2018年四川省達州市中考數學試卷

一、單項選擇題：（每題3分，共30分）

1.（3分）2018的相反數是（）

A.2018B.-2018C.1D.一

20182018

2.（3分）二次根式A/2X+4中的x的取值范圍是（）

A.x<-2B.xW-2C.x>-2D.x2-2

3.（3分）下列圖形中是中心對稱圖形的是（）

Zl=45°,Z3=80°,則N2的度數為()

A.30°B.35°C.40°D.45°

5.（3分）下列說法正確的是（）

A."打開電視機，正在播放《達州新聞》"是必然事件

B.天氣預報"明天降水概率50%,是指明天有一半的時間會下雨"

C.甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數相同，方差分別

是$2=0.3,S2=0.4,則甲的成績更穩定

D.數據6,6,7,7,8的中位數與眾數均為7

6.（3分）平面直角坐標系中，點P的坐標為（m,n）,則向量而可以用點P的

坐標表示為0P=（m,n）；已知OA；=（Xi，Yi）?0Ao=（、2，若*的+丫1丫2=0,

則可與囚互相垂直?

下面四組向量：①西=（3,-9）,函=（1,-1）；

3

②西=（2,n°）,西=（2】，-1）；

③0D；=（cos30°,tan45°）,。［=（sin30°,tan45°）；

④西=（依+2,揚，函=（依一，&.

其中互相垂直的組有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

7.（3分）如圖，在物理課上，老師將掛在彈簧測力計下端的鐵塊浸沒于水中，

然后緩慢勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測

力計的讀數y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數關系

的大致圖象是（）

*C.0

8.（3分）如圖，△ABC的周長為19,點D,E在邊BC上，NABC的平分線垂直

于AE,垂足為N,NACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長

度為（）

至B.2C.D.3

2

9.（3分）如圖，E,F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，AE=CF=L\C.連

C

接DE,DF并延長，分別交AB,BC于點G,H,連接GH,則上嗎的值為（）

SApru

D

A.LB.2C.3D.1

234

10.（3分）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（-1,0）,與y

軸的交點B在（0,2）與（0,3）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=2.

下列結論：①abcVO；②9a+3b+c>0；③若點M（工，y］），點N（反，y2）是函

22

數圖象上的兩點，則y】Vy2；?-3.<a<-2.

55

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）受益于電子商務發展和法治環境改善等多重因素，快遞業務迅猛發

展.預計達州市2018年快遞業務量將達到5.5億件，數據5.5億用科學記數法表

示為.

12.（3分）已知am=3,an=2,則的值為.

13.（3分）若關于x的分式方程上Q-=2a無解，則a的值為.

x-33-x

14.（3分）如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A（-6,0）,C（0,

273）.將矩形OABC繞點。順時針方向旋轉，使點A恰好落在OB上的點A、處,

則點B的對應點Bi的坐標為.

1=0,n2+2n-1=0且mn#l,則如工tL的值為

n

16.（3分）如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,點D是BC邊上一點且

CD=L點P是線段DB上一動點，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt

△AOP.當P從點D出發運動至點B停止時，點。的運動路徑長為

三、解答題

17.（6分）計算：（-1）2018+（-1.）2-|2-VX2l+4sin60o；

2

18.（6分）化簡代數式：（&--匚）.1_,再從不等式組，X-2（X｝）>1的

x-1x+17x2-l[6x+10>3x+l

解集中取一個合適的整數值代入，求出代數式的值.

19.（7分）為調查達州市民上班時最常用的交通工具的情況，隨機抽取了部分

市民進行調查，要求被調查者從"A：自行車，B：電動車，C：公交車，D：家庭

汽車，E：其他"五個選項中選擇最常用的一項.將所有調查結果整理后繪制成如

下不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請結合統計圖回答下列問題.

（1）本次調查中，一共調查了名市民；扇形統計圖中，B項對應的扇形

圓心角是度；補全條形統計圖；

（2）若甲、乙兩人上班時從A,B,C,D四種交通工具中隨機選擇一種，請用

列表法或畫樹狀圖的方法，求出甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的概率.

20.（6分）在數學實踐活動課上，老師帶領同學們到附近的濕地公園測量園內

雕塑的高度.用測角儀在A處測得雕塑頂端點C的仰角為30。，再往雕塑方向前

進4米至B處，測得仰角為45。.問：該雕塑有多高？（測角儀高度忽略不計，

結果不取近似值.）

21.（7分）"綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此，越

來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價

的50%標價.已知按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7

輛獲利相同.

