/廣西壯族自治區貴港市2024-2025學年高一下冊5月月考數學試卷一、單選題1．設，其中為實數，則（

）A． B．C． D．2．已知數據，，…，的平均數為4，那么數據，，…，的平均數為（

）A． B． C．1 D．173．已知直線a，b與平面α，β，γ，能使的充分條件是（

）A．，， B．，C．， D．，，4．某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識，為了解講座效果，隨機抽取10位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則（

）A．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差B．講座前問卷答題的正確率的中位數小于C．講座后問卷答題的正確率的70百分位數是D．講座后問卷答題的正確率的平均數大于5．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的表面積為（

）A． B． C． D．6．氣象臺在早上8:00觀測到一臺風，臺風中心在氣象臺正西方向處，它正向東北方向移動，移動速度的大小為；距離臺風中心以內的地區都將受到影響.若臺風中心的這種移動趨勢不變，該氣象臺受到臺風影響的時段為（

）A． B． C． D．7．內角，，的對邊分別為，，．若，，點在邊上，并且，為的外心，則之長為（

）A． B． C． D．8．如圖，這是注入了一定量水的正方體密閉容器，現將該正方體容器的一個頂點固定在地面上，使得三條棱與水平面所成角均相等，此時水平面恰好經過的中點，若，則該水平面截正方體所得截面的面積為（

）A． B． C．4 D．二、多選題9．已知復數滿足，則（

）A．z的實部為 B．C．在復平面內對應的點位于第二象限 D．10．正方體棱長為2，直線與平面交于點為線段上的動點，則（

）A．當為中點時，三點共線 B．存在點，使C．直線與的夾角為 D．四面體的體積為定值11．如圖，在中，已知，邊上的中點為邊上的中點為，相交于點，則下列結論正確的是（

）

A．B．的內切圓的半徑為C．與夾角的余弦值為D．過點作直線交線段和于點，則的取值范圍是三、填空題12．在復平面內，向量對應的復數是，向量對應的復數是，則向量對應的復數是．13．已知向量，且，的夾角為，，則在方向上的投影向量等于.14．如圖，在多面體中，已知是邊長為2的正方形，且均為正三角形，則該多面體的體積為.四、解答題15．如圖，在正四棱柱中，，，點分別是線段，的中點．（1）求證：直線平面；（2）求點到平面的距離．16．為了了解某工廠生產的產品情況，從該工廠生產的產品中隨機抽取了一個容量為100的樣本，測量它們的尺寸（單位：），并將數據分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求圖中的x值；（2）根據頻率分布直方圖，用分層隨機抽樣的方法從，兩個區間共抽取出7個產品，則每個區間分別應抽取多少個產品；（3）記產品尺寸在內為A等品，每件可獲利6元；產品尺寸在內為不合格品，每件虧損2元；其余為合格品，每件可獲利3元．若該工廠一個月共生產2000件產品，以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達到10000元，則需要對該工廠設備實施升級改造．試判斷是否需要對該工廠設備實施升級改造．17．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側面是正三角形，平面平面，M是的中點．（1）證明：；（2）若與底面所成角的正切值為，求二面角的正弦值．18．定義函數的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數”為，其中O為坐標原點．（1）若向量的“伴隨函數”為，且，求的值；（2）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若函數的“源向量”為，且已知，，求的取值范圍．19．折紙是一項玩法多樣的活動.通過折疊紙張，可以創造出各種各樣的形狀和模型，如動物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術形式，還蘊含了豐富的數學知識.在紙片中，，，所對的邊分別為，，，的面積為，.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若，是的中點，現需要對紙片做一次折疊，使點與點重合，求折疊后紙片重疊部分的面積.

