廣東省廣州市華僑外國語學校2022~2023學年上學期期末試卷

九年級數學

（時間：120分鐘滿分：120分）

注意事項：

1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試卷上直接作答。

2.作答前認真閱讀答題卡上的注意事項。

3.考試結束，由監考人員將試卷和答題卡一并收回。

一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，滿分30分.）

1.以下為2022年北京冬奧會和冬殘奧會的相關圖標，其中是中心對稱圖形的是（）.

2.拋物線y=2/經過平移得到y=2（x+I）2,則這個平移過程正確的是（）

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向上平移1個單位D.向下平移1個單位

3.四邊形ABCD是圓的內接四邊形，若/ABC=70°,則/ADC的度數是（）

A.70°B.900C.110°D.120°

4.已知關于x方程d-3x+加=0有一個根為1，則另一個根為（

B.-1

5.如圖，把△A8C繞著點A逆時針旋轉40。得到△ADE,Zl=30°,則（）

A.10°

6.下列事件中，是隨機事件的是（）.

A.拋擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數小于7

B.如果機、”都是實數，那么加+〃=〃+加

C.如果那么02<上

D.在標準大氣壓下，溫度低于0C時冰不會融化

7.如圖，已知△AO￡~A4CB,若AB=10,AC=8,AD=4,則AE的長是（）

A.4B,3.2C.20D.5

8.如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，且8O=2A￡>,CE=2AE,則下列結論中成立的是

C.DE-.BC—1：2D.S&ABC=9SMDE

9.如圖，AABC中，AB=2,AC=y/2,以點A為圓心，1為半徑的圓與相切，分別交A&AC于點

10.直線/過點（0,4）且與x軸平行，若拋物線y=（x—a）2+（x—2aY+（x—Ba）?—2/+〃S為常數）

與直線/無交點，則。的取值范圍是（）.

Aa>4B.a>0C.0<a<4D.0vav4

二、填空題（本題有6題，每小題3分，共18分）

11.已知點4卜6，1）與點8關于原點對稱，則點8的坐標為.

12.若關于x的一元二次方程一一2%+機=0有兩個不相等的實數根，則實數方的取值范圍是.

13.圓錐的底面半徑是1,高是6,則這個圓錐的側面展開圖的圓心角的度數是.

14.如圖，直線>=履+人與拋物線y=-V+2x+3交于點A3,且點A在y軸上，點8在x軸上，則不等

—X2+2x+3>kx+b解集為.

15.如圖，。。的半徑弦A5于點C,連接A。并延長交。。于點E,連接EC.若AB=8,

16.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,2）,點尸（。,0）是x軸上一動點，連接見,在以右側作

ZPAQ=60°,以鞏為半徑的OP交射線4Q于點8.當一1Wa43時，點8移動路徑的長為.

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.解方程：x（2x-5）=2x-5.

18.如圖，。是AC上一點，DE//AB,AB=ADAE.求證：7ABCEDAE.

T

AB

19.如圖在7x7的正方形網格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.

（1）將△ABC繞點B逆時針旋轉90。，畫出旋轉后得到的△AIBCI；

（2）求出旋轉過程中，線段BA掃過的圖形的面積（結果保留兀）.

20.一張圓桌旁設有4個座位，丙先坐在了如圖所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③

中的座位上.用畫樹狀圖或列表的方法，求甲與乙相鄰而坐的概率.

21.已知A產品的售價比年初上漲了60%,上漲后購買1件A產品需要80元.

（1）填空：年初購買1件A產品的價格是元；

（2）某超市將進貨價為每件65元的A產品，按80元價格出售，平均一天能銷售100件；經調查發現：A

產品的售價每下降1元，其日銷售量就增加10件，超市為了實現銷售A產品每天有1560元的利潤，并且

讓顧客盡可能得到實惠，A產品的售價應該下降多少元？

22.如圖，已知拋物線y=-x2+bx+3的對稱軸為直線x=-1,分別與x軸交于點A,B（A在B的左

側），與y軸交于點C.

（1）求b的值；

（2）若將線段BC繞點C順時針旋轉90。得到線段CD,問：點D在該拋物線上嗎？請說明理由.

23.如圖，在一個用△瓦G的內部作一個矩形ABC。，其中點A和點。分別在兩直角邊上，8c在斜邊

上,EF—30cm,FG-40cm,設AB-xcm

(1)試用含X的代數式表示A。；

(2)設矩形ABC。的面積為s,當x為何值時，s的值最大，最大值是多少？

24.如圖，在四邊形ACBD中，NACB=NADB=90°.

