專練12四邊形中有關(guān)角的計(jì)算問題

1.如圖1,在△ABC中，/ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)

作正方形ADEF.

圖1圖2

圖3

（1）如果AB=AC,ZBAC=90°,

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2,線段BD、CF的數(shù)量關(guān)系為_▲一，線段BD、CF

所在直線的位置關(guān)系為一▲一；

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立?并說明理由；

（2）如果ABWAC,NBAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)NACB=。時(shí)，CF1BC（點(diǎn)C、F不

重合）.

【答案】（1）①BD=CF；BDXCF；

②解：②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.

由正方形ADEF得AD=AF,ZDAF=90°,

/BAC=90°,

二ZDAF=ZBAC,

.\ZDAB=ZFAC,

又：AB=AC,

AADAB^AFAC,

，CF=BD,ZACF=ZABD.

VZBAC=90°,AB=AC,

NABC=45。，

NACF=45°,

NBCF=NACB+NACF=90度.

即CF±BD.

(2)45

【解析】解：(I)①正方形ADEF中，AD=AF,

ZBAC=ZDAF=90°,

.?.NBAD=/CAF,

又；AB=AC,

.,.△DAB^AFAC,

，BD=CF,ZB=ZACF=45°,

/.ZACB+ZACF=90°,即BD_LCF,

故答案為：BD=CF；BD1CF

(2)當(dāng)NACB=45。時(shí)，CF±BD(如圖).

理由：過點(diǎn)A作AGLAC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

則NGAC=90。，

VZACB=45°,ZAGC=900-ZACB,

，NAGC=90°-45°=45°,

?,.ZACB=ZAGC=45°,

；.AC=AG,

VZDAG=ZFAC(同角的余角相等)，AD=AF,

/.△GAD^ACAF,

ZACF=ZAGC=45°,

NBCF=ZACB+/ACF=450+45°=90°,即CF1BC.

2.已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D',^BAD=AB'A'D',起始位置點(diǎn)A在邊A'B'上，點(diǎn)B在

A'B'所在直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)B'在點(diǎn)A'的右側(cè)，連接AC和A'C,將菱形ABCD以

A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<180°).

(1)如圖1,若點(diǎn)A與4'重合，且/.BAD=/.B'A'D'=90°,求證：BB'=DD'；

D'C

M是A'C上一點(diǎn)，當(dāng)MA'=MA時(shí)，連接BM和A'C,BM和A'C

所在直線相交于點(diǎn)P；

①如圖2,當(dāng)/.BAD=Z.B'A'D'=90°時(shí),請(qǐng)猜想線段BM和線段A'C的數(shù)量關(guān)系及乙BPC的度數(shù);

②如圖3,當(dāng)A.BAD=AB'A'D'=60°時(shí),請(qǐng)求出線段BM和線段A'C的數(shù)量關(guān)系及乙BPC的度數(shù);

③在②的條件下，若點(diǎn)A與A'B'的中點(diǎn)重合，A'B'=4,AB=2,在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P與

點(diǎn)M重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM的長(zhǎng).

【答案】（1）證明：如圖1,在菱形ABCD和菱形A舊，CD，中，；/8人口=/8貿(mào)17=90。,

四邊形ABCD,四邊形AB，CD都是正方形,

VZDAB=ZD,AB,=90°,

NDAD'=NBAB',

VAD=AB,AD'=AB',

.".△ADD^ABAB'(SAS),

???DD'=BB'；

(2)解：①解：如圖2中，結(jié)論：AC=y/2BM,NBPC=45。；

理由：設(shè)AC交BP于O,

?/四邊形ABCD,四邊形ABCD都是正方形,

???NMA，A=NDAC=45。，

???ZArAC=ZMAB,

,:MA'=MA,

/.ZMA'A=ZMAA'=45°,

???/AMA，=90。，

：4N=V2AM,

VAABC是等腰直角三角形，

VAC=V2AB,

.AA，ACr~—

?--=-=V2,

AMABv

VZA/AC=ZMAB,

/.△AA'C^AMAB,

A，CAZr-r

—=—=v2NA'CA=NABM,

BMAMv

，A'C=V2BM,

VZAOB=ZCOP,

/.ZCPO=ZOAB=45°,即/BPC=45°；

②解：如圖3中，設(shè)AC交BP于O,

A

圖3

在菱形ABCD和菱形AB,CTT中，YNBAD=NB，ATr=60。,

???NC'A'B'=NCAB=30。，

???NA，AC=NMAB,

VMAr=MA,

???ZMA'A=ZMAAz=30°,

:?\N=qAM,

在△ABC中，VBA=BC,ZCAB=30°,

???AC=QAB,

.AA，AC_r—

*'AM-AB-'

