…………○…………外…………○…………裝…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………PAGEPAGE16江蘇省蘇州市吳江區2024-2025學年高二數學下學期期中試題（含解析）一、單選題（共9題；共45分）1.已知函數的定義域為，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在內的極大值有（

）A.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

4個2.已知函數的圖象在(1，f（1）)處的切線經過坐標原點，則函數y=f(x)的最小值為（

）A.

B.

C.

D.

13.若函數的極大值點與極大值分別為a，b，則（

）A.

B.

C.

D.

4.設函數，則是（

）A.

奇函數，且在上是增函數

B.

奇函數，且在上是減函數

C.

偶函數，且在上是增函數

D.

偶函數，且在上是減函數5.已知函數的定義域為，其導函數是.有，則關于x的不等式的解集為（

）A.

B.

C.

D.

6.某校開展學農活動時進行勞動技能競賽，通過初選，選甲?乙?丙?丁?戊共5名同學進行決賽，決出第1名到第5名的名次.甲?乙?丙三人去詢問成果，回答者對甲說“很缺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說“你當然不是最差的”；對丙說“甲比你好”，試從這個回答中分析這5人的名次排列依次可能出現的種類有（

）A.

24種

B.

16種

C.

18種

D.

20種7.已知，則（

）A.

-10

B.

10

C.

-45

D.

458.埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的奇妙遠遠超過了人類的想象.在埃及金字塔內有一組奇妙的數字142857，因為，…，所以這組數字又叫“走馬燈數”.該組數字還有如下發覺：，…，若從這組奇妙數字中任選3個數字構成一個三位數x，剩下的三個數字構成另一個三位數y，，將全部可能的三位數x按從小到大依次排序，則第12個三位數x為（

）A.

214

B.

215

C.

248

D.

2849.我國古代聞名的數學著作中，《周碑算經》?《九章算術》?《孫子算經》?《五曹算經》?《夏侯陽算經》?《孫丘建算經》?《海島算經》?《五經算術》?《級術》和《糾古算經》，稱為“算經十書”，某老師將其中的《周碑算經》?《九章算術》?《孫子算經》?《五經算術》?《級術》和《糾古算經》6本書分給4名數學愛好者，其中每人至少一本，則不同的安排方法的種數為（

）A.

B.

C.

D.

二、多選題（共3題；共15分）10.函數的定義域為R，它的導函數的部分圖象如圖所示，則下面結論正確的是（

）A.

在上函數為增函數

B.

在上函數為增函數

C.

在上函數有極大值

D.

是函數在區間上的微小值點11.定義在R上的函數，其導函數滿意，則下列不等關系正確的是（

）A.

B.

C.

D.

12.已知的二項綻開式中系數之和為729，則下列結論正確的是（

）A.

二項綻開式中各項二項式系數之和為

B.

二項綻開式中二項式系數最大的項為

C.

二項綻開式中無常數項

D.

二項綻開式中系數最大的項為三、填空題（共4題；共20分）13.已知函數與的圖像上存在關于原點對稱的對稱點，則實數a的取值范圍是________．14.在的綻開式中，若，則________.15.酒杯的形態為倒立的圓錐(如圖)，杯深9cm，上口寬6cm，水以的流量倒入杯中，當水深為3cm時，水上升的瞬時改變率為________.16.若函數的導函數存在導數，記的導數為．假如對x(a，b)，都有，則有如下性質：，其中n，，，…，(a，b)．若，則＝________；在銳角△ABC中，依據上述性質推斷：sinA＋sinB＋sinC的最大值為________．四、解答題（共6題；共70分）17.在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答.條件①：“綻開式中全部項的系數之和與二項式系數之和的比為64”；條件②：“綻開式中前三項的二項式系數之和為22”.問題：已知二項式，若___________(填寫條件前的序號)，（1）求綻開式中系數最大的項；（2）求中含項的系數.18.用0，1，2，3，4，5這六個數字：(最終運算結果請以數字作答)（1）能組成多少個無重復數字的四位偶數？（2）能組成多少個無重復數字且為5的倍數的四位數？（3）能組成多少個無重復數字且比1230大的四位數？19.已知綻開式的二項式系數和為512，且（1）求的值；（2）求被6整除的余數.20.已知.（1）當時，求在上的最大值；（2）當時，探討的單調性.21.已知函數.（1）求過的切線方程；（2）若在上的最大值為，求證：.22.已知函數(其中e為自然對數的底數).（1）求函數的極值；（2）當時，若恒成立，求實數b的取值范圍.