（1）求該型號自行車的進價和標價分別是多少元？

（2）若該型號自行車的進價不變，按（1）中的標價出售，該店平均每月可售出

51輛；若每輛自行車每降價20元，每月可多售出3輛，求該型號自行車降價多

少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？

22.（8分）已知：如圖，以等邊4ABC的邊BC為直徑作。0,分別交AB,AC

于點D,E,過點D作DFLAC交AC于點F.

（1）求證：DF是。。的切線；

（2）若等邊4ABC的邊長為8,求由殖、DF、EF圍成的陰影部分面積.

D

23.（9分）矩形AOBC中，0B=4,0A=3.分別以OB,OA所在直線為x軸，y

軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系.F是BC邊上一個動點（不與B,C重合），

過點F的反比例函數y=K（k>0）的圖象與邊AC交于點E.

X

（1）當點F運動到邊BC的中點時，求點E的坐標；

（2）連接EF,求NEFC的正切值；

（3）如圖2,將4CEF沿EF折疊，點C恰好落在邊0B上的點G處，求此時反

比例函數的解析式.

24.（11分）閱讀下列材料：

已知：如圖1,等邊aAiA2A3內接于。。，點P是三芯上的任意一點，連接PAi，

PA+PA-

PA2,PA3,可證：PA1+PA2=PA3,從而得到：.一二2一」是定值.

PA1+PA2+PA32

參考數據：如圖等腰-ABCc

中，若頂角ZA=108°,則BC上SAC；

(1)以下是小紅的一種證明方法，請在方框內將證明過程補充完整;

證明：如圖1,作NPAiM=60。，AiM交A2P的延長線于點M.

???△AiA2A3是等邊三角形,

.,.ZA3AIA2=60°,

,ZA3AIP=ZA2AIM

又A3ALA2A1，ZA1A3P=ZA1A2P,

.,.△AIA3P^AAIA2IVI

...RA3=MA2=PA2+PIVI=PA2+PA1.

,PA.+PAn1門士/七

---------J———是定值.

PA1+PA2+PA32

(2)延伸:如圖2,把(1)中條件"等邊AA1A2A3"改為"正方形A1A2A3A4”,其

PA[+PA?

余條件不變，請問:還是定值嗎？為什么？

PA]+PA2+PA3+PA4

(3)拓展:如圖3,把(1)中條件"等邊4AiA2A3"改為"正五邊形A】A2A3A4A5”，

PAj+PA

其余條件不變，則2(只寫出結果).

PAj+PAg+PAg+PA4+PA5

25.（12分）如圖，拋物線經過原點0（0,0）,點A（1,1）,點嗎，0）.

（1）求拋物線解析式；

（2）連接OA,過點A作AC_LOA交拋物線于C,連接OC,求△AOC的面積；

（3）點M是y軸右側拋物線上一動點，連接OM,過點M作MNLOM交x軸

于點N.問：是否存在點M,使以點0,M,N為頂點的三角形與（2）中的△

AOC相似，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

2018年四川省達州市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：（每題3分，共30分）

1.（3分）2018的相反數是（）

A.2018B.-2018C.1D.一二

20182018

【分析】根據相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數可得答案.

【解答】解:2018的相反數是-2018,

故選：B.

【點評】此題主要考查了相反數，關鍵是掌握相反數的定義.

2.（3分）二次根式A/2X+4中的x的取值范圍是（）

A.x<-2B.xW-2C.x>-2D.x2-2

【分析】根據被開方數是非負數，可得答案.

【解答】解：由題意，得

2x+4,0,

解得x2-2,

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開方數是非負數得出不等式

是解題關鍵.

3.（3分）下列圖形中是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心進行分析即

可.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、是中心對稱圖形，故此選項正確；

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：B.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形的定義.

4.（3分）如圖，AB〃CD,Zl=45°,Z3=80°,則N2的度數為（)

A.30°B.35°C.40°D.45°

【分析】根據平行線的性質和三角形的外角性質解答即可.

【解答】解:

VAB^CD,Zl=45°,

/.Z4=Z1=45O,

VZ3=80°,

AZ2=Z3-Z4=80°-45°=35°,

故選:B.

