（高二數學高分突破）第9章統計章末題型歸納總結（原卷版）（高二數學高分突破）第9章統計章末題型歸納總結（原卷版）/（高二數學高分突破）第9章統計章末題型歸納總結（原卷版）第9章統計章末題型歸納總結模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：線性回歸方程經典題型二：非線性回歸方程經典題型三：獨立性檢驗經典題型四：統計的綜合應用模塊三：數學思想方法①分類討論思想②轉化與化歸思想③特殊到一般思想模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：線性回歸方程例1．(2024·高三·上海閔行·階段練習)某公司為了增加某商品的銷售利潤,調查了該商品投入的廣告費用：(單位：萬元)與銷售利潤(單位：萬元)的相關數據,如表所示,根據表中數據,得到經驗回歸方程,則下列命題正確的是(請填寫序號)廣告費用3458銷售利潤4578①;

②;③直線必過點;④直線必過點例2．(2024·高二·江西·開學考試)商家為了解某品牌取暖器的月銷售量Y(臺)與月平均氣溫之間的關系,隨機統計了某4個月該品牌取暖器的月銷售量與當月平均氣溫,其數據如下表;平均氣溫()10741月銷售量(臺)26375582由表中數據算出線性回歸方程中的,當平均氣溫為時,此品牌取暖器的月銷售量為臺(結果保留整數)．例3．(2024·高三·全國·專題練習)某種產品2014年到2018年的年投資金額(萬元)與年利潤(萬元)的數據統計如下,由散點圖知,與之間的關系可以用線性回歸模型擬合,已知5年利潤的平均值是4.7．年份20142015201620172018年投資金額萬元12345年利潤萬元2.42.76.47.9(1)求表中實數的值;(2)求關于的線性回歸方程．參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,．例4．(2024·高二·全國·課前預習)為幫助鄉村脫貧,某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情況,測得了平均金屬含量(單位：)與樣本對原點的距離(單位：)的數據,并作了初步處理,得到了下面的一些統計量的值.(表中)660(1)利用樣本相關系數的知識,判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型?(2)根據(1)的結果回答下列問題：(i)建立關于的回歸方程;(ii)樣本對原點的距離時,金屬含量的預報值是多少?例5．(2024·高三·上海浦東新·階段練習)環境監測部門為調研汽車流量對空氣質量的影響,在某監測點統計每日過往的汽車流量(單位：輛)和空氣中的的平均濃度(單位：)．調研人員采集了50天的數據,制作了關于的散點圖,并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,落入對應區域的樣本點的個數依次為6,20,16,8．(1)完成下面的列聯表,并判斷至少有多大把握認為"平均濃度不小于與"汽車日流量不小于1500輛”有關;汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度的平均濃度合計(2)經計算得回歸方程為,且這50天的汽車日流量的標準差,的平均濃度的標準差．①求相關系數,并判斷該回歸方程是否有價值;②若這50天的汽車日流量滿足,試推算這50天的日均濃度的平均數．(精確到0.1)參考公式：,其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程,其中．相關系數．若,則認為與有較強的線性相關性．例6．(2024·廣東廣州·二模)某沙漠地區經過治理,生態系統得到很大改善,野生動物數量有所增加.為調查該地區植物覆蓋面積與某種野生動物數量的關系,將其分成面積相近的若干個地塊,從這些地塊中隨機抽取20個作為樣區,調查得到樣本數據,其中,和,分別表示第個樣區的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數量(單位：只),并計算得.(1)求樣本的相關系數(精確到0.01),并推斷這種野生動物的數量y(單位：只)和植物覆蓋面積x(單位：公頃)的相關程度;(2)已知20個樣區中有8個樣區的這種野生動物數量低于樣本平均數,從20個樣區中隨機抽取2個,記抽到這種野生動物數量低于樣本平均數的樣區的個數為X,求隨機變量X的分布列.附：相關系數經典題型二：非線性回歸方程例7．(2024·廣東廣州·一模)某校數學建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重(單位：克)與脈搏率(單位：心跳次數/分鐘)的對應數據,根據生物學常識和散點圖得出與近似滿足(為參數).令,,計算得,,.由最小二乘法得經驗回歸方程為,則的值為;為判斷擬合效果,通過經驗回歸方程求得預測值,若殘差平方和,則決定系數.(參考公式：決定系數)例8．(2024·高三·重慶·開學考試)當前,人工智能技術以前所未有的速度迅猛發展,并逐步影響我們的方方面面,人工智能被認為是推動未來社會發展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個領域逐年加大投入,以下是近年來該公司對產品研發年投入額(單位：百萬元)與其年銷售量y(單位：千件)的數據統計表．