大學自主招生數學講義（上）

第一講函數的性質.............................................3

一、知識要點........................................................................3

二、熱身練習........................................................................6

三、真題講解........................................................................7

四、強化訓練........................................................................9

第二講導數...................................................14

一、知識方法拓展...................................................................14

二、熱身練習.......................................................................16

三、真題精講.......................................................................17

四、重點總結.......................................................................19

五、強化訓練.......................................................................19

第三講微積分初步............................................30

一、知識方法拓展...................................................................30

二、熱身練習.......................................................................32

三、真題講解.......................................................................34

四、重點總結.......................................................................37

五、強化訓練.......................................................................37

六、參考答案.......................................................................41

第四講方程與根..............................................44

一、知識方法拓展...................................................................44

二、熱身訓練.......................................................................46

三、真題精講.......................................................................48

四、重點總結.......................................................................50

五、強化訓練.......................................................................50

第五講基本不等式及其應用...................................56

一、知識方法拓展...................................................................56

二、熱身練習:..........................................................................................................................................57

三、精講名題：.....................................................................58

四、強化訓練.......................................................................60

第六講不等式的證明與應用...................................64

一、知識方法拓展...................................................................64

二、熱身練習：.....................................................................65

三、精解名題：.....................................................................66

四、強化訓練.......................................................................69

第七講遞推數列..............................................71

1

一、知識方法拓展..................................................................71

二、熱身練習.......................................................................73

三、真題精講.......................................................................74

四、重點總結.......................................................................77

五、強化訓練.......................................................................78

第八講數列求和，極限和數學歸納法............................82

一、知識方法拓展...................................................................82

二、熱身練習.......................................................................83

三、真題精講.......................................................................84

四、重點總結.......................................................................88

五、強化訓練.......................................................................89

2

第一講函數的性質

一、知識要點

1、映射

對于任意兩個集合A,B,依對應法則f,若對A中的任意一個元素X,在B中都有唯一

一個元素與之對應，則稱f：AB為一個映射，記作f:AB,其中b稱為像，a稱為原

像。

如果f：AB是一個映射且對任意x,yA,xy,都有fxfy，則

f：AB是A到B上稱之為單射.

如果f:AB是映射且對任意yB,都有一個xA使得fxy,則稱

f：AB是A到B上的滿射.

如果f：AB既是單射又是滿射，則f:AB是A到B上叫做一一映射.

如果f：AB是從集合A到集合B上的一一映射，并且對于B中每一個元素b，使b

在A中的原像a和它對應，這樣所得的映射叫做f：AB的逆映射，記作fi：BA.

2、函數方程問題

（1）代換法（或換元法）

把函數方程中的自變量適當地以別的自變量代換（代換時應注意使函數的定義域不會發

生變化），得到一個新的函數方程，然后設法求得位置函數

、11

例.設ab0,ab,求一X-,xt帶

22入）

afxbfex的解.（【解析】t

分利用

x

（2）待定系數法

當函數方程中的未知數是多項式時，可待定系數而求解.

例.已知fXfX是一次函數，且fXX

10231fXnffXn1101024

求fX.（【解析】設fxaxba0求解）

3、函數對稱性以及周期性

1）已知函數yfx,若函數ygx圖像與yx圖像關于：

3

直線Xa對稱，則gX2ax

直線yb對稱，則gx2bfx

點a,b對稱，則gx2bf2ax。

2）已知函數yfx圖像關于：

直線xa對稱，則fxf2ax

點a,b對稱，則fx2bf2ax,即fxf2ax

2b°

3）常用：若函數ygx圖像與yx圖像關于：

y軸對稱，則gxX

x軸對稱，則gxfx

原點對稱，則gxx。

1~a-b

4）若fxafbx則yfx對

x圖像關于直線稱；

-2~一

ab對稱；

c

若fxafbxc,則y-fx圖像

關于點，

22

<r.ba

若yf―x-a與yf-b-------x-------對

x關于直線稱丁

2

5）若fxTfx,則函數yfx是以T為周期的函數。

6）若fxafx，則fx2aFxafx

fx，即T2a;

