能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.

④了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系.

高一數學必修一知識點總結5

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行

或重合時，我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0*a<180°(2)直線的斜

率

①定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用

k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當0,90時，k0;當90,180時，k0;當90時，k不存在。

yyl（xlx2）②過兩點的直線的斜率公式：k2x2xl注意下面四點：（1）當xlx2時，公式右邊無

意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90。；（2）k與Pl、P2的順序無關；（3）以后求斜率可不通

過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程

①點斜式：yylk（xxl）直線斜率k,且過點xl,yl

注意：當直線的斜率為0°時，k=0,直線的方程是y=yL

當直線的斜率為90。時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因I上每一點

的橫坐標都等于xl,所以它的方程是x=xl。

②斜截式：ykxb,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b③兩點式：④截矩式：

yyly2ylxayxxlx2xl（xlx2,yly2）直線兩點xl,yl,x2,y2

1b其中直線I與x軸交于點（a,0）,與y軸交于點（0,b）,即I與x軸、y軸的截距分別為a,bo

⑤一般式：AxByCO（A,B不全為0）

1各式的適用范圍。2特殊的方程如：注意：。

平行于x軸的直線：yb（b為常數）；平行于y軸的直線：xa（a為常數）；（5）直線系

方程：即具有某一共同性質的直線（一）平行直線系

平行于已知直線AOxBOyCOO（A0,B0是不全為0的常數）的直線系：

AOxBOyCO（C為常數）

（二）過定點的直線系

（）斜率為k的直線系：yyOkxxO,直線過定點xO,yO;

()過兩條直線ILAlxBlyClO,l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為

,其中直線12不在直線系中。AlxBlyClA2xB2yC20(為參數)(6)兩直線平行與垂直

當ll:yklxbl,I2:yk2xb2時，Il〃l2klk2,blb2;Ill2klk21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。(7)兩條直線的交點

H:AlxBlyC10l2:A2xB2yC20相交交點坐標即方程組AlxBlyClO的一組解。

A2xB2yC2O方程組無解I1//I2;方程組有無數解II與12重合(8)兩點間距離公式：設

A(xl,yl),B是平面直角坐標系中的兩個點，(x2,y2)則|AB|(x2xl)2(y2y1)2

(9)點到直線距離公式：一點PxO,yO到直線ILAxByC。的距離d(10)兩平行直線距離

公式

在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。

AxOByOCAB22

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的

格至。

2、圓的方程

(1)標準方程xaybr2,圓心a,b,半徑為r;

22(2)一般方程x2y2DxEyF0當DE2224F0時，方程表示圓，此時圓心為22D2,1E,半

徑為r22D2E24F

當DE4F0時，表示一個點；當DE4F0時，方程不表示任何圖

形。

(3)求圓方程的方法：一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，

若利用圓的標準方程，需求出a,b,r;若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。3、

直線與圓的位置關系：

直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

(1)設直線l:AxByCO,圓C:xa2yb2r2,圓心Ca,b到I的距離為

dAaBbCAB222,貝!］有drl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

22(2)設直線kAxByCO，圓C:xaybr2,先將方程聯立消元，得到一個一元二次方程之后，

令其中的判別式為，則有

01與C相離；01與C相切；01與C相交

2注：如果圓心的位置在原點，可使用公式xxOyyOr去解直線與圓相切的問題，其中xO,yO

表示切點坐標，??表示半徑。

(3)過圓上一點的切線方程：

22

①圓x2+y2=r,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為xxOyyOr(課本命題).

2222

②圓(x-a)+(y-b)=r,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為

(xO-a)(x-a)+(yO-b)(y-b)=r(課本命題的推廣).