12345611.53612(1)公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關于年投入額的回歸分析模型,請根據已知數據,確定方案①和②的經驗回歸方程;(計算過程保留到小數點后兩位,最后結果保留到小數點后一位)(2)根據下表數據,用決定系數(只需比較出大小)比較兩種模型的擬合效果哪種更好,并選擇擬合精度更高的模型,預測年投入額為百萬元時,產品的銷售量是多少?經驗回歸方程殘差平方和參考公式及數據：,,,,,,,,．例9．(2024·高二·黑龍江大興安嶺地·期中)碳排放是引起全球氣候變暖問題的主要原因．2009年世界氣候大會,中國做出了減少碳排放的承諾,2010年被譽為了中國低碳創業元年．2020年中國政府在聯合國大會發言提出：中國二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值,努力爭取2060年前實現碳中和．碳中和是指主體在一定時間內產生的二氧化碳或溫室氣體排放總量,通過植樹造林、節能減排等形式,以抵消自身產生的二氧化碳或溫室氣體排放量,實現正負抵消,達到相對"零排放”．如圖為本世紀來,某省的碳排放總量的年度數據散點圖．該數據分為兩段,2010年前該省致力于經濟發展,沒有有效控制碳排放;從2010年開始,該省通過各種舉措有效控制了碳排放．用x表示年份代號,記2010年為．用h表示2010年前的的年度碳排放量,y表示2010年開始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統計表(單位：億噸)年份2011201220132014201520162017年份代號x1234567年度碳排放量y(單位：億噸)2.542.6352.722.802.8853.003.09(1)若關于x的線性回歸方程為,根據回歸方程估計若未采取措施,2017年的碳排放量;并結合表一數據,說明該省在控制碳排放舉措下,減少排碳多少億噸?(2)根據,設2011~2017年間各年碳排放減少量為,建立z關于x的回歸方程．①根據,求表一中y關于x的回歸方程(精確到0.001);②根據①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實現碳達峰?參考數據：．參考公式：．例10．(2024·四川內江·一模)某企業為響應國家號召,匯聚科研力量,加強科技創新,準備加大研發資金投入,為了解年研發資金投入額(單位：億元)對年盈利額(單位：億元)的影響,通過對"十二五”和"十三五”規劃發展10年期間年研發資金投入額和年盈利額數據進行分析,建立了兩個函數模型：;,其中、、、均為常數,為自然對數的底數,令,,經計算得如下數據：(1)請從相關系數的角度,分析哪一個模型擬合度更好?(2)根據(1)的選擇及表中數據,建立關于的回歸方程．(系數精確到0.01)附：相關系數回歸直線中：,．例11．(2024·高三·四川成都·期末)為幫助鄉村脫貧,某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情況,測得了平均金屬含量(單位：)與樣本對原點的距離(單位：m)的數據,并作了初步處理,得到了下面的一些統計理的值．(表中,)697.900.21600.1414.1226.13(1)利用樣本相關系數的知識,判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型?(2)根據(1)的結果回答下列問題：①建立關于的回歸方程;②樣本對原點的距離時,金屬含量的預報值是多少?附：對于一組數據,其線性相關系數,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：,．例12．(2024·高三·全國·專題練習)數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲,玩家需要根據9×9盤面上的已知數字,推理出所有剩余空格的數字,并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內的數字均含1～9,且不重復．數獨愛好者小明打算報名參加"絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽．參考數據：17500.370.55參考公式：對于一組數據,其經驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.(1)賽前小明進行了一段時間的訓練,每天解題的平均速度y(秒/題)與訓練天數x(天)有關,經統計得到如下數據：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現用作為回歸方程模型,請利用表中數據,求出該回歸方程;(,用分數表示)(2)小明和小紅玩"對戰賽”,每局兩人同時開始解一道數獨題,先解出題的人獲勝,不存在平局,兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為,且各局之間相互獨立,設比賽X局后結束,求隨機變量X的分布列及均值．例13．(2024·高三·湖南衡陽·階段練習)為了加快實現我國高水平科技自立自強,某科技公司逐年加大高科技研發投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發投入y(單位：億元)的散點圖,其中年份代碼1～10分別對應年份2013～2022.