答案解析部分一、單選題（共9題；共45分）1.已知函數的定義域為，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在內的極大值有（

）A.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

4個【答案】B【考點】利用導數探討函數的單調性，利用導數探討函數的極值【解析】【解答】依據導數的圖象，可知導數有4個零點，從左向右分析，第一個零點與第四個零點左側為正右側為負，所以函數先增后減，故第一個零點與第四個零點處函數有極大值，其次個零點左側為負右側為正，故函數先減后增，其次個零點處函數有微小值，第三個零點兩側，導數值同為正，故該點不是極值點，故答案為：B

【分析】依據導函數的圖象推斷導數零點兩側的符號(先正后負)，即可求解.2.已知函數的圖象在(1，f（1）)處的切線經過坐標原點，則函數y=f(x)的最小值為（

）A.

B.

C.

D.

1【答案】C【考點】導數的幾何意義，利用導數探討函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值【解析】【解答】函數，則，且，所以，所以，解得，所以，（），，令，即，解得，令，即，解得，所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以。故答案為：C

【分析】利用求導的方法切成函數在切點處的切線的斜率，再利用切點的橫坐標求出切點的縱坐標，進而求出切點的坐標，再利用點斜式求出函數在切點處的切線方程，再利用切線經過坐標原點，結合代入法，進而求出a的值，從而求出函數的解析式，再利用求導的方法推斷函數的單調性，再利用函數的單調性求出函數的最小值。3.若函數的極大值點與極大值分別為a，b，則（

）A.

B.

C.

D.

【答案】C【考點】利用導數探討函數的單調性，利用導數探討函數的極值【解析】【解答】∵，∴或，，或，∴在單調遞增，在單調遞減，∴為極大值點，且，∴，，∴，故答案為：C.

【分析】先對函數求導，然后結合導數分析函數的單調性，進而可求函數的極大值與極大值點，從而可求.4.設函數，則是（

）A.

奇函數，且在上是增函數

B.

奇函數，且在上是減函數

C.

偶函數，且在上是增函數

D.

偶函數，且在上是減函數【答案】A【考點】復合函數的單調性，函數奇偶性的推斷，奇偶性與單調性的綜合【解析】【解答】

的定義域為而,所以為奇函數；在上，，因為在上為增函數在上為減函數，所以在上是增函數故答案為：A.

【分析】依據題意先檢驗f(-x)與f(x)的關系，然后結合復合函數單調性及奇偶性的定義進行檢驗即可推斷.5.已知函數的定義域為，其導函數是.有，則關于x的不等式的解集為（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點】函數單調性的性質，利用導數探討函數的單調性【解析】【解答】由題意，函數滿意，令，則函數是定義域內的單調遞減函數，由于，關于的不等式可化為，即，所以且，解得，不等式的解集為.故答案為：B

【分析】依據題意令，求導，結合題意可得g(x)在上單調遞減；而得到從而可得答案.6.某校開展學農活動時進行勞動技能競賽，通過初選，選甲?乙?丙?丁?戊共5名同學進行決賽，決出第1名到第5名的名次.甲?乙?丙三人去詢問成果，回答者對甲說“很缺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說“你當然不是最差的”；對丙說“甲比你好”，試從這個回答中分析這5人的名次排列依次可能出現的種類有（

）A.

24種

B.

16種

C.

18種

D.