(1)請畫出四邊形AC8D的外接圓OO(尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)所作圖中，

①連接CO,交AB于點P，若PC?=PAPB，求證CDL43；

②設點。為&48。的內心，CQ的延長線交。。于點E,若AB=10,求QE的長.

3

25.如圖，已知拋物線＞交X軸于點A(-2,0),3(8,0),交y軸于點C.

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標；

(2)設p(x,y)為第四象限內拋物線上的一點，

①若/APB是鈍角，求X的取值范圍；

②點C關于x軸的對稱點為。，連接B。，過O,B,P三點的交線段8。于點Q,是否存在點尸，使

iBQ…BQ

得AQ+唬有最小值？若存在，請求出AQ+唬為最小值時點。的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，滿分30分.）

1.以下為2022年北京冬奧會和冬殘奧會的相關圖標，其中是中心對稱圖形的是（）.

【答案】B

【解析】

【分析】根據中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

B、是中心對稱圖形.故本選項符合題意；

C、不是中心對稱圖形.故本選項不符合題意；

D、不是中心對稱圖形.故本選項不合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查中心對稱圖形的概念.中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180。后與原圖重合.

2.拋物線y=2x2經過平移得到y=2（x+l）2,則這個平移過程正確的是（）

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向上平移1個單位D.向下平移1個單位

【答案】A

【解析】

【分析】根據拋物線的平移規律：上加下減，左加右減，即可判定.

【詳解】由題意，得平移過程為向左平移1個單位，

故選：A.

【點睛】此題主要考查拋物線的平移，熟練掌握，即可解題.

3.四邊形ABCD是圓的內接四邊形，若/ABC=70°,則/ADC的度數是（）

【答案】C

【解析】

【分析】直接根據圓內接四邊形的性質進行解答即可.

【詳解】解：?.,四邊ABCD是圓的內接四邊形，ZABC=70°,

.,.ZADC=180°-70°=110°.

故選C.

【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵.

4.已知關于x的方程V—3x+m=0有一個根為1，則另一個根為（）.

A.-2B.-1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】設出方程的另一根為人利用一元二次方程的根與系數關系直接求解即可.

【詳解】解：設方程的另一根為心

由一元二次方程的根與系數關系可得/+1=3,

解得t=2,

.?.方程的另一根為x=2,

故選：C

hc

【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數關系，熟記不+X2=-一，玉々=一是解題的關鍵?

aa

5.如圖，把△ABC繞著點A逆時針旋轉40。得到AAOE,Zl=30°,則（）

A.10°B.30°C.40°D,70°

【答案】D

【解析】

【分析】先找到旋轉角，根據進行計算.

【詳解】解：根據題意可知旋轉角NCAE=40。，所以/明￡=30。+40。=70。.

故選D.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，解題的關鍵是找準旋轉角.

6.下列事件中，是隨機事件的是（）.

A.拋擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數小于7

B.如果加、〃都是實數，那么加+〃=〃+加

C.如果那么/<〃

D.在標準大氣壓下，溫度低于0℃時冰不會融化

【答案】C

【解析】

【分析】利用隨機事件是可能發生的事件，必然事件就是一定發生的事件，即發生的概率是1的事件逐一選

項判斷即可.

【詳解】解：A、拋擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數小于7,是必然事件，不合題意；

B、如果〃?、〃為實數，那么加+〃=〃+機是一定發生的，是必然事件，不合題意；

C、如果。<匕，那么/〈尸或者或者是隨機事件，符合題意；

D、在標準大氣壓下，溫度低于0℃時冰不會融化，是必然事件，不合題意；

【點睛】該題考查的是對隨機事件、必然事件的概念的理解；解決此類問題，要學會關注身邊的事物，并

用數學的思想和方法去分析、看待、解決問題.用到的知識點為：必然事件指在一定條件下一定發生的事

件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能

發生也可能不發生的事件.

7.如圖，已知若AB=10,AC=8,AD=4,則AE的長是（）

B

A.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據相似三角形對應邊成比例直接建立等式求解即可.

AnA17

【詳解】由相似三角形的性質可得：—

ACAB

AD-AB4x101

則AE---------=-------=5

故選：D.

【點睛】本題考查相似三角形的性質，熟記相似三角形對應邊成比例是解題關鍵.