4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

設圓Cl:xal2ybl2r2,C2:xa22yb22R2兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距

(d)之間的大小比較來確定。當dRr時兩圓外離，此時有公切線四條；

當dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；當RrdRr時兩圓相

交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當dRr時，兩圓內切，連心線經過切點，只有

一條公切線；當dRr時，兩圓內含；當d0時，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結構特征

(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共

邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母,如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用對角線的端點字母，如五棱柱

"AD

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且

相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何

體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母,如五棱錐PABCDE

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到

截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：

以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等

"""""表示：用各頂點字母，如五棱臺PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點(4)圓

柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖

是一個矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何

體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。（6）圓

臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底

面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以

半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球

面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖

（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了

物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高,I為母線）

S直棱柱側面積S正棱臺側面積12chS圓柱側2rhS正棱錐側面積（clc2）h”S圓臺側面積

(rR)l

12ch"S圓錐側面積rl

S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺表r2rlRIR2

(3)柱體、錐體、臺體的體積公式V柱ShV圓柱ShV臺13(S--21rhV錐ShV圓錐lr2h

33SSS)hV圓臺13(S"SSS)h"13(rrRR)h

22

(4)球體的表面積和體積公式：V球4、空間點、直線、平面的位置關系

球面=4R2

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、,丫表示，如平面?(通常寫在一個銳角內)；

也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③點與平面的關系：點A在平面內，記作A;點A不在平面內，記作A點與直線的關系:

點A的直線I上，記作：AWI;點A在直線I外，記作AI;

直線與平面的關系：直線I在平面a內，記作la;直線I不在平面a內，記作la。(2)公

理1:如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。

(即直線在平面內，或者平面經過直線)

應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內

用符號語言表示公理1:AI,BI,A,BI(3)公理2:經過不在同一條直線上的三點，有且只有

一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據②它是證明平面重合的依據(4)公理

3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面a和B相交，交線是a,記作anp=a。

符號語言：PABABLPI公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。③它可以判斷點

在直線上，即證若干個點共線的重要依據。（5）公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平

行（6）空間直線與直線之間的位置關系

①異面直線定義不同在任何一個平面內的兩條直線②異面直線性質:既不平行又不相交。

③異面直線判定過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線④

異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點0,分別引直線a'lla,b（lib,

則把直線a）和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角

的范圍是（0°,90。］,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說

明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）

在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點。的位置無關。②求異面直線所成角

步驟：

A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點

選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。

（8）空間直線與平面之間的位置關系

直線在平面內有無數個公共點.

三種位置關系的符號表示：aaaDa=Aaiia

（9）平面與平面之間的位置關系：平行沒有公共點；。1甲

相交有一條公共直線。an|3=b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行。

線線平行線面平行

線面平行的性質定理如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

（1）平面與平面平行的判定及其性質兩個平面平行的判定定理

（2）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

（線面平行一面面平行），

（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。（線線平行

一面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理

（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行一線面

平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行一線線

平行）7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是

直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線

垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發的兩個半平面所組

成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關系的判定和性質

定理①線面垂直判定定理和性質定理判定定理：如果一條直線和一個平面內的'兩條相交直線都

垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直

線平行。②面面垂直的判定定理和性質定理

判定定理如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質定理：

如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規定為O0

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③

兩條異面直線所成的角：過空間任意一點0,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線a,b,形

成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規定為90。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線

和這個平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算"。

第6頁

在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時,

注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線

的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定

義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個

半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別

作垂直于棱的兩條射........線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面

角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面

垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法

定義法在棱上選擇有關點過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角垂面法:

已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面

角7、空間直角坐標系

(1)定義：如圖，OBCDDABC,是單位正方體以A為原點，分別以ODQAQB的方向

為正方向，建立三條數軸x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.

1)0叫做坐標原點2)x軸，y軸，z軸叫做坐標軸.3)過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向

為x軸正方向，食指指向為v軸正向，中指指向則為z軸正向這樣也可以決定三軸間的相位置。

(3X壬意點坐標表示空間一點M的坐標可以用有序實數組(x,y,z)來表示，有序實數組(x,y,z)

叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x,y,z)(x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的

縱坐標，z叫做點M的豎坐標)

(4)空間兩點距離坐標公式：d(x2xl)2(y2yl)2(z2zl)2

高一數學必修一知識點總結6

數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。我準備了高

一數學必修1期末考知識點，希望你喜歡。

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素.

