5.2.1三角函數的概念（分層作業）（夯實基礎+能力提升）

【夯實基礎】

一、單選題

1.（2022?廣東?饒平縣第二中學高一開學考試）已知角a的終邊經過點貝ijcosa=（）

A.&B.@C.72D.G

33

【答案】B

【分析】利用三角函數的定義可求得cosa的值.

【詳解】由三角函數的定義可得8$￡=尋5=乎.

故選：B.

2.（2022?浙江大學附屬中學高一期末）已知角a的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的

終邊過點（-2,1）,貝！Isina的值為（）

A.--B.—C.--D.—

5555

【答案】B

【分析】用三角函數值的定義去求.

22則sina干$邛.

【詳解】已知點尸（-2,1）,則r=|OP|=7（-2）+1=后,

故選：B

3.（2。22?全國?高一課時練習）已知角a的終邊經過點網-3,4）,則筆修的值為（）

B.1C.2D.3

【答案】A

434

【分析】由三角函數的定義可得sina=costz=--tana=-p將其代入即可求解.

46

【詳解】由J（—3）2+4」=5,得sina=2,cosa=一1,tancr=——代入原式得=

35

故選：A

4.（2022?全國?高一課時練習）已知點尸（2,-4）是角a終邊上一點，貝ijcosa=（）

A小3舊3石「加

A.-------RD.-----rc.-------u.—

5555

【答案】D

【分析】利用任意角三角函數的定義即可求得cosa的值.

【詳解】因為點P（2,-4）是角&終邊上一點，所以cosa=在第=?.

故選:D.

5.（2022?陜西渭南?高一期末）已知角。的終邊經過點M（見3-m），且tanO=；,則機=（）

A.!B.1C.2D.-

22

【答案】C

【分析】由三角函數定義求得，〃值.

【詳解】由題意tan0=t2=:，解得加=2.

m2

故選：C.

6.（2022?山東日照?高一期末）若點P（-4,。）在角240。的終邊上，則實數。的值是（）

A.473B.-473C.±4百D.&

【答案】B

【分析】根據三角函數的定義，列出方程，即可求解.

【詳解】由三角函數定義，可得tan240。=三，解得a=-4.tan240。=-46.

-4

故選：B.

7.（2022?上海?華師大二附中高一期中）設。角屬于第二象限，且cos不a=-cosc不i，則n三角屬于（）

222

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根據a為第二象限角可求得（為第一或第三象限角，由cos]<0可得結果.

22

【詳解】Qa為第二象限角，二90+h360<cz<180+H360（&eZ）,

zy

A45+ZJ80<-<90+A180（fceZ）；

當々=2〃（〃eZ）時，?為第一象限角；當％=2〃+l（〃eZ）時，羨為第三象限角；

.?￡為第一或第三象限角；

cos^=-cos/,??.cos￡<0,.■（為第三象限角.

故選：C.

8.（2022?江西省萬載中學高一階段練習）已知角a終邊過點P（3a,TG（a<0）,貝ijsina+cosa的值為（）

A.-B.-C.--D.--

5555

【答案】A

【分析】根據三角函數的定義計算可得.

【詳解】由題意得，點（3aT1（"0）到原點的距離r=J（3a）2+（Ya）2=_5a,

所以根據三角函數的定義可知sina=?—^Ln=M4，cosa=3^a-=-f3,

-5a5-ja5

所以sina+cos。?

故選：A.

9.（2022?四川瀘州?高一期末）已知。=ln，力=cos把,c=22,則。力,c的大小關系正確的是（）

23

A.b<c<aB.h<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】求出〃，c的范圍和。的值比較大小即可.

1112^-1—

【詳解】a=］n-<\n—^==一一,Z?=cos—=一一,c=22>0,\^\a<b<c.

2加232

故選：D.

10.（2022?全國?高一課時練習）在平面直角坐標系中，若角。的頂點在原點，始邊在x軸的非負半軸上，

終邊在第二象限，則下列三角函數中值大于零的是（）

A.sin（a+^JB.cos（a+］）C.tan（兀+a）D.cos（7t+a）

【答案】D

TT

【分析】根據角a終邊在第二象限，可判斷以a+］是第三象限角，兀+a是第四象限角，結合三角函數在

各象限內的符號，即可判斷答案.

【詳解】由已知得a是第二象限角，所以a+]是第三象限角，兀+二是第四象限角,

所以sin[a+W]<0,cos^（7+^<0,tan（TH-a）<0,cos（兀+a）>0,

故選:D.