111,即T

fxa，貝ijfx2a2a;

fx

若

fx

fxa

1

fx

111,即T

fxafx2a2a。

fx

若，則

fx

fxa

1

fx

7）若fX關于直線Xa和Xbab咻，則fx為以2ba為周期的周期

函數；

若fx關于點a,0和xbab對稱,則fx為以4ba為周期的周期函數：

4

若fx關于點ay和byab對稱,則fx為以2ba為周期的周期函

數。

J9

00

4、抽象函數問題的解法

抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖像，只給出一些函數符號極其滿足的條件

的函數，如給出定義域、解析遞推式、特定點的函數值、特定的運算性質等，它是高中函數

的難點，也是與高等數學函數部分的一個銜接點。

(1)函數性質法

函數的特征是通過其性質(如奇偶性、單調性、周期性等)反映出來的，抽象函數也是

如此，只有充分挖掘和利用題設條件和隱含的性質，靈活進行等價轉化，才能夠將抽象函數

問題化難為易。常用的方法有：①利用奇偶性整體思考；②利用單調性等價轉化；③利用周

期性回歸已知；④利用對稱性數形結合；⑤借助特殊點列方程。

(2)特殊化方法

①在求解函數解析式或研究函數性質時，一般用代換的方法，招X換成X或將X換成

其他字母等；

②在求函數值時，可用特殊值代入；

③研究抽象函數的具體模型，用具體模型解選擇題、填空題，或通過具體模型函數為

解答綜合題提供思路和方法。

5、函數的迭代

一個函數的自復合，叫做迭代。我們用gX表示gX的k次迭代函數。

k

g°xx

即

gk1xggkx

p貝琳gx有迭代周期

gxxp.

如果

k不恒等于

gXXk1,2,,

P1

迭代問題的解法通常是找它的迭代周期。一般來說，若ygx的圖像關于直線yx

對稱，則一定有ggxx.它的迭代周期就是2.下面是幾個常見函數的迭代周期。

2x

g7，迭代周期是3；

X

x1

1

X'迭代周期是4；

g

Xx1

6、凹凸函數

設f為定義在區間I上的函數，若對I上任意兩點X、X和實數

0,1，總有

fXXfXfX則稱f為I上的凸函數：有

時也稱下凸函

112112,

fX11x2fXi1fX2,則

稱則稱f為I數）。駐如舄國有格式

上的凹函數（有時也稱上凸函數）。

S

1XXfXfx（凸函）或

特別地，

一時，

有

2

12

2

22

XXfx（凹函數）。

fX

2

12

22

如何判斷一個函數是凸函數（凹函數）？除了定義以外，還有下面的定理：

設f為I上二階可導函數，則f為I上的凸（凹）函數的充要條件是fx0

fx0.

凸函數更一般的情形是下面的琴生不等式：若f為a,b上的凸函數，則對任意

n

xabin,且貝ij

《，，012,

i1

nn

fXfX

二、熱身練習

91

。。復旦）若要求關于的函數的定義域是

I'09X|g|og2axbX，則a、

b的取

0.5

值范圍是（）

ABa0Cb24aoDab0

21212

【解析】選A.由

ax

lglog2axbx002bx1axbx10對

0.5

a0這樣的a,b不存在。

x,恒成立

b4a0

2

2、。010復旦）某校有一個班級，設變量x是該班同學的姓名，變量y是該班同學的學號，

變量z是該班同學的身高，變量w是該班同學某一門課程的考試成績，則下列選項中正確

的是（）

Ay是x的函數Bz是y的函數Cw是z的函數Dw是x的函數

【解析】按照函數的定義，由于班上可能會有相同的姓名，故A不E確。而任意一個學生

的學號是唯一的，也對應了一個唯一的身高，故選項B正確；同理，C,D均不正確。

3、Q007復旦）設fX是定義在實數集上的周期為2的周期函數，且是偶函數。已知當

x2,3時,fxx,則當x2,0時，fx的表達式為（）

6

A3|x1|B2|x1|C3|x1|D2|x

1|

【解析】選A可以考慮特殊值。f2f22:f1f1f

33.