VZA,AC=ZMAB,

.?.△A'ACs/XMAB,

：.—=—=yT,NACA-/ABM,

BMAMv3

:.NC=QBM,

VZAOB=ZCOP,

/.ZCPO=ZOAB=30°,即/BPC=30。；

③如圖4中，過點(diǎn)A作AH，A，C于H,

圖4

由題意AB=BC=CD=AD=2,可得AC=口AB=2亳，

在RtaA'AH中，A'H=|AA'=1,A'H=在AH="，

在RtAAHC中，CH=VAC2-AH2=1(2^)2.12=京，

，A，C=AH+CH="+傷，

由②可知，HC=QBM,

.*.BM=1+伍.

3

3.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,乙4BC=60°,點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，線段CE的垂

直平分線交BD,CE分別于點(diǎn)EG,AE,EF的中點(diǎn)分別為M,N.

(1)求證：AF=EF；

(2)求MN+NG的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在4B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙CEF的大小是否變化？為什么？

：FG垂直平分CE,

/.CF=EF,

?.?四邊形ABCD為菱形，

二A和C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱,

；.CF=AF,

；.AF=EF：

(2)解：連接AC,

DC

VM和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，

AMN=-AF,NG=-CF,即MN+NG=-(AF+CF),

222

當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O重合時(shí)，

AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小，

,菱形ABCD邊長(zhǎng)為1,ZABC=60°,

AABC為等邊三角形，AC=AB=1,

即MN+NG的最小值為|；

(3)解：不變，理由是：

VNEGF=90。，點(diǎn)N為EF中點(diǎn),

，GN=FN=EN,

VAF=CF=EF,N為EF中點(diǎn),

，MN=GN=FN=EN,

.,.△FNG為等邊三角形，

即NFNG=60。，

VNG=NE,

二ZFNG=ZNGE+ZCEF=60°,

AZCEF=30°,為定值.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(6,a),B(b,0),M(0,c),P點(diǎn)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且(b-2)2+|a

-6|+Vc—6—0.

(2)當(dāng)P點(diǎn)在線段0M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一個(gè)點(diǎn)P使SAPAB=gSmj彩AMOB，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)不論P(yáng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線0M上的任何位置(不包括點(diǎn)O、M),NPAM、/APB、NPBO三者之間是否

都存在某種固定的數(shù)量關(guān)系，如果存在，請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)找出并證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)解：：(b-2)2+|a-6|+4二=0，

又,.?(b-2)2,>0,|a-6|>0,>0,

.\a=6,b=2,c=6.

AM(0,6),B(2,0),A(6,6),

AS四邊形AMOB=\?(2+6)?6=24

(2)解：存在.設(shè)P(0,m).

PAB=1S四邊形AMOB,四邊形AMOB是直角梯形，

24--,m?2--,(6-m)?6=-x24,

223

m=1,

：.P(0,1).

(3)解：①如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段OM上時(shí)，結(jié)論：ZAPB-ZPBO=ZPAM；

圖2-1

理由：作PQ〃AM,則PQ〃AM〃ON,

AZ1=ZPAM,Z2=ZPBO,

???Z1+Z2=ZPAM+ZPBO,

即ZAPB=ZPAM+ZPBO,

ZAPB-ZPBO=ZPAM；

②如圖2-2中所示，當(dāng)點(diǎn)P在MO的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論：ZAPB+ZPBO=ZPAM.

圖2-2

理由：VAM/7OB,

AZPAM=Z3,

VZ3=ZAPB+ZPBO,

JNAPB+/PBO=ZPAM.