根據散點圖,分別用模型①,②作為年研發投入y(單位：億元)關于年份代碼x的經驗回歸方程模型,并進行殘差分析,得到圖2所示的殘差圖.結合數據,計算得到如下表所示的一些統計量的值：752.2582.54.512028.35表中,.(1)根據殘差圖,判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發投入y(單位：億元)關于年份代碼x的經驗回歸方程模型?并說明理由;(2)(i)根據(1)中所選模型,求出y關于x的經驗回歸方程;(ii)設該科技公司的年利潤(單位：億元)和年研發投入y(單位：億元)滿足(且),問該科技公司哪一年的年利潤最大?附：對于一組數據,,…,,其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.經典題型三：獨立性檢驗例14．(2024·寧夏銀川·一模)有甲、乙兩個班級進行數學考試,按照大于等于85分為優秀,85分以下為非優秀統計成績,得到如下所示的列聯表：優秀非優秀總計甲班10b乙班c30合計附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機抽取1人,成績優秀的概率為,則下列說法正確的是(

)A．列聯表中c的值為30,b的值為35B．列聯表中c的值為15,b的值為50C．根據列聯表中的數據,若按97.5%的可靠性要求,能認為"成績與班級有關系”D．根據列聯表中的數據,若按97.5%的可靠性要求,不能認為"成績與班級有關系”例15．(2024·高二·江西九江·期末)假設有兩個變量和,它們的取值分別為和,其列聯表為(

)根據以下選項中的數據計算的值,其中最大的一組為(

)A．B．C．D．例16．(2024·高二·山東濱州·期末)針對時下的"短視頻熱”,某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯進行了一次調查,其中被調查的男生?女生人數均為人,男生中喜歡短視頻的人數占男生人數的,女生中喜歡短視頻的人數占女生人數的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立,則的最小值為()附：,附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10例17．(2024·高三·全國·專題練習)2020年以來,為了抗擊新冠肺炎疫情,教育部出臺了"停課不停學”政策,全國各地紛紛采取措施,通過網絡進行教學,為莘莘學子搭建學習的平臺．在線教育近幾年蓬勃發展,為學生家長帶來了便利,節省了時間,提供了多樣化選擇,滿足了不同需求,也有人預言未來的教育是互聯網教育．與此同時,網課也存在以下一些現象,自覺性不強的孩子網課學習的效果大打折扣,授課教師教學管理的難度增大．基于以上現象,開學后某學校對本校課學習情況進行抽樣調查,抽取25名女生,25名男生進行測試、問卷等,調查結果形成以下2×2列聯表,通過數據分析,認為認真參加網課與學生性別之間(

)認真上網課不認真上網課合計男生52025女生151025合計203050參考數據：0.050.010.0013.8416.63510.828A．不能根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關B．根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關C．根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關D．根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者無關經典題型四：統計的綜合應用例18．(2024·高二·福建漳州·期中)某工廠引進新的生產設備,為對其進行評估,從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計件數11356193318442121100經計算,樣本的平均值,標準差,以頻率值作為概率的估計值.(1)為評估設備對原材料的利用情況,需要研究零件中某材料含量和原料中的該材料含量之間的相關關系,現取了8對觀測值,求與的線性回歸方程.(2)為評判設備生產零件的性能,從該設備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據以下不等式進行評判(表示相應事件的概率);①;②;③.評判規則為：若同時滿足上述三個不等式,則設備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙;若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁,試判斷設備的性能等級.(3)將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品．從樣本中隨意抽取2件零件,再從設備的生產流水線上隨意抽取2件零件,計算其中次品總數的數學期望.附：①對于一組數據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為,;②參考數據：,,,.例19．(2024·高三·廣東深圳·期中)紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一,能對柚子樹造成嚴重傷害,每只紅蜘蛛的平均產卵數y(個)和平均溫度x(℃)有關,現收集了以往某地的7組數據,得到下面的散點圖及一些統計量的值.