【點評】此題考查平行線的性質，關鍵是根據平行線的性質和三角形的外角性質

解答.

5.（3分）下列說法正確的是（）

A."打開電視機，正在播放《達州新聞》"是必然事件

B.天氣預報"明天降水概率50%,是指明天有一半的時間會下雨"

C.甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數相同，方差分別

是$2=0.3,S2=0,4,則甲的成績更穩定

D.數據6,6,7,7,8的中位數與眾數均為7

【分析】直接利用隨機事件以及眾數、中位數的定義以及方差的定義分別分析得

出答案.

【解答】解：A、打開電視機，正在播放《達州新聞》"是隨機事件，故此選項錯

誤；

B、天氣預報"明天降水概率50%,是指明天有50%下雨的可能，故此選項錯誤；

C、甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數相同，方差分別

是S2=O.3,S2=0.4,則甲的成績更穩定，正確;

D、數據6,6,7,7,8的中位數為7,眾數為：6和7,故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】此題主要考查了隨機事件以及眾數、中位數的定義以及方差的定義，正

確把握相關定義是解題關鍵.

6.（3分）平面直角坐標系中，點P的坐標為（m,n）,則向量而可以用點P的

坐標表示為0P=（m,n）；已知0A；=（xi，yi）?（X2,丫2），若xp<2+yiy2=0,

則可與可互相垂直?

下面四組向量：①函=（3,-9）,函=（1,-1）；

3

②西=（2,n°）,宣（2】，-1）；

③0D；=（cos30°,tan45°）,=（sin30°,tan45°）；

④國=（依+2,揚，函=（依"，陰

其中互相垂直的組有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

【分析】根據兩個向量垂直的判定方法一一判斷即可；

【解答】解：①?.?3X1+（-9）X（-1）=6W0,

3

二函與西不垂直?

(2)V2X2'1+n°X(-1)=0,

.■.西與麗;垂直.

③：cos30°Xsin30°+tan45°Xtan45°WO,

,可于麗;不垂直?

④???（泥+2）（粕-2）+&X乎#0,

二函與西不垂直?

故選：A.

【點評】本題考查平面向量、零指數基、特殊角的三角函數等知識，解題的關鍵

是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

7.（3分）如圖，在物理課上，老師將掛在彈簧測力計下端的鐵塊浸沒于水中，

然后緩慢勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測

力計的讀數y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數關系

的大致圖象是（）

)'個/J個y

A.^1*B.^1*C.*D.

【分析】根據題意，利用分類討論的數學思想可以解答本題.

【解答】解：由題意可知，

鐵塊露出水面以前，F技+F浮=G,浮力不變，故此過程中彈簧的度數不變，

當鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，則拉力增加，

當鐵塊完全露出水面后，拉力等于重力，

故選：D.

【點評】本題考查函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合和分類

討論的數學思想解答.

8.（3分）如圖，Z^ABC的周長為19,點D,E在邊BC上，NABC的平分線垂直

于AE,垂足為N,NACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長

度為（）

【分析】證明4BNA之Z^BNE,得到BA=BE,即4BAE是等腰三角形，同理4CAD

是等腰三角形，根據題意求出DE,根據三角形中位線定理計算即可.

【解答】解：；BN平分/ABC,BN1AE,

，NNBA=NNBE,NBNA=NBNE,

在Z\BNA和aBNE中，

'/ABN=/EBN

<BN=BN

ZANB=ZENB

/.△BNA^ABNE,

BA=BE,

.??△BAE是等腰三角形，

同理aCAD是等腰三角形，

.?.點N是AE中點，點M是AD中點（三線合一），

AMN是aADE的中位線，

VBE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,

.\DE=BE+CD-BC=5,

，MN=LDE=5.

22

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質，掌握三角形的中

位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

9.（3分）如圖，E,F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，AE=CF=L\C.連

4

接DE,DF并延長，分別交AB,BC于點G,H,連接GH,則出嗎的值為（）

SABGH

234

【分析】首先證明AG：AB=CH：BC=1：3,推出GH〃BC,推出△BGHSABAC,

可得$△他￡=$會怨￡=（地）2=（3.）2=旦，5仝蛆g二二由此即可解決問題.