8.如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊AB、AC上，且80=240,CE^2AE,則下列結論中成立的是

A

A./\ABC^^ADEB.DE//BC

C.DE：BC—1：2D.S△ABCZ=9S故DE

【答案】ABD

【解析】

【分析】由已知條件易證。E〃BC,則△ABCs/vlOE,再由相似三角形的性質即可得到問題的選項.

【詳解】解：'：BD=2AD,CE=2AE,

?AD_AE_1

?(—―,

BDCE2

.,.DE//BC,故B正確；

.,.△ABC^AADE,故A正確；

：.DE：BC=AD：AB=\：3,故C錯誤；

...SAABC=9SAAOE故D正確，

其中成立的

故選ABD.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定和性質，證明。E〃8C是解題的關鍵.

9.如圖，AABC中，AB=2,AC=y/2,以點A為圓心，1為半徑的圓與3c相切，分別交AB,AC于點

【答案】D

【解析】

【分析】過A作A/LBC于F,根據8c與圓相切，AFLBC,可求A尸為圓的半徑，在RsABF中,

cosZBAF=-=-,求出/BAF=60°,在RoACF中，cosZCAF=—=4==—>求出/CAF=45°,

AB2ACJ22

可求/D4E=105。，利用弧長公式可求DE的長.

【詳解】解：過A作Ab，8c于F,

??,8C與圓相切，AFLBC,

???4尸為圓的半徑,

：.AF=l,

AF1

在中，cosZBAF=---=—,

AB2

ZBAF=60°f

Ap1

在RtAACF中，cosZCAF=-----=—==——

AC丘2

：.ZCAF=45°9

：.ZDAE=ZBAF+ZCAF=60°+45°=105°,

w105x^-xl71

OE的長二—777；—~n

故選擇：D.

【點睛】本題考查圓的切線性質，銳角三角函數，扇形弧長公式，掌握圓的切線性質，銳角三角函數，扇

形弧長公式是解題關鍵.

10.直線/過點(0,4)且與x軸平行，若拋物線丁=(%-0)2+(%-2?)2+(%-34)2-2/+0(a為常數)

與直線/無交點，則。的取值范圍是().

A.a>4B.a>0C.0<a<4D.0<?<4

【答案】A

【解析】

【分析】先寫出直線/的解析式，根據直線和拋物線有兩個不同的交點，由直線和拋物線解析式得出關于X

的一元二次方程，通過判別式△<(),求出a的取值.

【詳解】解：?.?直線/過點(0,4)且與x軸平行，

；?直線/為：y=4,

?.?拋物線y=(x-a)2+(x—2?)2+(x-3a)2-2a2+a(〃為常數)與直線/無交點,

(x—a)~+(x—2a)~+(x—3a)~—2n~+tz=4,

整理得，3d-125+12〃+。一4=0,

/.A=(-12?)2-4x3(12a2+tz-4)=-12?+48<0,

解得a>4,

故選：A

【點睛】本題考查二次函數的圖象與系數之間的關系，直線與拋物線的交點等知識，關鍵是對二次函數的

圖象和性質的掌握.

二、填空題(本題有6題，每小題3分，共18分)

11.已知點4卜百,1)與點8關于原點對稱，則點8的坐標為.

【答案】

【解析】

【分析】利用關于原點對稱的坐標特征直接解答即可.

【詳解】解：?.?點4卜百,1)與點B關于原點對稱，

.?.點B的坐標為(6,-1),

故答案為：(G，-i)

【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征，熟記關于原點對稱的兩個點橫、縱坐標都互為相反數

是解題的關鍵.

12.若關于x的一元二次方程/_2x+根=0有兩個不相等的實數根，則實數機的取值范圍是.

【答案】m<l

【解析】

【分析】根據分式的系數結合根的判別式A>0,即可得出關于，〃的一元一次不等式，解之即可得出，〃的

取值范圍.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程/一2%+m=0有兩個不相等的實數根，

，A=(-2)2-4xl.機>0,

解得m<\,

即m的取值范圍是m<\.

【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當A>0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵.

13.圓錐的底面半徑是1,高是則這個圓錐的側面展開圖的圓心角的度數是.

【答案】1800

【解析】

【分析】先根據勾股定理求出圓錐母線為2,進而求得展開圖的弧長，然后根據弧長公式即可求解.

【詳解】解：設圓錐的母線為。，根據勾股定理得：?=J12+(X/3)2=2,

設圓錐的側面展開圖的圓心角度數為n°,

72??2

根據題意得2兀?1=----------,解得"=180,

180

即圓錐的側面展開圖的圓心角度數為180°.