(1)根據散點圖判斷,與(其中…為自然對數的底數)哪一個更適合作為平均產卵數y(個)關于平均溫度x(℃)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)由(1)的判斷結果及表中數據,求出y關于x的回歸方程.(計算結果精確到0.1)附：回歸方程中,,參考數據()5215177137142781.33.6(3)根據以往每年平均氣溫以及對果園年產值的統計,得到以下數據：平均氣溫在22℃以下的年數占60%,對柚子產量影響不大,不需要采取防蟲措施;平均氣溫在22℃至28℃的年數占30%,柚子產量會下降20%;平均氣溫在28℃以上的年數占10%,柚子產量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害,農科所研發出各種防害措施供果農選擇.在每年價格不變,無蟲害的情況下,某果園年產值為200萬元,根據以上數據,以得到最高收益(收益＝產值－防害費用)為目標,請為果農從以下幾個方案中推薦最佳防害方案,并說明理由.方案1：選擇防害措施A,可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產,費用是18萬;方案2：選擇防害措施B,可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害,但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害,費用是10萬;方案3：不采取防蟲害措施.例20．(2024·福建·模擬預測)為了解學生中午的用穊方式(在食堂就餐或點外賣)與最近食堂間的距離的關系,某大學于某日中午隨機調查了2000名學生,獲得了如下頻率分布表(不完整)：學生與最近食堂間的距離合計在食堂就餐0.150.100.000.50點外賣0.200.000.50合計0.200.150.001.00并且由該頻率分布表,可估計學生與最近食堂間的平均距離為(同一組數據以該組數據所在區間的中點值作為代表).(1)補全頻率分布表,并判斷是否有99.9%的把握認為學生中午的用餐方式與學生距最近食堂的遠近有關(當學生與最近食堂間的距離不超過時,認為較近,否則認為較遠)：(2)已知該校李明同學的附近有兩家學生食堂甲和乙,且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.(i)一般情況下,學生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.某日中午,李明準備去食堂就餐.此時,記他選擇去甲食堂就餐為事件,他認為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件,且、均為隨機事件,證明：：(ii)為迎接為期7天的校慶,甲食堂推出了如下兩種優惠活動方案,顧客可任選其一.①傳統型優惠方案：校慶期間,顧客任意一天中午去甲食堂就餐均可獲得元優惠;②"饑餓型”優惠方案：校慶期間,對于顧客去甲食堂就餐的若干天(不必連續)中午,第一天中午不優惠(即"饑餓”一天),第二天中午獲得元優惠,以后每天中午均獲得元優惠(其中,為已知數且).校慶期間,已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均為(),且是否去甲食堂就餐相互獨立.又知李明是一名"激進型”消費者,如果兩種方案獲得的優惠期望不一樣,他傾向于選擇能獲得優惠期望更大的方案,如果兩種方案獲得的優惠期望一樣,他傾向于選擇獲得的優惠更分散的方案.請你據此幫他作出選擇,并說明理由.附：,其中.0.100.0100.0012.7066.63510.828例21．(2024·全國·模擬預測)某校20名學生的數學成績和知識競賽成績如下表：學生編號12345678910數學成績100999693908885838077知識競賽成績29016022020065709010060270學生編號11121314151617181920數學成績75747270686660503935知識競賽成績4535405025302015105計算可得數學成績的平均值是,知識競賽成績的平均值是,并且,,．(1)求這組學生的數學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(精確到)．(2)設,變量和變量的一組樣本數據為,其中兩兩不相同,兩兩不相同．記在中的排名是第位,在中的排名是第位,．定義變量和變量的"斯皮爾曼相關系數”(記為)為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數．(i)記,．證明：．(ii)用(i)的公式求這組學生的數學成績和知識競賽成績的"斯皮爾曼相關系數”(精確到)．(3)比較(1)和(2)(ii)的計算結果,簡述"斯皮爾曼相關系數”在分析線性相關性時的優勢．注：參考公式與參考數據．;;．例22．(2024·湖南益陽·模擬預測)為了研究學生每天整理數學錯題情況,某課題組在某市中學生中隨機抽取了100名學生調查了他們期中考試的數學成績和平時整理數學錯題情況,并繪制了下列兩個統計圖表,圖1為學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖,圖2為學生一個星期內整理數學錯題天數的扇形圖.若本次數學成績在110分及以上視為優秀,將一個星期有4天及以上整理數學錯題視為"經常整理”,少于4天視為"不經常整理”.已知數學成績優秀的學生中,經常整理錯題的學生占.數學成績優秀數學成績不優秀合計經常整理不經常整理合計(1)求圖1中的值以及學生期中考試數學成績的上四分位數;(2)根據圖1、圖2中的數據,補全上方列聯表,并根據小概率值的獨立性檢驗,分析數學成績優秀與經常整理數學錯題是否有關?(3)用頻率估計概率,在全市中學生中按"經常整理錯題”與"不經常整理錯題”進行分層抽樣,隨機抽取5名學生,再從這5名學生中隨機抽取2人進行座談.求這2名同學中經常整理錯題且數學成績優秀的人數X的分布列和數學期望.附：例23．(2024·吉林·三模)2022年11月20日,卡塔爾足球世界杯正式開幕,世界杯上的中國元素隨處可見．從體育場建設到電力保障,從賽場內的裁判到賽場外的吉祥物都是中國制造,為卡塔爾世界杯提供了強有力的支持．國內也再次掀起足球熱潮．某地足球協會組建球隊參加業余比賽,該足球隊教練組為了考查球員甲對球隊的貢獻,作出如下數據統計(甲參加過的比賽均分出了輸贏)：球隊輸球球隊贏球總計甲參加23032甲未參加81018總計104050(1)根據小概率值的獨立性檢驗,能否認為該球隊贏球與甲球員參賽有關聯;(2)從該球隊中任選一人,A表示事件"選中的球員參賽”,B表示事件"球隊輸球”．與的比值是選中的球員參賽對球隊貢獻程度的一項度量指標,記該指標為R．①證明：;②利用球員甲數據統計,給出,的估計值,并求出R的估計值．附：．參考數據：a0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828模塊三：數學思想方法①分類討論思想例24．(2024·河南·校聯考三模)某企業對目前銷售的四種產品進行改造升級,經過改造升級后,企業營收實現翻番,現統計了該企業升級前后四種產品的營收占比,得到如下餅圖：下列說法不正確的是(

