第一章特殊的平行四邊形1.2矩形的性質與判定第2課時一、教學目標1．理解矩形的概念，了解它與平行四邊形之間的關系．2．經歷矩形判定定理的探索過程，進一步發展合情推理能力．3．能夠用綜合法證明矩形的判定定理，以及其他相關結論，進一步發展演繹推理能力．4．進一步體會探索與證明過程中所蘊含的抽象、推理等數學思想．二、教學重點及難點重點：探索矩形的判定方法．難點：合理應用矩形的判定定理解決問題．三、教學用具多媒體課件、直尺或三角板。四、相關資《四邊形到平行四邊形再到矩形的變化》動畫，《矩形的判定》微課.五、教學過程設計【復習引入】1．什么叫做矩形？答：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．2．矩形與平行四邊形及四邊形有什么從屬關系？3．矩形有什么特有的性質呢？答：（1）矩形的四個角都是直角；（2）矩形的對角線相等．4．你知道如何判定一個平行四邊形是矩形嗎？答：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義判定）．5．那么除了矩形的定義外，還有沒有其他判定矩形的方法呢？這節課我們就共同來探究一下．師生活動：教師出示問題，學生回答，讓學生復習前面學過的內容．設計意圖：通過復習，鞏固舊知，鋪墊新知，設置問題，引出新課．【探究新知】做一做如圖，是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生變化．（1）隨著∠α的變化，兩條對角線的長度將發生怎樣的變化？（2）當兩條對角線的長度相等時，平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個怎樣的猜想？師生活動：教師出示“做一做”并操作演示，學生思考、討論、交流，猜想出矩形的一個判定方法．答：（1）當∠α增大到90°時，兩條對角線的長度相等．當∠α超過90°時，以∠α的頂點為端點的一條對角線逐漸變短，另一條對角線逐漸變長．（2）當兩條對角線的長度相等時，平行四邊形的四個角都等于90°．得到的猜想是：對角線相等的平行四邊形是矩形．思考你能證明你的猜想嗎？師生活動：教師出示問題，學生思考，教師引導學生寫出已知、求證并完成證明過程．答：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC，DB是它的兩條對角線，AC=DB．求證：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形證明平行四邊形的某兩個相鄰的角相等，而這兩個角又互補，所以它們都是直角，從而得證．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定義）．設計意圖：培養學生發現規律的能力和邏輯推理能力．判定定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形．幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形．該判定定理的兩個適用條件：（1）對角線相等；（2）是平行四邊形．想一想：我們知道，矩形的四個角都是直角．反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個四邊形就是矩形呢？請證明你的結論．師生活動：教師出示問題，學生思考、討論、交流，形成猜想并證明猜想．猜想：一個四邊形至少有三個角是直角時，這個四邊形就是矩形．已知：在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求證：四邊形ABCD是矩形．證明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）．又∵∠A=90°，∴四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．設計意圖：培養學生的歸納猜想，推理論證的能力．判定定理2：有三個角是直角的四邊形是矩形．幾何語言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD是矩形．歸納:矩形的判定方法：方法1：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；方法2：對角線相等的平行四邊形是矩形；方法3：有三個角是直角的四邊形是矩形．議一議你有什么方法檢查你家（或教室）剛安裝的門框是不是矩形？如果僅有一根較長的繩子，你怎樣檢查？請說明檢查方法的合理性，并與同伴交流．師生活動：教師出示問題，學生思考，教師找學生代表回答．答：可以用直角尺檢查安裝的門框的四個角是否為直角．如果有三個角是直角，那么剛安裝的門框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分別量出門框兩組對邊的長度，如果兩組對邊長度分別相等，則門框一定是平行四邊形，再測量門框的對角線的長度，如果兩條對角線的長度相等，那么剛安裝的門框一定是矩形．如果僅有一根較長的繩子，可以先用繩子分別測量出門框的兩組對邊的長度，做上記號．如果兩組對邊的長度分別相等，那么這個門框一定是平行四邊形，再用繩子量出門框的對角線的長度．如果這兩條對角線的長度相等，那么這個剛安裝的門框一定是矩形，否則不是矩形．理由是對角線相等的平行四邊形是矩形．設計意圖：讓學生運用所學知識解決實際問題．【典例精析】例1如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△ABO是等邊三角形，AB=4，求□ABCD的面積．師生活動：教師出示例題，學生思考，教師引導學生完成本題．分析：教師先帶學生從已知條件入手，對平行四邊形對角線的性質進行分析，再結合△ABO是等邊三角形的條件，很容易推出對角線相等，從而利用剛學的矩形的判定定理“對角線相等的四邊形是矩形”證得是矩形，再利用勾股定理求出邊長BC，進而求出矩形的面積．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四個角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．設計意圖：培養學生應用所學知識解決問題的能力．【課堂練習】1．下列命題錯誤的是（）．A．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形B．對角互補的平行四邊形是矩形C．對角線相等且有一個角是直角的四邊形是矩形D．四個角都相等的四邊形是矩形參考答案C2．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為O，點E，F，G，H分別為邊AD，AB，BC，CD的中點．若AC=8，BD=6，則四邊形EFGH的面積為__________．參考答案12．3．已知：如圖，在□ABCD中，M是AD邊的中點，且MB=MC．求證：四邊形ABCD是矩形．師生活動：教師先找幾名學生板演，然后講解出現的問題．答案證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC．∵M是AD邊的中點，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．4．如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是□ABCD外一點，且∠AEC=∠BED=90°．求證：□ABCD是矩形．師生活動：教師出示題目，學生思考，教師請有思路的學生講述解題思路，然后訂正，最后教師寫出解題過程．證明：如圖，連接OE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）．設計意圖：通過本環節的學習，讓學生鞏固所學知識，進一步加深對所學知識的理解．六、課堂小結請同學們回顧一下，我們學過的矩形的判定方法有哪些？答：我們學過的矩形的判定方法有：（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）判定定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）判定定理2：有三個角是直角的四