2、集合的中元素的三個特性：

1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性

說明：Q)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給

定的集合的元素.

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時，僅算

一個元素.

(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素

是否一樣，不需考查排列順序是否一樣.

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.

3、集合的表示:｛｝如｛我校的籃球隊員｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：列舉法與描述法.

注意啊：常用數集及其記法：

非負整數集(即自然數集)記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

關于屬于的.概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作aA,

相反,a不屬于集合A記作a?A

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上.

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法.用確定的條件

表示某些對象是否屬于這個集合的方法.

①語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②數學式子描述法：例：不等式x-32的解集是｛x?R|x-32｝或｛x|x-32｝

4、集合的分類：

1.有限集含有有限個元素的集合

2.無限集含有無限個元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、集合間的基本關系

L包含關系子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分,;（2）A與B是同一集合.

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2相等關系（55,且55廁5=5）

實例：設A={x|x2-l=0}B={-1,1）元素相同

結論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的

任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,即：A=B

①任何一個集合是它本身的子集.AA

②真子集:如果AB,且AlB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為

規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

三、集合的運算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集.

記作AB（讀作A交B）,即AB={x|xA,且xB}.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的

并集.記作：AB（讀作A并B）,即AB={x|xA,或xB）.

3、交集與并集的性質：AA=A,A=,AB=BA,AA=A,

A=A,AB=BA.

4、全集與補集

(1)補集：設S是一個集合,A是S的一個子集(即),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,

叫做S中子集A的補集(或余集)

(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全

集.通常用U來表示.

(3)性質:(i)CU(CUA)=A(2)(CUA)(3)(CUA)A=U

高一數學必修一知識點總結7

高一數學必修一知識點

指數函數

(一)指數與指數幕的運算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1,且e_.

當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.此時，的次方根用符號

表示.式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(radicalexponent),叫做被開方數(radicand).

當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正的次方根用符號

表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負數沒有

偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

注意：當是奇數時，當是偶數時，

2.分數指數幕

正數的分數指數幕的意義，規定：

0的正分數指數幕等于0,0的負分數指數幕沒有意義

指出：規定了分數指數幕的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整

數指數幕的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數幕.

3.實數指數幕的運算性質

(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential),其中x是自變量，函數的

定義域為R.

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

2、指數函數的圖象和性質

高一上冊數學必修一知識點梳理

空間幾何體表面積體積公式：

1、圓柱體:表面積:2TrRr+2nRh體積:nR2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)

2、圓錐體:表面積:TTR2+nR[(h2+R2)的]體積:irR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高

3、a-邊長,S=6a2,V=a3

4、長方體a-長,b-寬,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc

5、棱柱541-高丫=511

6、棱錐5-＞高丫=$?3

7、S1和S2-上、Th-MV=h[Sl+S2+(SlS2)Al/2]/3

8、S1-上底面積,S2-下底面積,SO-中h-高,V=h(Sl+S2+4S0)/6

9、圓柱r-底半徑,h-高,C一底面周長S底一底面積,S側一,S表一表面積C=2mS底=irr2,S

側=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=nr2h

10、空心圓柱R-外圓半徑,r-內圓半徑h-高V=TTh(RA2-S2)

11、r-底半徑小高丫=9人293

12、r-上底半徑,R-下底半徑,h-高V=nh(R2+Rr+r2)/313、球r-半徑d-直徑

V=4/3TirA3=TidA3/6

14、球缺h-球缺高,r-球半徑,a-球缺底半徑V=Tih(3a2+h2)/6=Tih2(3r-h)/3

15、球臺rl和2球臺上、下底半徑h^V=nh[3"2+r22)+h2]/6

16、圓環體R-環體半徑D-環體直徑r-環體截面半徑d-環體截面直徑V=2n2Rr2=n2Dd2/4

17、桶狀體D-桶腹直徑d-桶底直徑h-桶高V=Trh(2D2+d2)/12,(母線是圓弧形，圓心是桶

的中心\)V=nh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母線是拋物線形)