2ABGH^ABGHBG24SAADC3

【解答】解：二?四邊形ABCD是平行四邊形

/.AD=BC,DC=AB,

VAC=CA,

.,.△ADC^ACBA,

??SZ\ADC=SAABC，

VAE=CF=XAC,AG〃CD,CH〃AD,

4

；.AG：DC=AE：CE=1：3,CH：AD=CF：AF=1：3,

AAG：AB=CH：BC=1：3,

，GH〃BC,

/.△BGH^ABAC,

?SAADCSABAC（BA）2=（J_）2=,

2ABGH2ABGHBG24

?.SAADG_1

?------^—9

2AADC3

S

?AADG^9x13

^ABGH434

故選：c.

【點評】本題考查平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的

判定和性質、等高模型等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于

中考選擇題中的壓軸題.

10.（3分）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（-1,0）,與y

軸的交點B在（0,2）與（0,3）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=2.

下列結論：①abcVO；②9a+3b+c>0；③若點M（_L,y］），點N（3,y2）是函

22

數圖象上的兩點，則丫1〈丫2；④-WvaV-2.

55

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據二次函數的圖象與系數的關系即可求出答案.

【解答】解：①由開口可知：a<0,

二對稱軸x=_L>0,

2a

.,.b>0,

由拋物線與y軸的交點可知：c>0,

?*.abc<0,故①正確；

②?.?拋物線與x軸交于點A（-1,0）,

對稱軸為x=2,

...拋物線與x軸的另外一個交點為（5,0）,

?..x=3時，y>0,

9a+3b+c>0,故②正確；

③由于Lv2〈”，

22

且（9,丫2）關于直線x=2的對稱點的坐標為（3,丫2），

22

??1/3

22

/.yi<y2,故③正確，

④：_X=2,

2a

??b-—4a,

Vx=-1,y=0,

/.a-b+c=O,

c=-5a,

V2<c<3,

A2<-5a<3,

--<a<-—,故④正確

55

故選：D.

【點評】本題考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟練運用圖象與系數的

關系，本題屬于中等題型.

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）受益于電子商務發展和法治環境改善等多重因素，快遞業務迅猛發

展.預計達州市2018年快遞業務量將達到5.5億件，數據5.5億用科學記數法表

示為5.5X108.

【分析】科學記數法的表示形式為aX1011的形式，其中|a|V10,n為整數.確

定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點

移動的位數相同.當原數絕對值>10時，n是正數；當原數的絕對值VI時，n

是負數.

【解答】解：5.5億=550000000=5.5X108,

故答案為：5.5X108.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aXlO。的

形式，其中lW|a|V10,n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

12.(3分)已知am=3,an=2,則a2mn的值為45.

【分析】首先根據事的乘方的運算方法，求出a2m的值；然后根據同底數累的除

法的運算方法，求出a2mn的值為多少即可.

【解答】解：Vam=3,

a2m=32=9,

_2mc

Aa2m-n=a^9^45.

n9

a乙

故答案為：4.5.

【點評】此題主要考查了同底數嘉的除法法則，以及累的乘方與積的乘方，同底

數基相除，底數不變，指數相減，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①底

數aWO,因為0不能做除數；②單獨的一個字母，其指數是1,而不是0；③應

用同底數幕除法的法則時，底數a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底

數是什么，指數是什么.

13.(3分)若關于x的分式方程上3=2a無解，則a的值為1或0.

x-33-x2

【分析】直接解分式方程，再利用當l-2a=0時，當l-2aW0時，分別得出答

案.

【解答】解：去分母得：

x-3a=2a(x-3),

整理得：(1-2a)x=-3a,

當l-2a=0時，方程無解，故2=上；

2

當l-2aW0時，x=:?3時，分式方程無解，

l-2a

則a=l,

故關于x的分式方程上+至2a無解，則a的值為：1或1.

x-33-x2

故答案為：1或

2

【點評】此題主要考查了分式方程的解，正確分類討論是解題關鍵.

14.(3分)如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A(-6,0),C(0,

273).將矩形OABC繞點。順時針方向旋轉，使點A恰好落在OB上的點A1處,

【分析】連接OBi，作B1H1OA于H,證明△AOBg^HBQ,得至BiH=OA=6,

OH=AB=2炳，得到答案.