③如圖2-3中，當(dāng)點(diǎn)P在OM的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論：NPBO=/PAM+NAPB.

圖2?3

理由：VAM/7OB,

JZ4=ZPBO,

N4=NPAM+NAPB,

???NPBO=ZPAM+ZAPB.

5.已知在四邊形ABCD中，乙4=%,zC=y,(0°<%<180°,0°<y<180°).

D

（1）^ABC+AADC=（用含x、y的代數(shù)式直接填空）；

（2）如圖1,若x=y=90°.DE平分AADC,BF平分心CBM,請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明

理由；

（3）如圖2,乙DFB為四邊形ABCD的^ABC、LADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角.

①若x+y=120",4DFB=20",試求x、y.

（2）小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)乙DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，Z.DFB不存在.

【答案】（1）360°-x-y

（2）解：DE1BF.

???DE平分ZADC,BF平分zMBC,

11

/.ZCDE=izADC,Z.CBF=izCBM,

22

又???4cBM=180°-4ABe=180°一(180°-zADC)=4ADC,

???zCDE=zCBF,

又vZ.DGC=Z.BGE,

AZBEG=ZC=90°,

???DE1BF；

(3)解：①由(1)得：4CDN+NCBM=360°-(360°-x-y)=x+y,

???BF、DF分別平分ZCBM、ZCDN,

zCDF+zCBF=1(x+y),

圖2

貝ljZCBD+ZCDB=180°-y,

zFBD+zFDB=1800-y+1(x+y)=180°-|y+|x,

,-.zDFB=iy-ix=20?,

x4-y=120°

解方程組:?y*x=20。

x=40"

可得:0=80°

②當(dāng)x=y時(shí)，zFBD+zFDB=180°-|y+|x=180°,

???ZABC、ZADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行,

此時(shí)，ZDFB不存在.

【解析】解：(1)???zA+zABC+zC+ZADC=360°,zA=x,zC=y,

:.zABC+Z.ADC=360°—x—y.

故答案為360°-x-y.

6.數(shù)學(xué)概念

百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這

樣的四邊形叫做凹四邊形.

如圖①，在四邊形ABCD中，畫出DC所在直線MN,邊BC、AD分別在直線MN的兩旁，則四邊形ABCD

就是凹四邊形.

B

M

（1）性質(zhì)初探

在圖①所示的凹四邊形ABCD中，求證：ZBCD-ZA+ZB+ZD.

（2）深入研究

如圖②，在凹四邊形ABCD中，AB與CD所在直線垂直，AD與BC所在直線垂直，/B、ND的角平分

線相交于點(diǎn)E.

①求證：ZA+ZBCD=180°；

②隨著NA的變化，/BED的大小會(huì)發(fā)生變化嗎？如果有變化，請(qǐng)?zhí)剿鱊BED與NA的數(shù)量關(guān)系；如果沒

有變化，請(qǐng)求出/BED的度數(shù).

【答案】（1）證明：如圖①，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E.

VZBEC是^AED的一個(gè)外角,

二NA+ND=NBEC.

同理，NB+/BEC=NBCD.

，ZBCD=ZA+ZD+ZB.

(2)解：①證明：如圖②，延長(zhǎng)BC、DC分別交AD、AB于點(diǎn)F、G.

又：在四邊形AFCG中，ZAFC+ZAGC+ZA+ZFCG=360°,

，NA+NFCG=180°.

VZFCG=ZBCD,

/.ZA+ZBCD=180°.

②解：由（1）可知，在凹四邊形ABED中，

ZA+ZABE+ZADE=ZBED.?

同理，在凹四邊形EBCD中，

ZBED+ZEBC+NEDC=/BCD.②

：BE平分NABC,

/.ZABE=ZEBC.

同理，NADE=NEDC.

①一②，得NA+NBCD=2/BED.

由（2）①可知，在凹四邊形ABCD中，ZA+ZBCD=180°.

.,.2ZBED=180°,

二ZBED=90°.

7.如圖①，/I、N2是四邊形ABCD的兩個(gè)不相鄰的外角.