20種【答案】C【考點】排列、組合及簡潔計數問題【解析】【解答】由題意可得，第1名不行能是甲?乙?丙，只能是丁或戊；第5名不行能是甲乙，只能是丙或丁或戊；因此可分如下三種狀況：若甲是第2名，先考慮乙，則有種狀況，再考慮丙，則有種狀況，最終排丁?戊，則有種狀況，即此時所包含的狀況有：種；若甲是第3名，當乙是第4名時，丙只能是第5名，只需考慮丁?戊的排列，此時有種狀況；當乙是第2名時，丙可以有種選擇，最終排丁?戊，則有種狀況；此時包含的狀況共有種；若甲是第4名，則丙是第5名，而乙有種選擇，最終排丁?戊，則有種狀況，；此時所包含的狀況有；綜上，從這個回答中分析這5人的名次排列依次可能出現的種類有種.故答案為：C.

【分析】依據題意可得甲乙不是最終一名或第一名，依據排列組合以及分類計數原理計算出結果即可。7.已知，則（

）A.

-10

B.

10

C.

-45

D.

45【答案】D【考點】二項式系數的性質【解析】【解答】，.故答案為：D

【分析】利用二項式的通項公式，結合已知條件代入數值計算出結果即可。8.埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的奇妙遠遠超過了人類的想象.在埃及金字塔內有一組奇妙的數字142857，因為，…，所以這組數字又叫“走馬燈數”.該組數字還有如下發覺：，…，若從這組奇妙數字中任選3個數字構成一個三位數x，剩下的三個數字構成另一個三位數y，，將全部可能的三位數x按從小到大依次排序，則第12個三位數x為（

）A.

214

B.

215

C.

248

D.

284【答案】C【考點】排列、組合及簡潔計數問題【解析】【解答】∵1,4,7,2,8,5,這六個數中，1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3組要使六個數字中隨意取出3個數字構成一個三位數，剩下的三個數字構成另一個三位數，且，所以從小到大排列為：，故第12個三位數x為248.故答案為：C

【分析】依據題意，在數字142857中，兩個數字之和為9的組合有3個，據此依次分析數字x、y的百位、十位、個位數字的狀況，即可求出.9.我國古代聞名的數學著作中，《周碑算經》?《九章算術》?《孫子算經》?《五曹算經》?《夏侯陽算經》?《孫丘建算經》?《海島算經》?《五經算術》?《級術》和《糾古算經》，稱為“算經十書”，某老師將其中的《周碑算經》?《九章算術》?《孫子算經》?《五經算術》?《級術》和《糾古算經》6本書分給4名數學愛好者，其中每人至少一本，則不同的安排方法的種數為（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點】列舉法計算基本領件數及事務發生的概率，排列、組合及簡潔計數問題【解析】【解答】依據題意，第一類，從6本書中取出3本視作一本書，連同剩余的3本安排給4個人，共有種分法，其次類，從6本書中取出2本書，再從剩余4本書中取出2本書，平均分堆后連同剩余2本，視作4本書安排給4個人，共有，由分類加法計數原理可得，不同的安排方法的種數為，故答案為：B

【分析】依據題意6本分給4名數學愛好者，每人至少一本，則把6本書為6本書為(3,1,11)和(2,2,1,1)，再安排給4名數學愛好者，再由概率的定義代入數值計算出結果即可。二、多選題（共3題；共15分）10.函數的定義域為R，它的導函數的部分圖象如圖所示，則下面結論正確的是（

）A.

在上函數為增函數

B.

在上函數為增函數

C.

在上函數有極大值

D.