【解答】解：連接OBi，作BiHLOA于H,

由題意得，0A=6,AB=OC-2M,

則tanNB0A=>^1,

0A3

，NBOA=30°,

/.ZOBA=60",

由旋轉的性質可知，ZBiOB=ZBOA=30°,

，，NBQH=60°,

在AAOB和△HBiO,

'/BiHO=NBAO

-ZB^ZABO,

OB^OB

/.△AOB^AHBiO,

.*.BIH=0A=6,0H=AB=2我，

.?.點Bi的坐標為（-2我，6）,

故答案為：（-2?,6）.

【點評】本題考查的是矩形的性質、旋轉變換的性質，掌握矩形的性質、全等三

角形的判定和性質定理是解題的關鍵.

15.（3分）已知：m?-2m-1=0,n2+2n-1=0且mnWl,則鳴蛆的值為3.

n

【分析】將n2+2n-1=0變形為3-2-1=0,據此可得m,■!是方程x2-2x-1=0

n2nn

的兩根，由韋達定理可得m+l_=2,代入m+n+1=m+：l+L可得.

nnn

【解答】解:由1?+2|1-1=0可知nWO.

/.1+2.-

nn2

-1=0,

n2n

又m?-2m-1=0,且mnWl,即

n

m,是方程x2-2x-1=0的兩根.

n

m+工=2.

??.im+n+l=m+l+4+l=3,

nn

故答案為：3.

【點評】本題主要考查根與系數的關系，解題的關鍵是將方程變形后得出m,1

n

是方程x2-2x-1=0的兩根及韋達定理.

16.（3分）如圖，RtZiABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,點D是BC邊上一點且

CD=1,點P是線段DB上一動點，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt

△AOP.當P從點D出發運動至點B停止時，點。的運動路徑長為

D

,4^--r--------------------------B

o

【分析】過0點作OE±CA于E,OF±BC于F,連接CO,如圖，易得四邊形OECF

為矩形，由AAOP為等腰直角三角形得到OA=OP,NAOP=90。，則可證明AOAE

四△OPF,所以AE=PF,OE=OF,根據角平分線的性質定理的逆定理得到CO平分

NACP,從而可判斷當P從點D出發運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條

線段，接著證明CE=L(AC+CP),然后分別計算P點在D點和B點時0C的長，

2

從而計算它們的差即可得到P從點D出發運動至點B停止時，點0的運動路徑

長.

【解答】解：過。點作OELCA于E,OF_LBC于F,連接CO,如圖，

???△AOP為等腰直角三角形，

/.OA=OP,ZAOP=90°,

易得四邊形OECF為矩形，

/.ZEOF=90°,CE=CF,

/.ZAOE=ZPOF,

.?.△OAE義△OPF,

，AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

...當P從點D出發運動至點B停止時，點0的運動路徑為一條線段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

.?.CE=L(AC+CP),

2

AOC=^/2CE=^1(AC+CP),

2_

當AC=2,CP=CD=1時，OC=^X(2+1)

22

當AC=2,CP=CB=5時，0C=2Zlx(2+5)

22_

.?.當P從點D出發運動至點B停止時，點0的運動路徑長=迤-當

22

故答案為2&.

【點評】本題考查了軌跡:靈活運用幾何性質確定圖形運動過程中不變的幾何量,

從而判定軌跡的幾何特征，然后進行幾何計算.也考查了全等三角形的判定與性

質.

三、解答題

17.(6分)計算：(-1)2018+(--2-|2-Vi2l+4sin60o；

【分析】本題涉及乘方、負指數累、二次根式化簡、絕對值和特殊角的三角函數

5個考點.在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法

則求得計算結果.

【解答】解：原式=1+4-(273-2)+4X返，

2

=1+4-2^/^-2+2-/3>

=7.

【點評】本題主要考查了實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題

型.解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數指數幕、零指數辱、二次根式、絕對

值等考點的運算.

x-2(x-l)的

18.(6分)化簡代數式:3x_x、x再從不等式組

x-lx+1**2_]6x+10>3x+l

解集中取一個合適的整數值代入，求出代數式的值.

【分析】直接將=去括號利用分式混合運算法則化簡，再解不等式組，進而得出

X的值，即可計算得出答案.

【解答】解：原式=^X(x+1)(X-1)-上x(x+1)(X-1)

x-lxx+1X

=3(x+1)-(x-1)

=2x+4,

(x-2(x_l)①

(6x+10>3x+l②’

解①得：xWl,

解②得：x>-3,

故不等式組的解集為：-3<xWl,

把x=-2代入得：原式=0.