ff。符合條件的只有選項A了。

022

4、（2006復旦）設有三個函數，第一個是yfX.它的反函球是第二個函數，而第三

個函數的圖像與第二個函數的圖像關于直線xy。對稱，則第三個函數是（）

AyfxByfxCyf1x

Dyf1x

【解析】選B。第二個函數是yf1x,第三個函數為xf1y,即yfx

三、真題講解

1、0005交大）函數yax8x的最大值為9,最小值為1,求實數a、

bb.

2

X1

2

【解析】yx2yax28xb,即280

ayxxby

顯然，這個關于x的方程必有實數根，從而有644ayby0

-根據題意，

2160o1y9y910

yabyab

O---

ab,所以解得ab

C105.

r10y90,故

o-

9

X下列不等式中成立的是

、復旦)設(

2Q006）

X1,X20.12,

2

1XX

112

tanxtanxtan

12

22

1X

x

2tanxtanxtan12

12

22

1X

x

3sinxsinxsin12?

12

22

1X

x

4sinxsinxsin12?

12

22

AB?@CD②④

7

的

【解析】選B這是一道和凸函數有關的問題，分別畫出ytanx,ysinx,

x0,

2

草圖。由圖像可知ytanx是下凸函數，ysinx是上凸函數，故選B

1

3、2009清華）ab1.

?nn2

a0,b0,ab1,nN,求證：22n1

【解析】本題考查的是前文中證明函數是凸函數的充要條件。首先構造函數yX2n,nN?

先證明它是凸函數。事實上y2nxn,y2n2n1xn0,故yx2n,nN*

是

2122

2n2n2n,證畢！

上的凸函數abaI

從而

ab

?n2n

2222

2n1

2x1

4、Q007交大）已知函數［對于n1,2,，定義fx

z\I

X

fX1.

1若

n

f35Xf5X，則

fX

28

解析】本題考查迭代周期問題。計算得

X1

x1

ffX2f1

Xx'2x1x1X

2X3

X4

1X

fxfXX故fx以6為周期.注：條件

fXfX可以不

用。5'6'35-5

2x

5、Q007北大）fXX253x196|X253x1961,求f12

f50.

fxX253x196|X253x196|x4x49

x4x49|,［解析］

50

故f4f5f48f490所以

f1f2f3

f502881889292660.

ab

6、Q002交大）函數fX|lgx|,有0ab且2

fafb

2

1求a,b滿足的關系；

2證明：存在這樣的b,使3b4.

ab所以ab

1.

【解析】1因為fx|lgx|,有0ab且

2,

fafb

2

8

且a0,1,b1,

111

bb2-

2+

bbb

2

Igbig（因為

b

24

1

故4bb22，即b1b3bb10

b44b32b210,32

b

令gxx33x2x1,而g30,g40,故gx。在3,4之間必有

一解，所以

存在b,是的3b4.

四、強化訓練

--（A組）

1、Q004復旦）若存在M,使對任意XD（D為函數fx的定義域），部有

111上是否有界？

Ifx|M,則稱函數fx有界。問函數sin

_在x0,

fXX

x

2

111

【解析】令t,則t

Xnsint

sint.

xx

若令2

tkkZ且k1,則當k時，sintsin2k1.t

22

111上無界.注:本題中的t有無窮買包值方式，如令

故sin

在x0,

xXX

2

2k,2k,事實上，只要使sint0均可。

35

2、Q007復旦）若al,b1且lgabIgaIgb,則lga1lgb1

AIg2B1C不是與a,b無關的常數D0

【解析】選D.由abab,得a1b1abb11.故Iga

1igb1

Igl0

x2002

3、Q005復旦）定義在R上的函數fXx1滿足

fx2f

4015x

x1

則f2004

9

【解析】2005.令x222f20044013,令x2004f20042f

2

f22f2004f2004

4013,2005.