是函數在區間上的微小值點【答案】A,C【考點】函數的圖象，利用導數探討函數的單調性，函數在某點取得極值的條件【解析】【解答】由圖象可知在區間和上，遞增；在區間上，遞減.所以A選項正確，B選項錯誤.在區間上，有極大值為，C選項正確.在區間上，是的微小值點，D選項錯誤.故答案為：AC

【分析】由已知條件，結合圖象即可得出導函數的性質，由此得出函數的單調性，利用函數的單調性即可求出函數的極值，對選項逐一推斷即可得出答案。11.定義在R上的函數，其導函數滿意，則下列不等關系正確的是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】A,B,D【考點】函數單調性的性質，利用導數探討函數的單調性【解析】【解答】令，則，，在上恒成立，在上單調遞增，對A，，A符合題意；對B，，B符合題意；對C，，C不符合題意；對D，，D符合題意；故答案為：ABD.

【分析】依據題意構造函數，并對其求導結合導函數的性質即可得出函數的單調性，由函數的單調性對選項逐一推斷即可得出答案。12.已知的二項綻開式中系數之和為729，則下列結論正確的是（

）A.

二項綻開式中各項二項式系數之和為

B.

二項綻開式中二項式系數最大的項為

C.

二項綻開式中無常數項

D.

二項綻開式中系數最大的項為【答案】A,B【考點】二項式定理，二項式系數的性質【解析】【解答】令，則二項綻開式系數和為，解得：；綻開式的通項公式為；對于A，由知其二項式系數和為，A符合題意；對于B，當時，二項式系數最大，則所求項為，B符合題意；對于C，令，解得：，則綻開式第5項為常數項，C不符合題意；對于D，分別令，可得綻開式為，由此可確定系數最大的項為，D不符合題意.故答案為：AB.

【分析】由題意利用二項綻開式的通項公式，再結合二項式系數的性質，對選項逐一推斷即可得出答案。三、填空題（共4題；共20分）13.已知函數與的圖像上存在關于原點對稱的對稱點，則實數a的取值范圍是________．【答案】【考點】函數的值域，奇偶函數圖象的對稱性，利用導數探討函數的單調性【解析】【解答】函數與的圖像上存在關于原點對稱的對稱點，∴方程，即在上有解，∴方程在有解．設，，且為的切線，設切點為，由得，則有，解得．由圖象可得，要使直線和的圖象有公共點，則，解得．所以實數的取值范圍是．故答案為．

【分析】由對稱性求函數解析式得：設y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關于原點對稱，由，得，利用導數探討函數的值域得：方程在有解，設對其求導結合導函數的性質即可得出函數的單調性，再數形結合法即可得出，從而求出a的取值范圍。14.在的綻開式中，若，則________.【答案】208【考點】二項式系數的性質【解析】【解答】的綻開式中含x的最高次項為，的綻開式中含x的最高次項為，所以綻開式中含x的最高次項為，所以，解得，由已知得綻開式中x的最高次為9，所以，；的綻開式中含的項為，的綻開式中含的項為，所以，的綻開式中含的項為，的綻開式中含的項為，所以，所以.故答案為：208.

【分析】由題意結合二項式項的性質先求出n的值，由此可得m的值，再利用二項綻開式的通項公式，求得的值即可.15.酒杯的形態為倒立的圓錐(如圖)，杯深9cm，上口寬6cm，水以的流量倒入杯中，當水深為3cm時，水上升的瞬時改變率為________.【答案】【考點】改變的快慢與改變率，棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】由題意，設時刻水面高為，水面圓半徑為,則可得此時水的體積為又由題設條件知，此時的水量為20t故有故有當水深為3cm，對應的時間為，則所以當水深為3cm時，水上升的瞬時改變率為故答案為：