【點評】此題主要考查了分式的化簡求值以及不等式組解法，正確掌握分式的混

合運算法則是解題關鍵.

19.(7分)為調查達州市民上班時最常用的交通工具的情況，隨機抽取了部分

市民進行調查，要求被調查者從"A：自行車，B：電動車，C：公交車，D：家庭

汽車，E：其他"五個選項中選擇最常用的一項.將所有調查結果整理后繪制成如

下不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請結合統計圖回答下列問題.

(1)本次調查中，一共調查了2000名市民;扇形統計圖中，B項對應的扇

形圓心角是54度:補全條形統計圖；

(2)若甲、乙兩人上班時從A,B,C,D四種交通工具中隨機選擇一種，請用

列表法或畫樹狀圖的方法，求出甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的概率.

【分析】(1)根據D組的人數以及百分比，即可得到被調查的人數，進而得出C

組的人數，再根據扇形圓心角的度數=部分占總體的百分比X360。進行計算即可;

(2)根據甲、乙兩人上班時從A、B、C、D四種交通工具中隨機選擇一種畫樹

狀圖或列表，即可運用概率公式得到甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的

概率.

【解答】解：（1）本次調查的總人數為500^25%=2000人，扇形統計圖中，B

項對應的扇形圓心角是360°X300=54°,

（2）列表如下:

ABCD

A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)

由表可知共有16種等可能結果，其中甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班

的結果有4種，

所以甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的概率為幺L.

164

【點評】此題考查了條形統計圖、扇形統計圖和概率公式的運用，解題的關鍵是

仔細觀察統計圖并從中整理出進一步解題的有關信息，條形統計圖能清楚地表示

出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

20.（6分）在數學實踐活動課上，老師帶領同學們到附近的濕地公園測量園內

雕塑的高度.用測角儀在A處測得雕塑頂端點C的仰角為30。，再往雕塑方向前

進4米至B處，測得仰角為45。.問：該雕塑有多高？（測角儀高度忽略不計,

結果不取近似值.）

【分析】過點C作CDLAB,設CD=x,由NCBD=45°知BD=CD=x米，根據tanA=&^

AD

列出關于x的方程，解之可得.

【解答】解：如圖，過點C作CD_LAB,交AB延長線于點D,

VZCBD=45°,ZBDC=90°,

BD=CD=x米，

,/ZA=30°,AD=AB+BD=4+x,

；.tanA@,即叵上，

AD34+x

解得：x=2+2畬，

答：該雕塑的高度為（2+2代）米.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解題的關鍵是根據

題意構建直角三角形，并熟練掌握三角函數的應用.

21.（7分）“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此，越

來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價

的50%標價.已知按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7

輛獲利相同.

(1)求該型號自行車的進價和標價分別是多少元？

(2)若該型號自行車的進價不變，按(1)中的標價出售，該店平均每月可售出

51輛；若每輛自行車每降價20元，每月可多售出3輛，求該型號自行車降價多

少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？

【分析】(1)設進價為x元，則標價是1.5x元，根據關鍵語句：按標價九折銷

售該型號自行車8輛的利潤是1.5XX0.9X8-8x,將標價直降100元銷售7輛獲

禾I」是(1.5x-100)X7-7x,根據利潤相等可得方程1.5xX0.9X8-8x=(1.5x-

100)X7-7x,再解方程即可得到進價，進而得到標價；

(2)設該型號自行車降價a元，利潤為w元，利用銷售量X每輛自行車的利潤

=總利潤列出函數關系式，再利用配方法求最值即可.

【解答】解：(1)設進價為x元，則標價是1.5x元，由題意得：

1.5xX0.9X8-8x=(1.5x-100)X7-7x,

解得:x=1000,

1.5X1000=1500(元),

答：進價為1000元，標價為1500元；

(2)設該型號自行車降價a元，利潤為w元，由題意得：

w=(51+^-X3)(1500-1000-a),

20

=-A(a-80)2+26460,

20

?；-A<0,

20

.,.當a=80時，wji大=26460,

答：該型號自行車降價80元出售每月獲利最大，最大利潤是26460元.

【點評】此題主要考查了二次函數的應用，以及元一次方程的應用，關鍵是正確

理解題意，根據已知得出w與a的關系式，進而求出最值.

22.(8分)已知：如圖，以等邊aABC的邊BC為直徑作。0,分別交AB,AC

于點D,E,過點D作DF_LAC交AC于點F.