2011.

f20042f2

2011

4、設fx|X11lx2||x2013||x1||x2||x

2013|xR

f323a2a1,則a的值有

)且

A1個B2個C3個D無數個

【解析】因為fxX.故fX為偶函數.在1x1時，有

X|X1||x1||X2||x2||x2013||x

2013|

2a23a21且1a11

時，

A-5

2V

a3a2fa1a2.故選D!

恒有

2

5、Q000交大）求函數312312

XXXXXxR的反函數

【解析】由312312

XXXXX得

22

2

y32x33X1xx1X233x

1x2X1X2

32322x

3y

2x3x1XX1x

3yx3x

3

Xx

22

x4x17x26x在區間1,1上的值

6、（模擬題）求函數

106域.

fX432

x2x7

2

64

fXX1215,15

【解析】

2

,值域為

x2x7

2

3

7、（模擬題）已知fx是定義在R上的函數，且fx21fx1fx

（1）試證明fX是周期函數.

10

⑵若f1V23,試求f2013

1x

【解析】（1）又條件可知f11,故

iX

fX2.用x2換上式的X,得

1―

1

1x21x1

fx4

121x

XX

1

1

X

1

8

X

fxX,即X是以8為周期的周期函

數。所以

4

1

f2013f82515f514

32.⑵

1

8、（橫誦1010241023

xfx是一次函XX

且fXX

求fx

【解析】設LXaxba—0則有

f2xxaaxbbxba1

2

xxaaxbabaxbaa

11

22

ba

1

10

依此類推有:

fXaxbaaa1axa=1

109810

10

時不成立

1a

10b1a

10

由題設可得：a1024且二1023,故解得a2,b1或a2,b3.

1a

所以fx2x1或fx2x3.

11

9、（模擬題）已知實數X滿足

25,求

X3

X2x

2

【解析】記tX21

則

X

2

22

111

20xx1X23

322

2

XXX

1

t33t2200t2t25t

10o,t2,故23.

xx

2

11

10、2001交大）已知函數fxx22x2,xt,t1的最小值是gt,試著寫出gt

的解析表達式。

2

fXX11淇對稱軸為X

1?【解析】

當t1時,X在t,t1上單調遞增，從而222

gtft

當t11即t2時，fx在t,t1上單調遞減，從而

gtft1t4t5

2

當2t1時，gt11

t2tt

22.1,

gtt

故

1,2,

1

t4t5,t,2

（B組）

1、（2008交大）已知函數fxax2bxca0,且fxx沒有實數根.那

么

ffXX是否有實數根？并證明你的結論.

【解析】法一：利用fXx0,得到0,故沒有實數根（本方法計算量過大）

法二：若a0,則fxx,對一切xR恒成立.

故有ffxXX;

同理a0時則fxx,對一切xR恒成立.

故有ffxfxx;所以fXX沒有實數根

fxax22bx4c

a,b,cR,a0.2、（模擬題）已知函數

(1)函數fx的圖像與直線yx均無公共點，求證:4b216ac1

⑵若a0且ab1,又|x|2時，恒有|fx2,求fx的解析式.

【解析】(D函數fx與直線yx無公共點，ax22bx4cx無實數解.

2

故2b116ac0,即4b24b116ac0.

同理函數fx與直線yx無公共點，即有4b24b116ac0.

12

兩式相加得8b2232ac0,即4b216ac1.

(2)ab1,又|x|2時，恒有|fx2

故有2fo4c4a4b4c4abf24242

故4c2.C-