/廣東省佛山市順德區2024-2025學年高二下冊第一次月考數學試卷一?單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求得集合，利用交集的意義可求.【詳解】由題得或，，所以.故選：B．2.若函數滿足，則（）A.1 B.2 C. D.【正確答案】C【分析】根據導數的定義及已知求值即可.【詳解】由題設.故選：C3.已知等差數列的前項和為，且，則（）A.52 B.104 C.112 D.120【正確答案】A【分析】根據等差數列求和公式和下標和性質即可得到答案.【詳解】.故選：A.4.在等比數列中，，，則（）．A. B.567 C.451 D.699【正確答案】B【分析】由已知根據等比中項可得，分兩種情況利用通項公式求解即可.【詳解】因為，所以，當時，，，舍去，故，所以，即，所以.故選.5.當某種針劑藥注入人體后，血液中該藥的濃度C與時間t的關系式近似滿足其中，則血液中該藥的濃度，在時的瞬時變化率約是時的瞬時變化率的多少倍（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】對函數求導，將與代入即可求得答案.【詳解】函數求導得，將代入得，將代入得，則，故選：B6.點在曲線上，設曲線在點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】結合導數的幾何意義求出切線的斜率的取值范圍，進而根據斜率與傾斜角的關系以及傾斜角的范圍，即可求出結果.詳解】由題意得，即，又，所以，故選：D.7.若數列的前n項和滿足，則（）A.數列為等差數列 B.數列為遞增數列C.為等差數列 D.為等差數列【正確答案】D【分析】降次作差即可得到，根據等差數列的定義即可判斷A，根據數列單調性即可判B，求出相關值結合等差數列定義即可判斷CD.【詳解】當時，，當時，，∴，對于A：不滿足，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C，，,，不滿足，故C不正確；對于D：，，，三項可構成等差數列，且公差為8，故D正確；故選：D．8.某電動汽車剛上市，就引起了小胡的關注，小胡2024年5月1日向銀行貸款元用來購買該電動汽車，銀行貸款的月利率是，并按復利計息.若每月月底還銀行相同金額的貸款，到2025年4月底全部還清（即用12個月等額還款），則小胡每個月月底需要還款（）A.元 B.元 C.元 D.元【正確答案】C【分析】設小胡每月月底還款錢數為元，根據等額本息還款法可得每次還款后欠銀行貸款，即第12次還款后欠銀行貸款為，進而由等比數列的前項和公式可得，從而可得.【詳解】設小胡每月月底還款錢數為元，根據等額本息還款法可得：第1次還款后欠銀行貸款為，第2次還款后欠銀行貸款為，…，第12次還款后欠銀行貸款為，因為貸款12個月還清，所以，即，所以.故選：C.二?多選題9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】利用求導法則進行計算，對四個選項逐個判斷即可.【詳解】，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.10.已知數列滿足，是前項和，則下列說法正確的是（）A.數列是公差為的等差數列；B.當取得最大值時，；C.數列的前項和是，D.數列也是首項為9，公差為等差數列【正確答案】ABD【分析】根據等差數列的定義判斷A、D；由等差數列的和結合二次函數的性質可判斷B；利用賦值法判斷C;【詳解】由，則，所以數列是公差為的等差數列，故A對；因為數列是公差為的等差數列，所以，當時，當取得最大值時，故B對；取時，，而，故C錯由，所以，所以，且，所以數列也是首項為9，公差為等差數列，故D對；故選：ABD11.已知數列的前項和為，滿足，數列滿足，記，數列的前項和為，則下列說法正確的是（）A. B.C.若，則的最大值為8 D.滿足的最大值為8【正確答案】AC【分析】根據已知及等差數列的定義確定數列是等差數列，進而求公差并寫出判斷A；根據等比數列的定義寫出的通項公式，進而得到，應用分組求和、等比數列的前n項和公式求判斷B；首先判斷的單調性，再由不等式恒成立求的最大值判斷C；設并判斷的單調性，進而確定的最大值【詳解】對于A，因為2），所以，所以數列是等差數列，設公差為，因為，，所以，解得，所以，正確；對于B，因為，，所以，所以數列是公比為2的等比數列，所以，所以，所以，錯誤．對于C，由B知，所以恒成立，所以數列單調遞增，當時，，當時，，所以的最大值為8，正確；對于D，設，則，令，所以，當時，，即，所以當時，單調遞增，即當時單調遞增，當時，，即；當時，，即；當時，，即；當時，，即；當時，，即；當時，，即，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，因為，所以滿足，的最大值為7，錯誤．故選：AC關鍵點點睛：根據已知求出的通項公式為關鍵.三?填空題12.已知，則__________.【正確答案】【分析】由復數的除法求得復數，然后得到向量的模長.【詳解】,則，故13.曲線在點處的切線的斜率為______．【正確答案】【分析】求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求出切線的斜率.【詳解】由，求導得，則，所以所求切線的斜率為2.故2.14.已知數列滿足，則__________.【正確答案】；【分析】由題意可得，可得，兩式相減可求通項公式.【詳解】由，可得，所以，兩式相減得，所以，當時，，所以，適合上式，所以.故答案為.四?解答題15.已知等差數列的前項和為，，.（1）求數列通項公式；（2）設，求數列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）列式求解的公差，寫出等差數列通項公式，即可求解；（2）由（1）得，再利用裂項相消法求和，即可求解.【小問1詳解】設等差數列的公差為，則，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以.16.設函數，其中.（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）討論單調性；【正確答案】（1）（2）函數在上單調遞減，在上單調遞增【分析】（1）利用導數的幾何意義求出斜率，寫出方程即可.（2）含參討論函數單調性即可.【小問1詳解】當時，，故，此時函數在處的切線方程為.【小問2詳解】由題意，定義域為，，則當時，單調遞增；當時，單調遞減.故函數在上單調遞減，在上單調遞增.17.已知數列中，，．（1）求，；（2）證明：為等差數列；（3）求的前項和．【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）由題設遞推公式直接計算即可；（2）由題設遞推公式變形得，再由等差數列定義即可得證；（3）由等差數列通項公式求出數列的通項公式得的通項公式，再由錯位相減法結合等比公式前n項和即可計算求解.【小問1詳解】由題意可得，所以由.【小問2詳解】證明：因為，所以，，所以數列為首項為，公差為的等差數列.【小問3詳解】由（2）得，所以，所以的前項和，所以，所以，所以.18.如圖，在直三棱柱中，平面平面為的中點．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據面面垂直性質可得線面垂直，再由線面垂直即可得出線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角正弦值即可.【小問1詳解】如圖，在直三棱柱中，因為平面，平面，所以，又因為，所以四邊形是正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】因為平面，平面，所以.又，，平面，平面，所以平面，所以兩兩垂直，以為原點，以的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，不妨設，則，所以，設是平面的法向量，則，所以，取，則，所以是平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知等比數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在3項，，（其中，，成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【分析】（1）利用等比數列定義，根據將，代入構造方程組解得，，可得數列的通項公式；（2）假設存在，，成等比數列