故答案為：180。.

【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.

14.如圖，直線》=丘+。與拋物線y=-x?+2x+3交于點A8,且點A在y軸上，點8在x軸上，則不等

式—X?+2x+3>Ax+b的解集為.

【答案】0<x<3

【解析】

【分析】根據函數的解析式y=-x?+2x+3,得A（0,3）,8的坐標為（3,0）,利用數形結合思想完成

解答.

【詳解】：y=-x2+2x+3,

,?-%2+2x+3=0>

解得x=3或x=-\,

...點8的坐標為（3,0）,

當k0時、y=3,

.?.點4的坐標為（0,3）,

不等式一丁+2》+3>點+6的解集為0<%<3,

故答案為：0<x<3.

【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的圖像，交點問題，解析式構造的不等式解集問題，熟練掌握函

數交點的意義，靈活運用數形結合思想是解題的關鍵.

15.如圖，的半徑。。，弦A8于點C,連接A0并延長交。。于點E,連接EC.若A3=8,

【答案】2用

【解析】

【分析】根據垂徑定理求出AC=8C，根據三角形的中位線求出BE,再根據勾股定理求出EC即可.

AE為。。直徑，

ZABE=90°,

VODA.AB,0。過O,A8=8,

/.AC=BC=-AB=4,

2

*.*AO=OE,

???。。是ziAH石的中位線，

BE=2OC,

?ZOC=3,

BE=6，

在RtACSE中，EC=yjBE2+BC2=762+42=2萬，

故答案為：2舊

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線等知識點，能根據垂徑定理求出AC=BC是

解此題的關鍵.

16.如圖，在平面直角坐標系中，已知點4（0,2）,點P（a,0）是x軸上一動點，連接附，在見右側作

ZPAQ=60°,以以為半徑的OP交射線AQ于點B.當一14。<3時，點B移動路徑的長為.

【答案】4

【解析】

【分析】連接P3,如圖所示，證得是等邊三角形.再證得點8的軌跡為一條經過點M且與AM垂

直的線段；最后證得AQ仍且△84E（SAS）,利用全等三角形的性質即可求解.

【詳解】連接P8,如圖所示，

,:PA=PB，ZPAQ=60°,

二ZWB是等邊三角形.

當點尸運動到原點。時，記點8的位置為M,如圖1所示,

當點尸在x軸上運動（尸不與。重合）時，

,ZZPAB=Z0AM=O）°,

：.ZPAO^ZBAM,

在△APO和AABM中，

AP=AB

<ZPAO=ZMAB,

AO=AM

二△APO%AABM（SAS）,

：.ZAMB=ZAOP=9^,

y

圖i|

，當點P在x軸上運動（p不與。重合）時，Z4MS為定值90°,

點B的軌跡為一條經過點M且與AM垂直的線段.

點P'（3,0）,如圖2所示,

”=3-（T）=4,

:AAPB、八408'都是等邊三角形，

AAP=AB，Af=AB',ZPAB=ZP'AB'=60°,

???ZPAP1=ZBAB'，

在AQ仍和△84〃中，

AP=AB

<NPA*NBAB',

AP'=AB'

：.APAP%ABAB（SAS）

???BB'=PP=4

...當—lWaW3時，點8移動路徑的長為4，

故答案為：4

【點睛】本題考查了軌跡、旋轉變換的性質、全等三角形的判定與性質等知識；熟練掌握旋轉變換的性

質，證明三角形全等是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.解方程：x（2x-5）=2x-5.

【答案】X|=—,X2=l

2

【解析】

分析】利用因式分解法解方程即可.

【詳解】解：（2x—5）。-1）=0

5

X\——,X2—1

2

【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是移項后利用提公因式進行因式分解.

18.如圖，。是AC上一點，DE//AB,ZB=ZDAE.求證：7ABCWDAE.

AB

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】由平行線的性質得出再由已知條件即可得出結論.

【詳解】：DE//AB,

:EDA2CAB,

又：ZB=ZDAE,

NABC^DAE.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定方法、平行線的性質；熟練掌握平行線的性質，熟記兩角相等的兩

個三角形相似是解決問題的關鍵.

19.如圖在7x7的正方形網格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.

（1）將△ABC繞點B逆時針旋轉90。，畫出旋轉后得到的△AiBG；

（2）求出旋轉過程中，線段BA掃過的圖形的面積（結果保留兀）.