二、多選題

11.（2022?遼寧?東北育才學校高一期中）下列四個選項，正確的有（）

A.P（tana,cosa）在第三象限，則a是第二象限角

B.已知扇形0A8的面積為4,周長為10,則扇形的圓心角（正角）的弧度數為g

C.若角a的終邊經過點（。,加乂aw0）,貝|sina=￥

D.sin3cos4tan5>0

【答案】ABD

【分析】根據三角函數在各個象限的正負，扇形周長和面積的計算公式，三角函數的定義，三角函數值的

正負，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：由題可得tana<0,則a屬于第二或者第四象限;

cos?<0,則a屬于第二或者第三象限或角度終邊落在無軸的負半軸上；故a屬于第二象限，A正確;

對B：設扇形OAB的圓心角為火々>0）,半徑為R,圓心角對的弧長為/,

則，/R=4,/+2R=10,解得/=2,R=4,又l=aR,即2=4（z,解得a=,，B正確;

22

2a2a2新

對C：根據題意可得sin。=萬=而=土亍，故c錯誤;

對D：因為3嗚,7Tj,4■乃），5w菖,2%），sin3>0,cos4<0,tan5<0,

故sin3cos4tan5>0,D正確.

故選：ABD.

12.（2022?江蘇?南京市第一中學高一階段練習）已知。是第一象限角，則下列結論中正確的是（）

aa

A.sin2a>0B.cos2a>0C.cos—>0D.tan—>0

22

【答案】AD

【分析】根據角所在象限，判斷三角函數值的符號。

【詳解】已知a是第一象限角，.?"EvavZ祈+^（AeZ）

由4E<2Q<4E+MZCZ）,2。角的終邊在一、二象限或y軸非負半軸上，sin2o>0成立,A正確；cos2a>0

不一定成立，B錯誤；

由&兀<卷<?+色eZ）,5角的終邊在第一象限或第三象限，cos?>0不一定成立，C錯誤；ta吟>0成

立，D正確.

故選：AD.

13.（2022?全國?高一單元測試）下列結論正確的是（）

A.是第三象限角

O

B.若圓心角為5的扇形的弧長為萬，則該扇形的面積為自

C.若角a的終邊上有一點尸（―3,4）,貝ljcosa=-3

D.若角&為銳角，則角2a為鈍角

【答案】BC

【分析】A中，由象限角的定義即可判斷；

B中，由弧長公式先求出半徑，再由扇形面積公式即可；

C中，根據三角函數的定義即可判斷；

D中，取a=30°即可判斷.

【詳解】選項A中，-==-2兀+3,是第二象限角，故A錯誤；

66

選項B中，設該扇形的半徑為"，則?"=乃，...r=3,.?.Siw=；x?x32=q,故B正確；

選項C中，r=7（-3）2+42=5,cosa=^-1,故C正確；

選項D中，取a=30。，則a是銳角，但21=60。不是鈍角，故D錯誤.

故選：BC.

三、填空題

14.（2022.上海市奉賢中學高一期中）已知角a的終邊經過點尸（12,5）,貝i]cosa=

【答案】||

【分析】直接利用三角函數的定義求值即可.

【詳解】???角a的終邊經過點。2,5）,

cosa=-,

12

故答案為：—.

15.（2022.河北省文安縣第一中學高一階段練習）sina>0是a的終邊落在第一、二象限的

條件.（從充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要填空）

【答案】必要不充分

【分析】若sina>（）,則a的終邊落在第一、二象限或y軸的正半軸，故由sina>0得不到a的終邊落在第

一、二象，但反之可以.

【詳解】如a=5,貝!]sine>0,但a的終邊不落在第一、二象限，故由sina>0得不到a的終邊落在第一、

二象限；

若a的終邊落在第一、二象限，則sina>0成立，

故sine>0是a的終邊落在第一、二象限的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分

16.（2022?浙江?杭州四中高一期末）已知角a的終邊有一點則sine=.

【答案】叵

7

【分析】由三角函數的定義求解

—42]

【詳解】由題意得sina=7、=-K

1+1

故答案為：型

7

17.（2022?上海理工大學附屬中學高一期中）角a的終邊上有一點「（-34,44）（4>0）,則$吊。的值為

4

【答案】-##0.8

【分析】根據正弦函數的定義計算.

【詳解】由題意|0P|=J（-3a）2+（4a）2=5a,

m.4a4

所以sina=—=—

4

故答案為：—.