(1)求證：DF是。0的切線；

（2）若等邊4ABC的邊長為8,求由笳、DF、EF圍成的陰影部分面積.

【分析】（1）連接CD、0D,先利用等腰三角形的性質證AD=BD,再證0D為4

ABC的中位線得DO〃AC,根據DF±AC可得；

（2）連接0E、作OG_LAC,求出EF、DF的長及NDOE的度數，根據陰影部分面

積=5Hi?EFDO-SS?DOE計算可得.

【解答】解：（1）如圖，連接CD、0D,

TBC是。0的直徑，

.,.ZCDB=90°,即CDLAB,

又???△ABC是等邊三角形,

，AD=BD,

BO=CO,

.?.DO是aABC的中位線，

，OD〃AC,

VDF1AC,

/.DF±OD,

，DF是。。的切線;

（2）連接0E、作OGJ_AC于點G,

，ZOGF=ZDFG=ZODF=90°,

，四邊形OGFD是矩形,

，FG=OD=4,

VOC=OE=OD=OB,且NCOE=/B=60°,

.,.△OBD和AOCE均為等邊三角形，

/.ZBOD=ZCOE=60o,CE=OC=4,

.?.EG=1CE=2>DF=OG=OCsin60°=2j5，ZDOE=60°,

2

/.EF=FG-EG=2,

則陰影部分面積為S梯形EFDO-S崩形DOE

9

=Lx（2+4）X2a-.迎叮

2360

=6?-等.

o

【點評】本題主要考查了切線的判定與性質，等邊三角形的性質，垂徑定理等知

識.判斷直線和圓的位置關系，一般要猜想是相切，再證直線和半徑的夾角為

90。即可.注意利用特殊的三角形和三角函數來求得相應的線段長.

23.（9分）矩形AOBC中，0B=4,0A=3.分別以OB,0A所在直線為x軸，y

軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系.F是BC邊上一個動點（不與B,C重合），

過點F的反比例函數y=K（k>0）的圖象與邊AC交于點E.

（1）當點F運動到邊BC的中點時，求點E的坐標；

（2）連接EF,求NEFC的正切值；

（3）如圖2,將4CEF沿EF折疊，點C恰好落在邊OB上的點G處，求此時反

比例函數的解析式.

【分析】（1）先確定出點C坐標，進而得出點F坐標，即可得出結論;

(2)先確定出點F的橫坐標，進而表示出點F的坐標，得出CF,同理表示出CF,

即可得出結論；

(3)先判斷出△EHGSAGBF,即可求出BG,最后用勾股定理求出k,即可得出

結論.

【解答】解：(1)V0A=3,0B=4,

AB(4,0),C(4,3),

是BC的中點，

，F(4,3),

2

???F在反比例函數圖象上，

X

k=4X3=6,

2

...反比例函數的解析式為y=l,

X

點的坐標為3,

AE(2,3)；

(2)..嚇點的橫坐標為4,

/.F(4,K),

4

/.CF=BC-BF=3-H2-k

44

VE的縱坐標為3,

：.E(K,3),

3

CE=AC-AE=4-

33

在RtZ\CEF中，tanNEFC=S^q,

CF3

(3)如圖，由(2)矢口，CF=1^ZL,CE=12JL,%J,

43CF3

過點E作EHLOB于H,

，EH=OA=3,ZEHG=ZGBF=90°,

，NEGH+NHEG=90°,

由折疊知，EG=CE,FG=CF,ZEGF=ZC=90°,

.,.ZEGH+ZBGF=90°,

/.ZHEG=ZBGF,

VZEHG=ZGBF=90°,

.,.△EHG^AGBF,

；iEH_EG-CE；

，，BG^FG^CF，

?34

??11■,

BG-3

BG=X

4

在Rt^FBG中，FG2-BF2=BG2,

(12-k)2-(K)2=坦，

4416

?k,21

8

【點評】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，中點坐標公式，相

似三角形的判定和性質，銳角三角函數，求出CE：CF是解本題的關鍵.

24.（11分）閱讀下列材料：

已知：如圖1,等邊aAiA2A3內接于。。，點P是京石上的任意一點，連接PA1，

PA2,PA3,可證：PAI+PA2=PA3,從而得到：一々「八一.」是定值.