13兀

作案】⑴詳見解析；⑵丁.

【解析】

【分析】（1）按照要求確定出點A、B、C繞著點B逆時針旋轉90°后的對應點Ai、B、C”然后順次連

結AiB,GA”BC1,可得△AiBG；（2）在旋轉過程中，線段BA掃過的圖形的扇形ABA”根據扇形的

面積公式即可求解；

【詳解】解：（1）如圖所示，△AIBCI即為所求；

（2）在旋轉過程中，線段BA掃過的圖形的扇形ABA”

在RlAABC中，ZACB=90°,

貝UAB=J9+4=J13,

所以扇形ABA,的面積為空三二"兀.

3604

【點睛】本題考查了旋轉作圖及扇形的面積計算，確定線段BA掃過的圖形的扇形ABAi是解決第（2）問

的關鍵.

20.一張圓桌旁設有4個座位，丙先坐在了如圖所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③

中的座位上.用畫樹狀圖或列表的方法，求甲與乙相鄰而坐的概率.

【解析】

【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，甲與乙相鄰而坐的結果有4種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

共有6種等可能的結果，其中甲與乙相鄰而坐的結果有4種，

42

.?.甲與乙相鄰而坐的概率為一=一.

63

【點睛】本題考查的是樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步

或兩步以上完成的事件.解題關鍵是正確畫出樹狀圖.

21.已知A產品的售價比年初上漲了60%,上漲后購買1件A產品需要80元.

（1）填空：年初購買1件A產品的價格是______元；

（2）某超市將進貨價為每件65元的A產品，按80元價格出售，平均一天能銷售1（）0件；經調查發現：A

產品的售價每下降1元，其日銷售量就增加10件，超市為了實現銷售A產品每天有1560元的利潤，并且

讓顧客盡可能得到實惠，A產品的售價應該下降多少元？

【答案】（1）50

（2）3

【解析】

【分析】（1）設年初購買1件A產品的價格是x元，根據上漲后的價格=年初的價格x（1+上漲率），即可

得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；

（2）設A產品的售價應該下降y元，則每日可售出（100+10y）件，根據總利潤=每件的利潤x銷售數量,

即可得出關于y的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結論.

【小問1詳解】

解：（1）設年初購買1件A產品的價格每件x元，

依題意，得：（l+60%）x=80,

解得：x=5（）.

答：年初購買1件A產品的價格每件50元.

故答案是：50；

【小問2詳解】

設A產品的售價應該下降y元，則每日可售出（100+10y）件，

依題意，得:(80-65-y)(100+10y)=1560,

整理，得：V—5y+6=0,

解得：x=2,y2=3.

???讓顧客得到實惠，

y=3.

答：A產品的售價應該下降3元.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系,

正確列出一元一次方程；(2)找準等量關系，正確列出一元二次方程.

22.如圖，已知拋物線y=-x?+bx+3的對稱軸為直線x=-1,分別與x軸交于點A,B(A在B的左

側)，與y軸交于點C.

(1)求b的值；

(2)若將線段BC繞點C順時針旋轉90。得到線段CD,問：點D在該拋物線上嗎？請說明理由.

【答案】(1)b=-2；(2)點D不在該拋物線上，見解析

【解析】

【分析】(1)根據拋物線的對稱軸公式，可求出b的值，

(2)確定函數關系式，進而求出與x軸、y軸的交點坐標，由旋轉可得全等三角形，進而求出點D的坐標,

代入關系式驗證即可.

【詳解】解：⑴：拋物線y=-x?+bx+3的對稱軸為直線*=-1,

b

?,.b=-2；

(2)當x=0時，y=3,因此點C(0,3),即OC=3,

當y=0時，即-x2+bx+3=0,解得xi=-3,X2=l,因此OB=1,OA=3,

如圖，過點D作DEJ_y軸，垂足為E,由旋轉得，CB=CD,ZBCD=90°,

,/ZOBC+ZBCO=90°=ZBCO+ZECD,

???NOBC=NECD,

AABOC^ACDE(AAS),

???OB=CE=1,OC=DE=3,

AD(-3,2)

當x=-3時，y=-9+6+3=0^2,

???點D不在該拋物線上.

【點睛】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，掌握對稱軸的求解公式以及看一個點是否在二次函數

上，只需要把點代入二次函數解析式看等式是否成立即可.