18.(2022.全國?高一課時練習)如圖所示，終邊落在陰影部分的角a的取值集合為

【答案】{a|*.360°+30°<a<jt^60°+105°,AreZ}

【分析】由已知，分別表示出射線OA和射線。8終邊所表示的角度，然后根據題意表示陰影部分的范圍即

可.

【詳解】終邊落在射線。4上的角的集合是伊1￡=旌360"+30",々eZ},終邊落在射線。8上的角的集合是

{川7=八360°+105°,ZwZ},所以終邊落在陰影部分(含射線。A,不含射線。8)的角的集合是

[a163600+30°<公360°+105°,Zez}.

故答案為：{a[X>360'+3004a<h360"+105°,Z:eZ).

19.(2022.全國.高一課時練習)已知角a的終邊在射線y=3(x20)上，則角a的正弦值為,余弦

值為.

【答案】—；##0.5

【分析】求出角的終邊y=bx(x*0)與單位圓的交點坐標，根據三角函數的定義即可求得答案.

【詳解】設角a的終邊與單位圓的交點為P(x,y),則f+y2=],

1

x=—

又y=石x(x>0),廠，

y=——

[2

工曰.61

于是sma=y=」一，cosa=x=~,

22

故答案為：正；;

22

四、解答題

20.（2022?全國?高一課時練習）已知角，的7倍角的終邊與角6的終邊重合，且0。<6<360。，求滿足條件

的角。的集合.

【答案】{60°,120°,180°,240°,300°}.

【分析】由已知，根據題意，列出7。=。+~360。，通過對k進行賦值，結合。的范圍即可完成作答.

【詳解】由題意知，761=6+k360°,&GZ,即66=k360°,kGZ,：.8=k?60。,k^Z,

由0°<8<360°,得0°<k60°<360°,1GZ,

：.0<k<6,kGZ,即0=1,2,3,4,5,

.?.角。的集合為{60。，120°,180°,240°,300°}.

21.（2022.全國?高一課時練習）已知頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合的角a的終邊上有一點

網-石，"?），且sina=0）,求加的值，并求cosa與tanct的值.

【答案】m=±5/5;當〃?=石時，cosa=--,tana=；當,〃=-石時，cosa=--,tana=^^

4343

【分析】根據三角函數定義可由新。二二口:皆訊機*。）求得機的值；結合加的值，由三角函數定義

y/3+m24

可求得cos%tana.

【詳解】.sina=-7=^==^-7w（m^0）,.?.加=土石；

J3+W4

業I6A/6mV15

當〃z=，5時，cosa=—.=-------,tana=——/==-----；

V3W4733

9一底mJ15

當=-y/5時，cosa=-tana=——=-----

y13+m24由3

【能力提升】

一、單選題

1.（2022?江蘇?揚中市第二高級中學高一階段練習）已知角6的終邊經過點（2a+l,a-2）,且cos，=|,則

實數的。值是（）

22

A.—2B.—C.—2或打D.1

【答案】B

2a+1

【分析】由題設可得8so=初而不獷且2力1>0,求解即可.

2。+131

【詳解】由題設，1c/…―三且2a+l>°,BPa>-->

J（2a+iy+（a-2）-32

.?.4/*+1=2,則11儲+20a-4=0,解得。=一2或a=2,

5/+52511

2

綜上，a端.

故選：B.

JT1

2.（2022.甘肅天水?高一期末）“&=一二+2版（々€2）”是氣相。=-：”的（）

62

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由a=-$+2E（ZeZ）可以得到sina=-4，但是反向推導不成立，故可以得到答案.

62

JT11JT

【詳解】由。=-二+2E（ZEZ）可以得到sina=-7,但是由sino=-彳，得2=-二+2版或

6226

a=-^-+2hi（keZ）.

故選：A.

3.（2022.湖北?郵陽中學高一階段練習）已知函數/（x）=a"+3（八0且"1）的圖像經過定點A,且

則包正（）

點A在角。的終邊上，

sin0+cos0

A.-1

B.0C.7D.-

77

【答案】D

【分析】由題知4（3,4）,進而根據三角函數定義結合齊次式求解即可.

【詳解】解:令2x-6=0得x=3,故定點A為A（3,4）,

所以由三角函數定義得tan0=g,

4,j

sin0-cos6^tan-1Q1

所以----------=-------=q——=—

sin0+cos6^tan+147

—I-1

3

故選：D

4.（2022?全國?高一課時練習）已知長方形的四個頂點是A（0,0）,8（2,0）,C（2,l）,4（0,1）,一質點從A3

的中點幾沿與A8夾角為。的方向射到8c上的《后，依次反射到CD,D4和A3上的戶2，八，和巴（入射

角等于反射角）.設巴的坐標是（x,0）,若l<x<2,則tan。的取值范圍是（）

2]_

C.