(1)猜想并說明N1+N2與/A、NC的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，NABC與NADC的平分線交于點(diǎn)O.若NA=50。，ZC=150°,求

ZBOD的度數(shù)；

(3)如圖③，BO、DO分別是四邊形ABCD外角NCBE、NCDF的角平分線.請(qǐng)直接寫出NA、NC與NO

的的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)解：猜想：ZL1+Z.2=ZA+ZC,

Vzl+ZABC+42+ZADC=360°,

又???ZA+4ABe+ZC+ZADC=360°,

41+42=4A+NC;

(2)解：vzA=50°,zC=150°,

???ZABC+ZADC=360°-200°=160°,

又???BO、DO分別平分ZABC與Z.ADC,

zOBC=-zABC,zODC=-zADC,

22

???ZOBC+Z.ODC=|(ZABC+ZADC)=80°,

ZBOD=360°-(ZOBC+zODC+ZC)=130°；

(3)ZC-ZA=2ZO

【解析】解：(3)7BO、DO分別是四邊形ABCD外角zCBE、zCDF的角平分線.

ZFDC=2ZFDO=2ZODC,ZEBC=2zEBO=2zCBO,

由(1)可知：

zFDO+zEBO=zA+z.0,

2Z.FDO+2zEBO=Z.A+zC,

???2乙A+2zO=ZA+Z.C,

???Z.C-NA=2z.O.

答：ZA、/C與40的的數(shù)量關(guān)系為ZC-Z.A=2Z0.

故答案為：ZC-ZA=2ZO.

8.如圖1,在Rt^ABC中，AA=90°,AB=AC,點(diǎn)D.E分別在邊4B,AC上，AD=AE,連接

DC，點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)圖1中線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

(2)把△4DE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE.請(qǐng)判斷4ABD與AACE是否相

等，請(qǐng)說明理由；

(3)試判斷△PMN的形狀，并說明理由.

【答案】(1)PM=PN；PM1PN

(2)解：ZABD=ZACE

理由如下

vAB=AC,AD=AE

由旋轉(zhuǎn)得ZBAD=ZCAE

AABDSAACE(SAS)

Z.ABD=zACE

(3)解：APMN是等腰直角三角形

△ABD=AACE

???BD=CE

???點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)

PM="(：,PN=』BD

22

???PN=PM

V點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)

APM//CE,PN//BD

???ZDPM=ZDCE,ZPNC=zDBC

???ZMPN=ZDPM+ZDPN

=Z.DCE+Z.DCB+Z.DBC

=Z.DCA+Z.ACE+Z.DCB+Z.DBC

=ZDCA+ZABD+ZDCB+zDBC

=zACB4-Z.ABC

???zBAC=90°

???ZACB+ZABC=90°

???ZMPN=90°

???APMN是等腰直角三角形

【解析】解：（1）如圖1中，???點(diǎn)P,N是BC,CD的中點(diǎn)，

1

??.PN//BD.PN=-BD

???點(diǎn)P,M是CD,DE的中點(diǎn),

1

??.PM//CE,PM=-CE

VAB=AC,AD=AE,

ABD=CE,

APM=PN,

???PN〃BD,

AZDPN=ZADC,

???PM〃CE,

AZDPM=ZDCA,

???ZBAC=90°,

???ZADC+ZACD=90°,

.*.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90°,

，PM1PN,

故答案為：PM=PN,PM±PN.

9.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在射線BC上，且四邊形DEFG是正方形，連接

(3)若AB=2V2，當(dāng)點(diǎn)E在AC上移動(dòng)時(shí)，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值.

(4)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30。時(shí)，直接寫出NEFC的度數(shù).