【分析】依據題意作出如圖的圖象，建立起水面高h與時間t的函數關系，利用導數求出水面上升時的瞬時改變率即可.16.若函數的導函數存在導數，記的導數為．假如對x(a，b)，都有，則有如下性質：，其中n，，，…，(a，b)．若，則＝________；在銳角△ABC中，依據上述性質推斷：sinA＋sinB＋sinC的最大值為________．【答案】；【考點】正弦函數的圖象，正弦函數的定義域和值域【解析】【解答】解：設，，則，則，，有如下性質：．則，的最大值為，故答案為：，．【分析】構造函數，，求導，則，由正弦函數的圖象可知成立，依據函數的性質，即可求得的最大值．四、解答題（共6題；共70分）17.在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答.條件①：“綻開式中全部項的系數之和與二項式系數之和的比為64”；條件②：“綻開式中前三項的二項式系數之和為22”.問題：已知二項式，若___________(填寫條件前的序號)，（1）求綻開式中系數最大的項；（2）求中含項的系數.【答案】（1）若選條件①時，令，可得綻開式全部項的系數和為，而二項式系數和為，所以，解得，若選條件②時，由前3項的二項式系數和為22可得，解得.設綻開式中系數最大的項為第項，則滿意，即，解得，又,所以，即綻開式中系數最大的項為，

（2）在中，含項的系數為.【考點】組合及組合數公式，二項式系數的性質【解析】【分析】當選填條件①時，由題意列式求得n=6，當選填條件②時，由前3項的二項式系數和為22求得n=6.

(1)把n=6代入，可知第四項的二項式系數最大，由二項綻開式的通項得答案；

(2)把n=6代入，由第一個因式的常數項乘以其次個因式含含×2項的系數，由其次個因式的常數項乘以第一個因式含含×2項的系數，第一個因式含有x項的系數乘以其次個因式含有x項的系數，最終求和得出答案.18.用0，1，2，3，4，5這六個數字：(最終運算結果請以數字作答)（1）能組成多少個無重復數字的四位偶數？（2）能組成多少個無重復數字且為5的倍數的四位數？（3）能組成多少個無重復數字且比1230大的四位數？【答案】（1）符合要求的四位偶數可分為三類：第一類：0在個位時有個；其次類：2在個位時，首位從1，3，4，5中選定1個（有種），十位和百位從余下的數字中選（有種），于是有個；第三類：4在個位時，與其次類同理，也有個．由分類加法計數原理知，共有四位偶數：個．

（2）符合要求的數可分為兩類：個位數上的數字是0的四位數有個；個位數上的數字是5的五位數有個．故滿意條件的五位數的個數共有個．

（3）符合要求的比1230大的四位數可分為四類：第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共個；其次類：形如13□□，14□□，15□□，共有個；第三類：形如124□，125□，共有個；第四類：形如123□，共有個由分類加法計數原理知，無重復數字且比1230大的四位數共有：個．【考點】排列、組合及簡潔計數問題【解析】【分析】(1)依據題意，分狀況探討；當0在個位，2在個位，4在個位，再由分類計數原理可得；

(2)由題意看得出：5的倍數則個位數字為0或5的數，再依據分類計數原理可得；

(2)依據題意，分4種狀況探討，結合分類計數原理可得.19.已知綻開式的二項式系數和為512，且（1）求的值；（2）求被6整除的余數.【答案】（1）因為綻開式的二項式系數和為，所以，故.令，可得，令，可得，即，.

（2）明顯，綻開式除了最終2項外，其余各項都能被6整除,故綻開式被6整出的余數，即被6整除的余數為5.【考點】二項式系數的性質，整除的概念和性質【解析】【分析】(1)由題意利用二項式系數的性質，求得n的值，再分別令x=1，x=2，計算出要求式子的值即可.

(2)依據題意把依據二項式定理綻開，可得它除以6的余數.20.已知.（1）當時，求在上的最大值；（2）當時，探討的單調性.【答案】（1）解：當時，由，得，當時解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以最大值在端點處取得，又所以在上的最大值為.

（2）當時，①當時，得，得在上單調遞增，在上單調遞減.②當時，，方程的兩根為且所以，得，得即在上單調遞增，在上單調遞減.③當時，ⅰ.當，即時，在上單調遞增.ⅱ.，即時方程的兩根為且所以，得或，所以，得即在上單調遞增，在上單調遞減綜上：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增【考點】函數單調性的性質，利用導數探討函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值【解析】【分析】(1)由已知條件把