5,2

【答案】C

【分析】根據題意，由利用對稱性得到角的關系為，6C=NAAO=NA4A=。，再利用三

角函數來解答，可以設=得到這些角的三角函數值關于。的關系式，再由A的坐標以及l<x<2,求

得tan。的取值范圍。

【詳解】設=ZP^B=0

則cq=l-a,

^PtP2C=ZP,P2D=ZAP4P,=e

所以tan6=~^=〃

Vtan0八=——CP,L=-l-—--a-=a

人CP?CP2

所以c8=lzg=_L-i；

aa

而tan”第

二PQ

a

=a

所以勺￡)=Q(3—)=3ci—]；

a

又tan。=

乂AP4

=------------=a

AR

2

所以——3

a

2

根據題設1<A乙<2,gpi<±-3<2

21

所以

21

即一<tan。<一

52

故選：C

【點睛】本題主要考查三角函數特別是正切函數定義的應用、解不等式等基本知識，以及對稱法、解析法

等基本數學方法的應用。

二、多選題

5.（2022?河北秦皇島?高一期末）已知點尸（見-2"）（加W0）是角a終邊上一點，則（）

A.tan?=-2B.cosa=—C.sinorcosor<0D.sincrcosa>0

5

【答案】AC

【分析】根據給定條件，利用三角函數定義求出a的正余弦及正切值即可計算判斷作答.

【詳解】因點-2m）（mX0）是角a終邊上一點，則廠=|OP|=Jn2+（-2㈤?=&|,川，

于是得tana=%=一2,A正確；

m

cosa-,當m>0時，cosa=,當加<0時，cosa=-^,B不正確；

.-2m.m-2m2.

又sma=Nj，則smac°sa=；^j,函鬲=_g<0,C正確，D不正確.

故選：AC

6.（2022?遼寧?沈陽二中高一期中）下列說法正確的是（）

A.如果a是第一象限的角，則-a是第四象限的角

B.如果a,4是第一象限的角，且a<￡,則sinavsin尸

C.若圓心角為*的扇形的弧長為乃，則該扇形面積為斗

D.若圓心角為g的扇形的弦長為46，則該扇形弧長為專

【答案】AD

【分析】由象限角的概念判斷A；舉反例判斷B；由扇形弧長、面積公式計算判斷C,D作答.

TTTF

【詳解】對于A,a是第一象限的角，即2%r<a<2k兀+=k?Z,貝卜--2kxa<-2k兀,k?Z,

22

-a是第四象限的角，A正確;

對于B,令a=-￥11-IT，/?=7￡T,a,夕是第一象限的角，且av尸，而sina=sin￡,B不正確；

66

jr134

對于C,設扇形所在圓半徑為r,則有鏟=%，解得r=3,扇形面積S=]x3x；r=3,C不正確;

25y

對于D,設圓心角為蘭的扇形所在圓半徑為/,依題意，/=一T=4,扇形弧長/=4/="，

D正確.

3sin—33

3

故選：AD

7.（2022?全國?高一課時練習）已知sinosin/7,那么下列命題正確的是（）

A.若角a、夕是第一象限角，則cosa>cos￡

B.若角a、夕是第二象限角，則tan尸〉tana

C.若角a、尸是第三象限角，則cos〃>cosa

D.若角a、夕是第四象限角，貝ljtana>tan4

【答案】BCD

【分析】利用三角函數線逐項判斷可得出合適的選項.

【詳解】設角a、B的終邊分別為射線OP、OQ.

對于A,如圖1,sin（z=MP>NQ=sin分，

此時cosa=OM,cosB=ON,OM<ON,所以cosa<cos￡,故A錯誤；

對于B,如圖2,sina=N0=sin?，

此時cosa=OM,cos￡=ON,且OM<ON,所以cos￡>cosa,故C正確；

對于D,如圖4,sina=MP>NQ=sinJ3,AB<AC,即tan/?<tana,故D正確.

故選：BCD.

三、填空題

8.(2022?江蘇鹽城?高一期末)求值：(lg5)2+lg2xIg(50)+tancos--16^25=_______.

36

【答案】2

【分析】根據對數的運算法則性質及指數累的運算化簡求值即可.