23.如圖，在一個&AEFG的內部作一個矩形ABC。，其中點A和點。分別在兩直角邊上，在斜邊

上，EF=30cm,FG=40cm,設=

（2）設矩形A3CD的面積為S,當X為何值時，$的值最大，最大值是多少？

25

【答案】（1）AD=50—一-x；（2）x=12,S最大=300刖2

【解析】

ADFM

【分析】（1）過點尸作FW_LEG于點N,交于點M，易證從而得「；=-—,

EGFN

進而即可得到答案；

（2）根據矩形的面積公式，可得s關于x的二次函數解析式，配方后，即可求解.

【詳解】（1）過點、F作FNLEG于點N,交AO于點”，

EF=30cm,FG=40cm,

EG=\lEF2+FG2=50cm，

zEFFG?

/.FN=-------=24cm，

EG

?.,四邊形ABC。是矩形，

AD//BC,

：.^AFD~AGFE,

AB=MN=xcm，

/.FM=(24-x)cm,

.ADFM

"~EG~~FN'

AD24—x

"~50~24

25

，A。=50——x；

12

25

(2)由(1)得：AD=50——x,

12

s=AO.A6=x.(50一?。?

25

即：5=一五(”一12)2+3°°'

，當x=12時，S最大=300cm2.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質與二次函數的綜合，掌握相似三角形對應邊上的高之比等

于相似比，是解題的關鍵.

24.如圖，在四邊形ACBD中，NACB=ZADB=90°.

C

AB

D

（1）請畫出四邊形AC8D的外接圓。。（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）所作圖中，

①連接CO,交A8于點P,若PC?=PA-PB，求證SLAB；

②設點Q為A4BC的內心，CQ的延長線交。。于點E,若45=10,求QE的長.

【答案】（1）圖形見解析；

（2）①證明見解析；②50.

【解析】

【分析】（1）連接AB，利用直徑所對的圓周角是直角，得到A3為四邊形ACBD外接圓O。的直徑，取

A3中點O,以Q4長為半徑作圓即可；

（2）①根據PC2=PA.P3,結合三角函數，得到NC4P=/BCP,從而得到NAPC=90°,即可證明

結論；

②連接AE、AQ、BE,根據三角形內心的性質，得到NACE=4C￡,ZCAQ=ZBAQ,再根據

弧、弦、圓周角的關系得到AE=BE,從而證明AABE是等腰直角三角形，得到

ZBAE=ZABE=45°,4E=5近，再證明NAQE=NQAE,利用等角對等邊即可求出QE得長.

【小問1詳解】

解：。。即為所求作；

PCPB

PA~PC'

tanZC4P=—,tanZBCP=—,

PAPC

tanZCAP=tan/BCP,

NCAP=/BCP,

ZACS=90°，

ZACP+ZBCP=90。,

ZACP+NC4P=90°,

.".ZAPC=90°,

：.CD±AB-

②連接AE、AQ、BE,

?.,點Q為&鉆。的內心，

ZACE^ZBCE,ZCAQ=ZBAQ,

AE=BE，

AE=BE>

為直徑，

:.ZAEB=90°,

.?.NB4E=ZABE=45。，AE2+BE2=AB2<

-.■AB=IO,

AE=5日

\-ZACB=90,

」.NACE=45。，

ZACE=NBAE=45°,

-.?ZAQE=ZCAQ+ZACE,NQAE=NBAE+NBAQ,

ZAQEZQAE,

QE=AE=572.

E

【點睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了作四邊形內接圓，特殊的三角函數，三角形內心的性質，圓的

性質，等腰三角形的額判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握三角形內心的性質和圓的相關性質是解題

關鍵.

25如圖，已知拋物線y=|x+c交無軸于點4（-2,0）,B（8,0）,交y軸于點C.

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）設P（x,y）為第四象限內拋物線上的一點，

①若NAP8是鈍角，求x的取值范圍；

②點C關于x軸的對稱點為。，連接B。，過O,B,P三點的?！敖痪€段8。于點Q,是否存在點化使

BQ-BQ

得AQ+唬有最小值？若存在，請求出AQ+唬為最小值時點。的坐標；若不存在，請說明理由.

I3

【答案】(1)y=—x~——x—4；(0(—4)

DZ1

(2)①6VJC<8；②存在點P使得AQ+表有最小值；。(2,3)；理由見解析

【解析】

【分析】(1)直接利用待定系數法求得拋物線的解析式，然后令x=0即可求得點C的坐標；

(2)①利用勾股定理的逆定理證得48=90。，利用拋物線的對稱性作