PAj+PA2+PA32

(1)以下是小紅的一種證明方法，請在方框內將證明過程補充完整;

證明：如圖1,作NPAiM=60。，AiM交A2P的延長線于點M.

?..△AiA2A3是等邊三角形,

.,.ZA3A1A2=60°,

ZA3AIP=ZA2AIM

又A3AFA2A1，NA]A3P=NA1A2P,

.,.△AIA3P^AAIA2M

...PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.

PAl+PAn1口占任

--------i——&—是定值.

PA1+PA2+PA32

(2)延伸:如圖2,把(1)中條件"等邊AA1A2A3"改為"正方形A1A2A3A4”,其

pA4-PA

余條件不變，請問:——12——還是定值嗎？為什么？

PA]+PA2+PA3+PAq

(3)拓展：如圖3,把(1)中條件"等邊AAIA2A3"改為“正五邊形AiA2A3A4A人,

PAi+PAT)2

其余條件不變，則2(只寫出結果).

PA]+PA2+PA3+PA4+PA5~~8

PA[+PA2

【分析】(2)結論:是定值.在AP上截取AH=AP,連接

PA]+PA2+PA3+PA442

HAi.想辦法證明PA4=A4+PH=PA2+V^A1,同法可證：PA3=PAI+揚A2,推出(&+1)

(PA1+PA2)=PA3+PA4,可得PAI+PAZ=(&-1)(PA3+PA4),延長即可解決問題；

+PA

(3)結論:貝°------PA12-------—產.如圖3-1中，延長PA1至U

8

PA1+PA2+PA3+PA4+PA5

H,使得AIH=PA2，連接A4H,A4A2，A4A1.由△HA4AW^PA4A2,可得4Hp是

頂角為36。的等腰三角形，推出PH=?-lpA4,即PAi+PA2=Yi2LpA4，如圖3-2

22

中，延長PAs到H,使得ASH=PA3.同法可證：4A4Hp是頂角為108。的等腰三角

形，推出PH=逅且PA,，即PA5+PA3=Y^LPA4,延長即可解決問題；

22

【解答】解：(1)如圖1,作NPAiM=60。，AiM交A2P的延長線于點M.

S高

???△AiA2A3是等邊三角形,

，ZA3AIA2=60°,

.,.ZA3A1P=ZA2A1M

又A3ALA2A1，ZA1A3P=ZA1A2P,

.,.△AIA3P^AAIA2M

.*.PA3=MA2,

VPM=PA1，

RA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.

PAJ+PA2]

是定值.

PA|+PA2+PA32

PA]+PA2

(2)結論:是定值.

PAj+PA2+PA3+PAq

理由：在A4P上截取AH=A2P,連接HA1.

???四邊形AiA2A3A4是正方形，

:.AdAi=A2Al>

VZA1A4H=ZA1A2P,A4H=A2P,

.,.△A1A4H=AA1A2P,

，A1H=PA1，ZA4A1H=ZA2A1P,

.?.ZHAIP=ZA4A1A2=90°

.?.△HAIP的等腰直角三角形，

5

，PA4=A4+PH=PA2+V3AI，

同法可證：PA3=PA1+揚A2，

...（揚1）（PAI+PA2）=PA3+PA4,

...PA1+PA2=（&-1）（PA3+PA4）,

.PA1+PA2

PA]+PA2+PA3+PAq2

（3）結論：則-------PA1+PA2-------------=蟲T）；

PA1+PA2+PA3+PA4+PA58

理由：如圖3-1中，延長PAi到H,使得AIH=PA2，連接A4H,A4A2，A4Al.

由AHA4Al絲Z\PA4A2，可得AA4Hp是頂角為36。的等腰三角形,

PH=^ZLPA4,即PAI+PA2=2/IZLPA4，

22

如圖3-2中，延長PA5到H,使得A5H=PA3.

H

S.

同法可證：4Hp是頂角為108。的等腰三角形,

+1

APH=^PA4,即PAS+PA3=^^-PA4，

22

..________PA]+PA2=（粕⑴2

PA[+PA2+PA3+PA4+PA58

故答案為（證-1）、

8

【點評】本題考查圓綜合題、正方形的性質、正五邊形的性質、全等三角形的判

定和性質等正整數，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問

題，屬于中考壓軸題.

25.（12分）如圖，拋物線經過原點。（0,0）,點A（1,1）,點吧，0）.

（1）求拋物線解析式；

（2）連接OA