人教版高一數學必修一知識點梳理

1、柱、錐、臺、球的結構特征

⑴棱柱：

定義有兩個面互相平行其余各面都是四邊形目每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱。

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相

等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

⑵棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何

體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到

截面距離與高的比的平方。

⑶棱臺:

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的.頂點

（4）圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一

個矩形。

⑸圓錐:

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。

⑹圓臺:

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。

（7）球體:

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）;側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向

下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：

①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

高一數學必修一知識點總結8

集合間的基本關系

1."包含"關系一子集

注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集

合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2."相等”關系(525，且545,則5=5)

實例:設A={x|x2-l=0}B={-1,1}"元素相同"

結論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B

的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,即：A=B

A?①任何一個集合是它本身的子集。A

B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)?B,且A?②真子集如果A

C?C,那么A?B,B?③如果A

A那么A=B?B同時B?④如果A

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為①

規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

集合的運算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的.交集.

記作ADB（讀作"A交B"）,即ADB={x|xdA,且xdB}.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B

的并集。記作：AUB(讀作"A并B"),即AUB={x|xeA,或xeB}.

3、交集與并集的性質：ADA=A,AA(p=ip,AAB=BAA,AUA=A,AUcp=A,AUB=

BUA.

4、全集與補集

(1)補集：設S是一個集合，A是S的一個子集(即)，由S中所有不屬于A的元素組成的集

合，叫做S中子集A的補集(或余集)

A}?S且x?X?記作：CSA即CSA={x

(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個

全集。通常用U來表示。

(3)性質:(i)CU(CUA)=A(2)(CUA)nA=(P(3)(CUA)UA=U

高一數學必修一知識點總結9

棱錐

棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾

何體叫做棱錐

棱推的的性質：

Q)側棱交于一點。側面都是三角形

(2)平行于底面的‘截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高

的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這

樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質：

(1)各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，

它叫做正棱錐的斜高。

(3)多個特殊的直角三角形

esp:

a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的

垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底

面的射影為底面三角形的垂心。

高一數學必修一知識點總結10

一、指數函數

(一)指數與指數幕的運算

1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1,且w_.

當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.此時，的次方根用符號

表示式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(radicalexponent),叫做被開方數(radicand).

當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正的次方根用符號

表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負數沒有

偶次方根;0的.任何次方根都是0,記作。

注意：當是奇數時，當是偶數時，

2.分數指數幕

正數的分數指數幕的意義，規定：

0的正分數指數幕等于0,0的負分數指數幕沒有意義

指出：規定了分數指數幕的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整

數指數懸的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數幕.

3.實數指數幕的運算性質

（二）指數函數及其性質

L指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數（exponential）,其中x是自變量，函數的

定義域為R.

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

2、指數函數的圖象和性質

1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：

方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

3、函數零點的求法：

求函數的零點：

1（代數法）求方程的實數根；

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性

質找出零點.

4、二次函數的零點：

二次函數.

1卜＞0,方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.

2卜=0,方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二

重零點或二階零點.

3)^2｝,｛x|x-3>2｝,｛(x,y)|y=x2+l)

③語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

例：不等式x-3>2的解集是｛x?R|x-3>2｝或｛x|x-3>2｝

強調：描述法表示集合應注意集合的代表元素

A=｛(x,y)|y=x2+3x+2｝與B=｛y|y=x2+3x+2｝不同。集合A中是數組元素(x,y),集合B中

只有元素y。

3、集合的三個特性

(1)無序性

指集合中的元素排列沒有順序，如集合A=｛L2｝,集合B=｛2,1｝，則集合A=B。

例題：集合A=｛1,2｝,B=｛a,b｝，若A=B,求a、b的值。

解：，A=B

注意：該題有兩組解。

(2)互異性

指集合中的元素不能重復,A=｛2,2｝只能表示為｛2｝

(3)確定性

集合的確定性是指組成集合的元素的性質必