答案1．【正確答案】D【詳解】，解得.故選D.2．【正確答案】B【詳解】由題意可得，即所以.故選B.3．【正確答案】C【詳解】解：對于A選項，，，時，也可能滿足，如圖1，故錯誤；對于B選項，，時，也可能滿足，如圖2，故錯誤；對于C選項，，時，一定有，故正確；對于D選項，，，時，不一定成立，如圖3，故錯誤.故選C4．【正確答案】D【詳解】根據數據分析得到如下結果：12345678910講座前講座后對于A選項，講座前問卷答題正確率的極差為，講座后問卷答題的正確率的極差為，，所以A錯誤；對于B選項，講座前問卷答題正確率從小到大排列為：，，，，，，，，，，正確率的中位數為，B錯誤；對于C選項，講座后問卷答題的正確率從小到大排列為：，，，，，，，，，，因為，所以講座后問卷答題的正確率的70百分位數是：，所以C錯誤，對于D，講座后問卷答題的正確率的平均數為：，D正確.故選D5．【正確答案】B【詳解】由條件得到該圓錐內半徑最大的球為該圓錐的內切球，結合圖象，根據，求得內切球的半徑，結合表面積公式，即可求解.【詳解】當球為該圓錐的內切球時，此時球的半徑最大，如圖所示，又由，則圓錐的高為，設圓錐的內切球與圓錐相切于點，半徑為，則，可得，即，解得，所以該球的表面積為.故選B.6．【正確答案】B【詳解】如圖，由余弦定理，得，于是，解得或，所以，臺風從O到B用時小時，臺風從O到C用時小時.故，A點受到臺風影響的時間是早上8:00后的5小時至10小時之間，即13:00-18:00.故選B.7．【正確答案】C【詳解】由正弦定理得：，因為，所以，故，即，因為，所以，設的外接圓半徑為R，則由正弦定理得：，故，如圖，，且，因為，所以，，過點C作CH∥OB交OP的延長線于點H，則，因為，所以，，在三角形OCH中，由余弦定理得：，則，所以故選C8．【正確答案】B【詳解】在正方體中，與平面所成的角是相等的，所以水平面平行于平面，又水平面恰好經過的中點，則水平面截正方體所得的截面是過棱的中點的正六邊形，且邊長為，如圖，所以其面積.故選B9．【正確答案】AD【詳解】由題意得，A選項正確，，B選項錯誤在復平面內對應的點位于第四象限，C選項錯誤，，D選項正確.故選AD.10．【正確答案】AD【詳解】當為中點時，連接，，，如圖：明顯面面,因為直線與平面交于點，所以，面，所以面，所以，所以，三點共線.故A正確；在正方形中，，當在線段上移動時，與相交，故與不垂直，又，故不存在點，使，故B錯誤；設，故M是中點，在矩形中，，，，所以，所以,,又，故，故，正方體中，面，面，所以，又，，面，面，所以面，又面，故，又，，面，面，所以面，又面，所以，故C錯誤；正方體中，，又面，面，所以面，所以，由題意可知，為定值，點到面的距離為定值，故四面體的體積為定值，故D正確.故選AD.11．【正確答案】ACD【分析】對于A，利用余弦定理求解即可；對于B，運用等面積法可解；對于C，建立平面直角坐標系，利用向量夾角的坐標求法處理即可；對于D，設出線段的比例關系，用向量共線的條件合理轉化，消去變量求范圍即可.【詳解】對于A，在中，且，，由余弦定理得，解得，(負根舍去)，則A正確；對于B，設的內切圓的半徑為，則，即，即，解得，故B錯誤；對于C，如圖所示，

以為原點，建立平面直角坐標系，易知，，設，由兩點間距離公式得，，解得，，(負根舍去)，故，由中點坐標公式得，，故，，設與的夾角為，故，故C正確；對于D，易知由于邊上的中點為，邊上的中點為，而是兩條中線的交點，故是的重心，所以，設，，，由于在直線上，所以，即，而，所以，，故得，，所以，，故得，則，由于，則，則D正確，故選ACD.【關鍵點撥】本題D選項解題關鍵是將已知向量合理轉化，然后表示出的關系，將面積比表示為一元函數，求出范圍，進而求出數量積的范圍即可，12．【正確答案】【詳解】由向量對應的復數是，得，由向量對應的復數是，得，因此，所以向量對應的復數是.13．【正確答案】【詳解】，，，，在方向上的投影向量為.14．【正確答案】【詳解】如圖，分別過點作的垂線，垂足分別為，連接，則平面，平面將多面體分成兩個同樣的三棱錐和一個直三棱柱，因為是邊長為2的正方形，且均為正三角形，則，取的中點，連接，，，，則多面體的體積15．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）如圖，連接，因為點分別是線段，的中點，所以，因為在正四棱柱中，，所以，因為平面，平面，所以直線平面.（2）由題意得，，設點到直線的距離為，則，所以的面積，所以點到平面的距離為.16．【正確答案】（1）（2）在內抽取2個產品，在內抽取5個產品（3）需要對該工廠設備實施升級改造【詳解】（1）由，解得（2）100件樣本中，尺寸在內的樣本數為；尺寸在內的樣本數為．由分層隨機抽樣可知，在內抽取產品數為：個產品，在內抽取產品數為：個產品.即在內抽取2個產品，在內抽取5個產品.（3）由題意可得，這批產品中A等品有(件)，這批產品中不合格品有(件)，這批產品中合格品有(件)，(元)．所以該工廠生產的產品一個月所獲得的利潤為元，因為，所以需要對該工廠設備實施升級改造．17．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）在正中，因為為的中點，所以，因為平面，平面平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，且平面，所以平面，平面，所以；（2）如圖，取的中點為，連接，在正中，，因為平面平面，平面平面，所以平面，連接，則為與底面所成角，即，不妨取，，則，，所以，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，設面的一個法向量為，則由，令，則，因為面，取作為面的一個法向量，設二面角為，所以，所以，所以二面角的正弦值為.18．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）若向量的“伴隨函數”為，所以，又，即，所以，所以（2）由于函數的“源向量”為，所以，，所以，所以，在中，，，所以，即，可得，又，當