【詳解】原式=lg25+lg2x(lg5+l)+Gxt-g

2

=lg5+lg2xlg5+lg2+^-^

=lg5(lg2+lg5)+lg2+l

=lg5+lg2+l=2

故答案為：2

9.(2022?江蘇鹽城?高一期末)已知角a為第一象限角，其終邊上一點P(x,y)滿足21n(2x-y)=ln(Y+V),

則2cosa-sine=.

【答案】1

【分析】根據對數的運算及性質化簡可得3x=4y,再由三角函數的定義求解即可.

【詳解】由題意知，ln(2x-y)2=ln(x2+y2),

即(2x-y)2=x2+y2,x,y>0,

化簡得3x=4y,

2x--x

c-2x-y

則2cosa-sina=/、“4

5+天

故答案為：1

10.(2022?河北?石家莊市第十五中學高一開學考試)函數/(X)是定義在R上的偶函數且滿足

Jr134

〃x)=—/(x+m,當X￡[O，W)時，/(x)=2sinx,則/(——)+/(哼尸________.

234

【答案】0+6

【分析】由已知條件可得函數的周期，再由周期性和偶函數的性質求值.

【詳解】由題意/(X+2")=/(X+7T+m=-/(X+m=/(X),所以/(x)是周期函數，周期是2萬,

又/(X)是偶函數，

所以/(——)+(-y-)+/(—)=/lyI+/I—l=2siny+2sin—=V3+V2.

故答案為：血+石.

四、解答題

II.(2022?江西?新余市第一中學高一開學考試)如圖，在平面直角坐標系*0)，中，角a的始邊與x軸的非

負半軸重合且與單位圓相交于A(1,0)點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B,始邊不動，終邊在

運動.

4

⑴若點8的橫坐標為一不，求sina的值；

(2)若AAOB為等邊三角形，寫出與角a終邊相同的角p的集合；

(3)若，請寫出弓形AB的面積S與a的函數關系式(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成

的圖形).

、3

【答案】(l)sina=g；

(2)[⑶夕=5+2版■次ez｝；

a-sina

(3)5=

-2

【分析】(1)利用三角函數的定義直接求解；

(2)先求出角a=。，即可寫出與角a終邊相同的角A的集合；

an

(3)過。作O”,A3于H,表示出O”=cos彳，AB=2sin-,分別表示出扇形面積和三角形面積，即可

22

求出弓形4B的面積.

(1)

4

因為角a的終邊與單位圓相交于B，且點8的橫坐標為一;，因為8在x軸上方，所以8rtl-

3

由三角函數的定義，可得：sina=:

(2)

當ZkAOB為等邊三角形時，因為3在x軸上方，則8(cos0,sin。

所以a=NAO8=5,即與角a終邊相同的角尸的集合《尸|力=。+2&肛ZeZ

(3)

弓形AB的面積:S=S扇形-S?.

1zy

扇形的圓心角為a,所以S崩形=萬。*12=葭.

ryctctCt

過。作OH_LAB于H,則OH=cos—xl=cos—,AB=2OA=2sin—x1=2sin—,

2222

所以sA8=gx2si吟xcos^fina.

所以S=S“S?WTina=H^

12.(2022?山東?廣饒一中高一階段練習)如圖，在平面直角坐標系xQy中，角a的始邊與x軸的非負半軸

重合且與單位圓相交于A(l,0)點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點8,始邊不動，終邊在運動.

V

(1)若點8的橫坐標為求sine的值和與角a終邊相同的角夕的集合;

(2)若ae(0,],請寫出弓形AB的面積S與。的函數關系式(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成

rrci

的圖形).附：sincr=2sin-cos-.

22

【答案】(l)sina=3；{￡|￡=M+2Z肛ZeZ}

23

I7T

(2)S=—(a-sina),aG(0,—]

22

【分析】(1)若點8的橫坐標為根據題意求出B的縱坐標，從而求得sine的值.確定角a,寫出與

角a終邊相同的角夕的集合.

TT

(2)若。€(0,手，根據弓形A8的面積S=Sw-S3,計算求得結果.

(1)

在平面直角坐標系xO)，中，角a的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點,

它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點8,始邊不動，終邊在運動，

若點B的橫坐標為可得3的坐標為(_；當，

于是]=至+2左乃，左￡Z,

3

與角a終邊相同的角尸的集合為{夕|/=胃2萬+2A肛ZeZ};

⑵

ryCf

A03的高為Ixcos—,A