【答案】（1）證明：如圖1

圖1

V四邊形ABCD、四邊形DEFG都是正方形

ADA=DC,DE=DG,ZADC=ZEDG=90°

■:ZADC-ZEDC=ZEDG-ZEDC

AZADE=ZCDG,

在^ADE和^CDG

AD=CD,ZADE=ZCDG,DE=DG

AAADE^ACDG(SAS)

AAE=CG

(2)證明：如圖I；四邊形ABCD是正方形

，ZDAC=ZACD=45°

V.AADE^ACDG

，/DAE=/DCG=45°

，ZACG=ZACD+ZDCG=90°

(3)解:有最小值

如圖1：連接EG

VZACG=90°

.1△ECG是直角三角形，AE=CG

，AE2+EC2=EC2+CG2=EG2,

???四邊形DEFG是正方形，

/.EG=V2DE,

.?.DE的值最小時(shí)，EG的值最小，

.?.當(dāng)DE_LAC,DE=-AC=￡AB=2,AE2+CE2時(shí)的值最小,

22

AE2+EC2=EG2=(&DE)2=(2V2)2=8

(4)NEFC=120?；?0。

【解析】(4)如圖析當(dāng)NADE=30。時(shí)

VZCED=ZEAD+ZADE=45o4-30°=75°,ZDEF=90°

AZCEF=90°-75°=15°

ZEFC=180°-ZECF-ZCEF=180°-45°-15°=120°；

如圖3,當(dāng)NCDE=30。時(shí)

???ZDEC=180°-30°-45°=1050

,/ZDEF=90°

/.ZCEF=15°

???ZEFC=ZACB-ZCEF=45°-15°=30°；

綜上，滿足題意得NEFC的值為120。或30°.

圖2圖3

10.如圖1,已知乙4cB=80。，點(diǎn)A在直線EF上，點(diǎn)B在直線GH上，且^CAR4-Z-CBG=80°.

(1)試判斷直線EF與GH的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若點(diǎn)B在直線GH上運(yùn)動(dòng)，作/.CAP=2^CAE,作乙CBP=2乙CBG,試判斷乙APB的大

小是否隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若不變，求出^APB的大小；若變化，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)解：平行，理由如下，

過C作CD//EF,

ZACB=80°,

JzACD+zDCB=80°.

CD//EF,

:.ZEAC=ZACD.

又「ZCAE4-ZCBG=80°,

，ZDCB=ZCBG,

；?CD//GH,

CD//EF,

???GH//EF；

(2)解：/APB的大小不會(huì)隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，理由如下:

VZCAP=2ZCAE,ZCBP=2ZCBG,

二ZCAP+ZCBP=2ZCAE+2ZCBG=2(ZCAE+ZCBG)=2x80°=160°,

,ZAPB=360°-ZACB-(ZCAP+ZCBP)=360°-80°-160°=120°.

所以NAPB的大小為120°.

11.已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點(diǎn)，以BP為邊作正方形BPEF,使點(diǎn)F在線段CB的延長(zhǎng)線上,

連接EA,EC,AC.

(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，判斷4ACE的形狀，并說明理由;

(2)如圖2,若點(diǎn)P在線段AB上

①若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，判斷AACE的形狀，并說明理由;

②當(dāng)AB=RBP時(shí)，請(qǐng)直接寫出NCAE的度數(shù).

【答案】(I)解：(l)AACE等腰三角形

理由如下:

如圖，連接AF,CP,

D

四邊形ABCD,四邊形FBPE是正方形

，AB=BC,BF=BP,ZABC=90°=ZEFB=ZEPB,

.?.NABF=NCBP=90。，且AB=BC,BF=BP

.,.△AFB^ACPB(SAS)

，AF=CP,ZAFB=ZCPB,

ZAFB+ZEFB=ZCPB+ZEPB

，NAFE=NCPE,且AF=CP,EF=EP,

.,.△AFE^ACFE(SAS)

/.AE=CE,

.,.△ACE是等腰三角形

(2)解：①AACE是直角三角形

理由如下：

???點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，

，AP=PB=-AB

2

設(shè)AP=PB=PE=EF=BF=a,則AB=2a=BC,CF=3a,

：AC2=AD2+CD2=8a2，CE2=CF2+EF2=10a2AE2=AP2+PE2=2a2

/.CE2=AC2+AE2,

.?.△ACE是直角三角形

②如凰連接BE,

:四邊形ABCD,四邊形FBPE是正方形,

，NCAB=NEBP=45。，BE=近PB,

VAB=V2PB,

.?.AB=BE,

，/EAB=/AEB=67.5。，

，ZCAE=ZEAB+ZCAB=112.5°.

12.