)A．產品升級后,產品的營收是升級前的4倍B．產品升級后,產品的營收是升級前的2倍C．產品升級后,產品的營收減少D．產品升級后,產品營收的總和占總營收的比例不變例25．(2024·山東青島·高二山東省青島第一中學校考期中)下圖是某地區2009年至2018年芯片產業投資額(單位：億元)的散點圖,為了預測該地區2019年的芯片產業投資額,建立了與時間變量的四個線性回歸模型．根據2009年至2018年的數據建立模型①;根據2010年至2017年的數據建立模型②;根據2011年至2016年的數據建立模型③;根據2014年至2018年的數據建立模型④．則預測值更可靠的模型是(

)A．① B．② C．③ D．④例26．(2024·貴州·高三統考期末)某校從2011年到2018年參加"北約”,"華約”考試而獲得加分的學生(每位學生只能參加"北約”,"華約”一種考試)人數可以通過以下表格反映出來．(為了方便計算,將2011年編號為1,2012年編號為2,依此類推……)年份x12345678人數y23447766(1)據悉,該校2018年獲得加分的6位同學中,有1位獲得加20分,2位獲得加15分,3位獲得加10分,從該6位同學中任取兩位,記該兩位同學獲得的加分之和為X,求X的分布列及期望．(2)根據最近五年的數據,利用最小二乘法求出y與x之間的線性回歸方程,并用以預測該校2019年參加"北約”,"華約”考試而獲得加分的學生人數．(結果要求四舍五入至個位)參考公式：②轉化與化歸思想例27．(2024·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測)某種機械設備隨著使用年限的增加,它的使用功能逐漸減退,使用價值逐年減少,通常把它使用價值逐年減少的"量”換算成費用,稱之為"失效費”．某種機械設備的使用年限(單位：年)與失效費(單位：萬元)的統計數據如下表所示：使用年限(單位：年)24568失效費(單位：萬元)34567(1)根據上表數據,計算與的相關系數,并說明與的線性相關性的強弱．(已知：,則認為與線性相關性很強;,則認為與線性相關性一般;,則認為與線性相關性較弱)(r的結果精確到0.0001)(2)求關于的線性回歸方程,并估算該種機械設備使用10年的失效費．,,．例28．(2024·廣東廣州·高二統考期末)如圖是某地區2000年至2019年環境基礎設施投資額(單位：億元)的折線圖．為了預測該地區2020年的環境基礎設施投資額,建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據2000年至2019年的數據(時間變量的值依次為,,,)建立模型①：;根據2010年至2019年的數據(時間變量的值依次為,,,)建立模型②：．(1)分別利用這兩個模型,求該地區2020年的環境基礎設施投資額的預測值;(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由．例29．(2024·陜西西安·高二西安中學?？计谥?隨著移動互聯網的快速發展,基于互聯網的共享單車應運而生．某市場研究人員為了了解共享單車運營公司的經營狀況,對該公司最近六個月(20